基于數(shù)學(xué)問題意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與分析

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn)和提出問題；合理情境；順應(yīng)思維；一般觀念中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）05-0039-05引用格式：，．基于數(shù)學(xué)問題意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與分析：以“銳角的正切概念”的教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（5）：39-42，52.

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”是數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)之一，而“發(fā)現(xiàn)和提出有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究”是數(shù)學(xué)眼光的具體表現(xiàn)．為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將“學(xué)生能在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題”作為課程總目標(biāo)的一部分.

隨著義務(wù)教育新一輪課程改革的推進(jìn)，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，多數(shù)教師都能很好地將數(shù)學(xué)問題作為載體，設(shè)計(jì)合理的問題串，開展啟發(fā)式、探究式、參與式、互動(dòng)式的教學(xué)．但認(rèn)真觀察后，不難發(fā)現(xiàn)，在很多數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)問題都是教師為推進(jìn)教學(xué)而預(yù)設(shè)的，很少有學(xué)生在情境中自主發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，課堂教學(xué)的過程主要是學(xué)生分析和解決教師預(yù)設(shè)問題的過程．這樣的課堂教學(xué)既不利于課程總目標(biāo)的落實(shí)，也不利于核心素養(yǎng)的全面發(fā)展．根本原因是學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)沒能得到有效培養(yǎng)．義務(wù)教育新一輪課程改革確立的課程目標(biāo)是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的因此，從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層面來(lái)看，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)是每一位初中數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該思考的問題.

一、數(shù)學(xué)問題意識(shí)的內(nèi)涵解析

數(shù)學(xué)問題意識(shí)是指人們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，活動(dòng)主體對(duì)既有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和一些難以解決的實(shí)際或理論問題所產(chǎn)生的懷疑、困惑、焦慮、探究等的心理狀態(tài)，并在其驅(qū)動(dòng)下，不斷提出問題、解決問題．它的核心是質(zhì)疑，它的表現(xiàn)是批判，它產(chǎn)生的結(jié)果是“提出新的數(shù)學(xué)問題”具備數(shù)學(xué)問題意識(shí)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心、求知欲并能對(duì)所要研究的對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)問題意識(shí)的形成離不開“能產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的背景”“想探究的心理狀態(tài)”和“會(huì)提出數(shù)學(xué)問題的方法”可見，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)，教師需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，在學(xué)生思考問題的方法上給予正確指導(dǎo).

鑒于以上分析，以“銳角的正切概念”一課的教學(xué)為例，闡述基于問題意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)策略和方法.

二、基于數(shù)學(xué)問題意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)策略和方法

銳角的正切概念是初中生接觸的一個(gè)全新的概念．在概念的獲得過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中主動(dòng)思考、發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題？如何引導(dǎo)學(xué)生抽象研究對(duì)象，建立數(shù)學(xué)模型，分析并解決所提出的問題？如何引導(dǎo)學(xué)生在分析和解決問題的過程中學(xué)會(huì)運(yùn)用一般觀念提出新的數(shù)學(xué)問題？這些都是該部分教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵點(diǎn)．針對(duì)這些關(guān)鍵點(diǎn)，在教學(xué)銳角的正切概念的內(nèi)容時(shí)，教師需要設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)問題意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)，可以有以下三個(gè)方面的設(shè)計(jì)策略和方法.

1.創(chuàng)設(shè)合理情境，利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題意識(shí)的前提是要有“能產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的背景”，即創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境．合理的情境有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：情境要反映本質(zhì)，要包含即將要學(xué)知識(shí)的要素，蘊(yùn)含即將要解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，做到有數(shù)學(xué)問題可提；學(xué)生能強(qiáng)烈地感受到情境中可能存在某些數(shù)學(xué)問題、蘊(yùn)含未知的知識(shí)或想進(jìn)一步探究知識(shí)的信息，進(jìn)而想提數(shù)學(xué)問題；情境要貼近學(xué)生的生活實(shí)際，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，自然而然地促進(jìn)學(xué)生愿意提出數(shù)學(xué)問題.

依據(jù)上述思考，教學(xué)伊始，可以創(chuàng)設(shè)以下情境并提出問題.

情境：教師利用PPT展示靠墻的兩架梯子（如圖1）.

【設(shè)計(jì)意圖】“梯子靠墻”這樣的情境簡(jiǎn)單明了，符合學(xué)生的生活實(shí)際，易于學(xué)生接受．展示靠墻陡緩程度不同的兩架梯子，能讓學(xué)生在想象過程中產(chǎn)生一種對(duì)比的潛意識(shí)，能對(duì)學(xué)生的思考產(chǎn)生很好的導(dǎo)向，更有利于突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．兩架梯子放置位置的區(qū)別實(shí)際上就是數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的根源，“陡一點(diǎn)”“長(zhǎng)一點(diǎn)”“高一點(diǎn)”“角度大一點(diǎn)”是位置不同的數(shù)學(xué)表現(xiàn)，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．設(shè)計(jì)“梯子靠墻”的教學(xué)情境有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.

問題1：看到這樣的情境，你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)問題？

在學(xué)生獨(dú)立思考并相互交流后，師生需要共同整理學(xué)生回答的結(jié)果，保留一些有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題．例如，怎樣比較兩架梯子是否一樣長(zhǎng)？怎樣比較兩架梯子靠墻的高度是否一樣？怎樣比較兩架梯子誰(shuí)靠墻更陡些？怎樣比較兩架梯子與地面的夾角是否一樣？等等.

【設(shè)計(jì)意圖】問題1旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)實(shí)情境，其導(dǎo)向性與開放性兼容．“你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)問題？”可以給學(xué)生充分的思考空間，具有很強(qiáng)的開放性，同時(shí)，也為學(xué)生指明了一個(gè)思考的方向，即從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)、提出問題，具有一定的導(dǎo)向性．這樣的問題設(shè)計(jì)，既有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的積極性，又能聚焦學(xué)生思考的針對(duì)性．師生共同梳理總結(jié)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出的數(shù)學(xué)問題，既是對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)，樹立其主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出問題的信心，總結(jié)出來(lái)的數(shù)學(xué)問題，又是課堂教學(xué)中優(yōu)質(zhì)的生成資源，是課堂教學(xué)有力的助推器.

2.順應(yīng)學(xué)生思維，鼓勵(lì)其敢于提出數(shù)學(xué)問題

學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)是在其具有積極探究的心理狀態(tài)下產(chǎn)生的，教師要促進(jìn)這種心理狀態(tài)的形成，引導(dǎo)學(xué)生保持這種心理狀態(tài)，就需要順應(yīng)學(xué)生的思維，站在學(xué)生的角度去思考問題，樹立其提出數(shù)學(xué)問題的信心，使其敢于提出數(shù)學(xué)問題．事實(shí)上，核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該循著學(xué)生的思維軌跡，讓學(xué)生不斷地產(chǎn)生“沖突”、思考“沖突”、化解“沖突”．這里“循著學(xué)生的思維軌跡”就是順應(yīng)學(xué)生的思維，學(xué)生產(chǎn)生、思考和化解的“沖突”就是學(xué)生提出、分析和解決的數(shù)學(xué)問題．教師只有順應(yīng)學(xué)生的思維，才能發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考過程中的認(rèn)知障礙．有了對(duì)學(xué)生認(rèn)知障礙和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的清晰了解，教師才能做到“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑”，才能有效引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并提出問題，進(jìn)而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)問題意識(shí).

依據(jù)以上思考，在后續(xù)的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)活動(dòng).

問題2：如果提供測(cè)量工具，你能不能通過測(cè)量的方法解決這些問題？

學(xué)生在獨(dú)立思考并小組內(nèi)交流后，可以獲得結(jié)論：梯子的長(zhǎng)度、梯子頂端距離地面的高度、梯子與地面的夾角均可以利用測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)表示，但對(duì)于梯子擺放的陡緩程度，用什么樣的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)說明，有些爭(zhēng)議.

【設(shè)計(jì)意圖】問題2是基于前面師生共同梳理后保留的四個(gè)問題而提出的，發(fā)現(xiàn)和提出問題后需要分析和解決問題，這一點(diǎn)符合學(xué)生的思維習(xí)慣．學(xué)生要解決自已提出的這些數(shù)學(xué)問題，還需要進(jìn)一步思考、分析，甚至是提出新的問題.

問題1中師生共同梳理、總結(jié)后提出的四個(gè)問題難度不大，通過對(duì)問題2的進(jìn)一步思考，學(xué)生自然會(huì)提出下面的問題.

生1：用什么測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)表示梯子的傾斜（陡、緩）程度呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，組織學(xué)生小組內(nèi)交流、討論，并匯總小組得出的結(jié)論．結(jié)論如下：用梯子底端與地面的夾角、梯子頂端與墻面的夾角、梯子頂端距離地面的高度、梯子底端到墻的距離等來(lái)表示梯子的傾斜（陡、緩）程度.

對(duì)于生，提出的問題，學(xué)生經(jīng)過思考、交流，能夠獲得很多結(jié)論．但對(duì)于“這些結(jié)論正確嗎？”“利用結(jié)論怎樣來(lái)比較梯子的傾斜程度呢？”等問題，都需要學(xué)生在思考的過程中自主發(fā)現(xiàn)并提出來(lái).

問題3：基于得到的這些結(jié)論，你還能提出哪些問題？

【設(shè)計(jì)意圖】問題3旨在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述小組討論后得出的結(jié)論作進(jìn)一步思考，該問題是循著學(xué)生思維的軌跡，推動(dòng)學(xué)生不斷地產(chǎn)生“沖突”，起到“道而弗牽”的作用.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)上述表示梯子傾斜（陡、緩）程度的量逐一進(jìn)行深度思考，在充分交流的基礎(chǔ)上，自然能提出下面的問題.

生2：梯子底端與地面的夾角、梯子頂端與墻面的夾角、梯子頂端距離地面的高度、梯子底端到墻的距離都能表示梯子的傾斜程度嗎？若能，分別說明它們與梯子的傾斜程度有怎樣的關(guān)系；若不能，說明理由.

圍繞生2提出的問題，師生結(jié)合如圖2所示的直角三角形，進(jìn)行深度思考和充分討論，獲得結(jié)論：梯子底端與地面的夾角能表示梯子的傾斜程度，夾角越大，梯子越陡；梯子頂端與墻面的夾角能夠表示梯子的傾斜程度，夾角越大，梯子越緩；梯子頂端距離地面的高度和梯子底端到墻的距離不能單獨(dú)用來(lái)表示梯子的傾斜程度.

3.運(yùn)用一般觀念，引領(lǐng)學(xué)生會(huì)提數(shù)學(xué)問題

培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題意識(shí)的關(guān)鍵是幫助學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題的方法．如何使數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)和提出具有必然性，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念引領(lǐng)．所謂數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念，是指對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略方法．它具有統(tǒng)攝性、一般性和普適性等特點(diǎn).它為如何構(gòu)建本學(xué)科知識(shí)、提出問題和解決問題提供思維的方向與策略．例如，“對(duì)當(dāng)前內(nèi)容進(jìn)行推廣、轉(zhuǎn)化、類比、特殊化的邏輯思考方法”“相同背景下的幾個(gè)事物之間一定有內(nèi)在聯(lián)系”等都屬于數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念范疇．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科一般觀念是數(shù)學(xué)方法論，有了它的指引，學(xué)生才能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析及發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到會(huì)提數(shù)學(xué)問題的目的.

依據(jù)以上思考，在后續(xù)的教學(xué)中可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)活動(dòng).

問題4：事實(shí)上，在大量的實(shí)際問題中，角度是不可以測(cè)量的．如果只能依據(jù)梯子頂端到地面的高度和梯子底端到墻的距離來(lái)比較兩架梯子的傾斜程度，怎么比較呢？

問題5：從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過程來(lái)看，數(shù)學(xué)中常用的邏輯思考方法有特殊化、類比、轉(zhuǎn)化、推廣．借助這些方法，為了解決問題4，你需要提出哪些問題？

【設(shè)計(jì)意圖】問題5明確了解決問題4的方法，但學(xué)生要用好問題5中的方法去解決問題4，還有相當(dāng)一段距離的路要走．問題5中的方法屬于學(xué)科一般觀念的范疇，需要教師明確，需要學(xué)生逐步掌握和運(yùn)用.

明確了問題5中的方法后，學(xué)生自然會(huì)朝著“如何特殊化”“如何類比”“如何轉(zhuǎn)化“如何推廣”這幾個(gè)方面去思考和分解問題4.例如，有學(xué)生利用特殊化的方法提出下面的問題.

生3：怎樣比較有一條直角邊相等，另一條直角邊不等的兩個(gè)直角三角形斜邊的傾斜程度？

生4：如圖3，怎樣比較兩條直角邊均不相等的兩個(gè)直角三形斜邊的傾斜程度？

對(duì)于生提出的問題，學(xué)生結(jié)合圖2很容易解決，但對(duì)于生4提出的問題，需要教師運(yùn)用學(xué)科一般觀念進(jìn)行引導(dǎo)．學(xué)生在充分討論的基礎(chǔ)上，利用轉(zhuǎn)化的方法提出下面的問題.

生5：對(duì)于兩條直角邊均不相等的兩個(gè)直角三角形，要比較它們斜邊的傾斜程度，能否轉(zhuǎn)化為比較有一條直角邊相等，另一條直角邊不相等的兩個(gè)直角三角形斜邊的傾斜程度呢？

學(xué)生結(jié)合圖3，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行深人交流，獲得如下解決辦法.

如圖4，在 RtΔ A B C 的邊 B C 上取一點(diǎn) M ，使B M=2 ，過點(diǎn) M 作直線 M N⊥ B C 交邊 A B 于點(diǎn) N .因?yàn)橹本€ B N 和直線 B A 是同一條直線，所以它們的傾斜程度是一樣的．這樣比較 RtΔ A B C 和 斜邊的傾斜程度，其實(shí)就是比較 和 斜邊的傾斜程度，轉(zhuǎn)化為生3提出的問題．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，得 所以 RtΔ A B C 的斜邊比 的斜邊傾斜角度更小.

問題6：?jiǎn)栴}4是否得到完全解決了？

【設(shè)計(jì)意圖】問題6旨在提醒學(xué)生，對(duì)當(dāng)前內(nèi)容（這里指問題4）進(jìn)行特殊化思考僅僅是數(shù)學(xué)邏輯思考的一種方法，它能給解決一般性問題提供可借鑒的思路、方法，但其本身所獲得的結(jié)論是具有局限性的，不能作為當(dāng)前內(nèi)容（這里指問題4）的一般性解答.

在學(xué)科一般觀念的指引下，為了徹底解決問題4，學(xué)生自然能想到將邊長(zhǎng)為具體數(shù)字的直角三角形推廣到邊長(zhǎng)為字母的直角三角形，通過類比生提出問題的解決方法，獲得一般性解法和結(jié)論，利用推廣、類比的方法，有學(xué)生提出下面的問題.

生6：如圖5，當(dāng) RtΔ A B C 與 的直角邊長(zhǎng)不是具體數(shù)字時(shí)，其中 ，如何比較兩個(gè)直角三角形的斜邊傾斜程度？

學(xué)生結(jié)合圖5，類比生5提出問題的解決方法，容易得到生。提出問題的解決辦法.

如圖6，在 RtΔ A B C 的邊 B C 上取一點(diǎn) M ，使 ，過點(diǎn) M 作直線 M N⊥ B C 交邊 A B 于點(diǎn) N ·

利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，得 M N= AC·BM=ba．進(jìn)而通過比較 MN與 AC，的長(zhǎng)短來(lái)比較兩直角三角形的斜邊傾斜程度，即比較 與b的大?。捎? ，故可以通過比較 與 的大小來(lái)比較兩直角三角形的斜邊傾斜程度.

問題7：數(shù)學(xué)上還有一種常用的邏輯思考方法，相同背景下的幾個(gè)事物之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．由前面學(xué)生提出的問題可知，衡量直角三角形斜邊的傾斜程度，可以用比值，也可以用角，對(duì)此，你有怎樣的想法呢？

【設(shè)計(jì)意圖】問題7旨在運(yùn)用學(xué)科一般觀念“相同背景下的幾個(gè)事物之間一定有內(nèi)在聯(lián)系”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出有關(guān)“用角和比值表示直角三角形斜邊的傾斜程度”的問題，既能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)一般觀念的理解，又能使學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)、提出有價(jià)值數(shù)學(xué)問題的一種方法，進(jìn)而推進(jìn)銳角正切概念的形成.

在學(xué)科一般觀念的指引下，學(xué)生容易將思路聚焦于用角和用比值之間的內(nèi)在聯(lián)系上，自然會(huì)提出下面的問題。

三、結(jié)束語(yǔ)

發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的短板.在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程改革中，大力加強(qiáng)對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)，是實(shí)現(xiàn)課程改革目標(biāo)的關(guān)鍵舉措之一.然而，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)，發(fā)展其數(shù)學(xué)眼光，并非一朝一夕就能完成.學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題能力的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，教師要精心創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，運(yùn)用一般觀念去引領(lǐng)學(xué)生如何思考，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)則能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中得到真正地發(fā)展.

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