“現實世界”還是“世界”更合理？

［摘 要］《義務教育數學課程標準（2022年版）》（全文簡稱《課程標準》）“三會”中的每“一會”都強調“現實世界”。文章認為，“現實世界”中的“現實”二字可以刪掉。從本質上講，數學研究的對象并不都是現實世界之物，大多數是非現實世界中的想象之物或觀念之物；現實世界與非現實世界并非完全對立，其界限也不分明，二者是相對的，具有辯證統一的關系，非現實世界中的很多問題可以用數學知識去解決。從數學應用的廣泛性和發展學生想象力的角度來講，刪去“現實”二字是合理的。

［關鍵詞］《課程標準》；“三會”；現實世界；非現實世界

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0025-05

一、問題的提出

《課程標準》強調數學課程要培養學生的核心素養，主要包括三個方面：（1）會用數學的眼光觀察現實世界；（2）會用數學的思維思考現實世界；（3）會用數學的語言表達現實世界。這“三會”的每“一會”中都有“現實世界”四個字。有學者指出，強調“現實世界”是為了給人們認識、理解和表達數學知識提供相應的語言、方法和工具。但筆者認為將“現實世界”改為“世界”更合理，因為這樣更符合數學應用的廣泛性。

從宏觀世界的角度來講，現實世界只占整個世界的一小部分，讓教師和學生一直考慮現實世界，其思維是受束縛的，甚至會有“林黛玉進賈府”的感覺——步步留心，時時在意，不肯輕易多說一句話，多行一步路。做什么事都要考慮現實世界，會讓人束手束腳，想象力受到束縛，喪失冒險精神，創新思維的發展也會受到阻礙。還可以從“世界”或“現實世界”的定義來說明刪掉“現實”二字的重要性，但是并非所有的概念都是容易定義的。哲學家維特根斯坦認為，有些事物根本沒有共同的本質，只有“家族相似”的成分。因此，需要另辟蹊徑來論證：數學不僅應用于現實世界，在其他世界（觀念世界、想象世界、過去世界、將來世界等）中也有著廣泛的應用。德國思想家恩格斯認為數學是一種研究思想事物的抽象科學。從這個角度來說，數學不是存在于現實世界之中，而是存在于觀念世界、想象世界等世界之中。而小學數學教材中有些數學概念存在于非現實世界中，如直線、射線、角、無限循環小數等，現實世界中存在的是這些數學概念的原型。下面將詳細論述去掉《課程標準》“三會”中“現實”二字的合理性。

二、數學存在于非現實世界

（一）數學概念存在于非現實世界

數學概念和其他具體事物的概念一樣，都是從同類事物中抽象出本質特征。不過，數學概念和其他具體事物的概念也有著本質區別——數學概念具有抽象性，在現實世界中是看不到的，如函數、矩陣、四元數等在現實世界中并不存在；其他具體事物如桌子、椅子等，它們的概念雖然抽象出來了，但是在現實世界中仍存在實物。

數學世界究竟是一個什么樣的世界？古希臘數學最初屬于哲學領域，數學家是在哲學家的學園里成長與發展的，如柏拉圖創辦的柏拉圖學園就培養了很多數學家。古希臘哲學不僅研究現實世界，還研究非現實世界，如思維世界、理念世界、想象世界等。受哲學研究內容的影響，數學也研究非現實世界中的存在物。如歐幾里得的《原本》研究的就不是現實世界，而是在柏拉圖“理念論”的指導下研究理念世界的數學真理。顯然，理念世界不是現實世界。

小學數學教材中的自然數、分數、小數、百分數、線段、直線、射線、正方形、長方形等概念及運算符號、公式、定理等在現實世界中并不存在，存在的僅僅是它們的原型。如正方形在現實世界中是不存在的，但是正方形的物體在現實世界中是存在的。有些數學概念是從現實生活世界中抽象出來的，抽象出來之后就成了數學的研究對象，進入非現實的數學世界。也就是說，這樣的數學概念并不存在于現實生活中，只是其原型存在于現實生活中。到了中學乃至大學，數學的研究對象與內容更為抽象。隨著抽象程度的提高，數學越來越脫離形象具體的現實世界，越來越接近非現實世界的中心或自身抽象的本質。

許多數學概念如負數、無理數、復數等，存在于非現實世界中，給人們認識這些概念造成了困難。例如，在16世紀、17世紀，歐洲的許多數學家并不承認負數是數，即使承認了，也并不認為負數是方程的根。又如，在公元前400年左右出現的第一次數學危機中，古希臘人并不承認無理數的地位。無理數是無限不循環小數，不能寫成兩個整數之比的形式，這在當時是脫離人類現實生活世界的，不能被古希臘人理解也在情理之中。直到19世紀末，數學家康托爾、魏爾斯特拉斯和戴德金才真正理解了無理數。至此，無理數的合法地位才得到承認。無理數是被構造出來的，這就說明無理數存在于非現實世界中。再如，在數學史上，復數伴隨著解方程而產生。法國數學家笛卡爾摒棄“復數”，造出了“虛數”。由此可以看出，復數是現實世界中不存在的數。牛頓也不認為復數根是有意義的。萊布尼茨認為虛數是介乎于存在與不存在之間的兩棲數，那個我們稱之為虛的-1的平方根。人類對復數的認識經歷了一個漫長而曲折的過程，經過萊布尼茨、歐拉、棣莫弗、韋塞爾等幾代數學家的努力，直到19世紀，在高斯和其他數學家的推動下，復數在數學中的地位才得以鞏固。

還有很多的數學概念不是建立在現實生活的基礎上，而是建立在抽象的數學概念和數學思想的基礎上的，如四元數。有些數學概念是經過二次甚至三次抽象才形成的，因此與現實世界的距離越來越遠。從這個層面來說，小學數學也應強調非現實世界的重要性。

（二）數學理論存在于非現實世界

人類生活的地球空間在一定程度上來說是歐幾里得空間，是人們現實世界經驗的空間。但黎曼幾何、羅巴切夫斯基幾何等非歐幾何則是想象的幾何學或理論推導的幾何學，不是人類現實世界的幾何學。從羅巴切夫斯基雙曲幾何的角度來講，雙曲幾何學是脫離人們現實生活世界的，它們存在于人類的想象世界或非現實世界。如果人類僅僅用數學解決現實生活世界中的問題，而不去考慮想象世界中的問題，那么非歐幾何是不可能產生的，甚至數學也不會產生。因為數學的本質是抽象，即使是歐幾里得幾何學，也是數學家從現實世界中抽象出來的。從這個層面上來講，歐幾里得幾何學也不是人類現實世界的幾何學，因為歐幾里得幾何抽象出來之后就不存在于現實世界了。

無理數被數學家發明出來，說明數學是發明的科學，而不僅僅是發現的科學。作為發明科學的數學真理也不存在于現實生活世界中，而是存在于非現實世界中。這種觀念更強調數學的非現實性，因為數學是發明的，所以現實世界不存在數學，否則就不應該叫作發明，而應該叫作發現。如果僅僅從現實生活世界來認識數學、學習數學和創造數學，那么這種數學觀就有些狹隘，不利于數學的發展和學生創新精神的培養。可以這么說，數學的發展既需要現實主義，也需要浪漫主義。數學定理、公式、法則等也像數學概念一樣，主要存在于非現實世界之中。

歐幾里得的《原本》是一部基于定義、公設、公理進行演繹推理的數學著作。公理化體系本身就是一個世界，而且是一個非現實的世界。歐幾里得《原本》中的5個公設都不存在于現實世界中，而是為了研究方便而假設出來的。數學上有很多的假設，科學上也有很多的假設，這些假設的世界并非現實的世界，否則就不是假設的世界。歐幾里得《原本》受到后人推崇，牛頓的《自然哲學之數學原理》就是采用《原本》公理化體系的形式建構的，愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論也是用歐幾里得《原本》的范式建構的。愛因斯坦在狹義相對論中有兩個公設，一個是光速不變原理，另一個是相對性原理，這些東西都是假設的，假設的東西在現實世界中當然是不存在的。從歐幾里得《原本》中看不到其與現實世界的聯系。可以說，歐幾里得刻畫的不是一個現實世界，而是一個非現實世界。

以《九章算術》為代表的中國古代數學，反映的是現實世界中的數學。不過，根據華東師范大學顧泠沅尋找中西方教育上的“中間地帶”的思想觀念，去掉“現實”世界也是應該的。我們需要接受一個包括現實世界在內的更大范圍的世界。數學的學習與研究要解放思想、實事求是、轉變思想觀念，要敢于接受新鮮事物，不僅要接受現實世界的事物，還要接受非現實世界的事物。

大學數學專業學習的高等代數、實變函數、泛函分析和拓撲學等知識所存在的理論世界雖然與現實世界有關，但是理論世界不是現實世界。如果這些知識在現實世界中存在的話，那么學生學習的難度就會大大降低。但事實并非如此，這就說明這些知識主要存在于理論世界中，而不是現實世界。

（三）數學的本質存在于非現實世界

數學與人文藝術學科一個最大的不同點是其本質是脫離現實生活的。文學藝術雖然像數學一樣來源于現實生活，但是文學藝術沒有脫離現實生活。即使有很多夸張的成分，文學的語言仍然是形象具體的語言。如李白的“白發三千丈”，如果從數學的角度來講就是在描述頭發的長度，可以用尺子量一量。數學已經從現實生活中抽象到另一個世界，即非現實世界——數學的理論世界。理論數學研究的不是現實世界中的東西，而是抽象的想象世界或觀念世界中的東西。

例如，“無限”這個概念在現實世界中是不存在的，因為人類的現實世界是有限的。“無限”是人類想象出來的，如果僅僅局限于現實世界，是無法獲取無限的。

純粹數學研究的對象都是想象之物或觀念之物，而不是現實世界的自然之物或社會之物。如果僅讓小學生研究現實世界中的問題，那就只強調了數學的生活化，而把數學的本質給忽略了。因為數學的本質是抽象的，是脫離現實生活世界的。僅僅讓學生在涉及現實生活世界的問題時才考慮數學，在想象的抽象世界或其他世界不考慮數學，這樣的學習就偏離了數學抽象的本質，不利于學生構建對數學的全面認識，也不利于數學教育的推進。應用不是數學的本質，數學廣泛的應用性不能說明數學是存在于現實世界之中的，只能說明非現實世界的數學在現實世界中有著廣泛的應用。數學畢竟不是生活，它雖然來源于生活，在現實生活世界也有著廣泛的應用性，但這些僅僅是數學的非本質屬性，而不是數學的本質屬性。人類認識無理數的過程說明了數學是可以脫離現實生活世界的，數學世界是一個人造的世界，很多的數學概念、思想方法或數學理論不存在于現實世界，而是存在于理論之中或想象的世界之中。德國數學家康托爾認為，數學的本質在于它的自由。由此看來，人們可以根據自己的興趣愛好或個人需要主動地創造數學。當然，這樣創造出來的數學不存在于現實世界之中。如果人們事事從現實世界出發，對現實世界中沒有的事物便無所作為，那么創新便無從談起。

三、現實世界與非現實世界的關系

（一）現實世界與非現實世界的辯證統一性

現實世界與非現實世界兩者之間沒有關系嗎？顯然不是。首先，人類生活的這個世界是不分現實世界與非現實世界的。這個世界本來就是統一的整體，人類出現之后，為了社會生活或學習研究方便，就把世界劃分成了現實世界與非現實世界。從這個意義上講，兩個世界是有著密切聯系的，至少兩者的邊界是模糊的。甚至有些學者認為非現實世界，如虛幻的世界也是現實世界的一部分，至少虛幻世界是現實世界的反映。人們常說：“日有所思，夜有所夢。”人們在夢中見到的是一個非現實的世界。夢中的虛幻世界是現實世界的反映，這也說明現實世界與夢中世界有著密切的聯系。按照“莊周夢蝶”的觀點，夢中的世界也可能是真實的，現實世界也可能是虛幻的。如果做夢的時間很長，而且天天做夢，醒來的時間很短，那么夢里的世界反而成了“現實世界”。這就顛覆了人們對現實世界與非現實世界的傳統認識，但體現了現實世界與非現實世界的相對性。

《聊齋志異》講的是非現實世界中鬼、狐、仙、妖的奇幻故事，也揭露了封建社會的弊端。神話故事《西游記》描寫了一個非現實的世界，這個非現實世界給學生帶來了無盡的想象，讓小學生心馳神往。《紅樓夢》中有一副對聯“假作真時真亦假，無為有處有還無”，強調了現實世界與非現實世界二者之間的辯證統一關系，現實世界也有很多虛假的現象。換言之，可以認為某個世界是真的，也可以認為某個世界是假的，現實世界和非現實世界之間沒有絕對清晰的界限。

（二）從視野大小強調非現實世界的重要性

人類觀察世界的角度可以分為宇觀、宏觀和微觀。天文學主要研究的是宇觀世界，愛因斯坦的廣義相對論研究的是大尺度的宇觀世界，這個世界比我們所強調的宏觀世界還要大得多，牛頓經典力學研究的是宏觀世界；量子力學則研究微觀世界。在宇觀世界、宏觀世界和微觀世界三個世界中，宇觀世界是現實世界嗎？當然，我們不否認有部分內容是研究現實世界的。例如夜觀天象，看到了滿天的星斗和銀河系。但是宇觀世界的更多內容是以非現實世界的形式存在而被我們認識的，例如天文學中“宇宙大爆炸”模型肯定不是現實世界的，而是理論世界的。從宇觀世界來講，人們對宇宙的認識不是主要來自現實世界，而是來自天文學的理論世界。人類的這個現實世界可能更多的是一個宏觀的世界，這個世界的范圍主要是地球上的萬事萬物。量子力學世界就不能說是現實世界，因為量子力學研究的內容太微觀了，那是我們憑肉眼難以覺察的微小存在。量子力學的世界對大多數人來說不是現實世界，而是理論世界或虛幻世界。那么，在小學數學教材或科學教材中，教師該不該強調這個微觀的非現實世界的重要性呢？事實上，在小學數學或其他學科的教學中也應適當介紹量子力學微觀世界的有關知識，至少要讓小學生有所了解。也就是說，教師應該在義務教育階段的教學中強調非現實世界——量子世界的重要性。

綜上，宇觀世界和微觀世界雖然不是現實世界，而是非現實世界，但是也是需要在教學時提及的內容。

（三）現實世界的變動性和不存在性

辯證唯物主義認為“運動是絕對的，靜止是相對的”，因此現實世界也應該是在不斷發展變化的。就像古希臘哲學家赫拉克利特所認為的那樣，人不能兩次踏進同一條河流。從這個意義上講，現實世界是不現實的，因為它會隨著時間的變化而變化。因此，就不存在所謂的現實世界。所有的世界都是不會靜止的，讓它們靜止也是不現實的。所有人類認識的世界都是像人一樣，是匆匆的過客，是轉眼即逝的煙云。當提到現實世界的時候，這個世界馬上就發生了變化。不同人的家庭出身、知識背景、生活閱歷等各方面不同，使得不同的人對同一現實世界會有不同的認識。哲學家尼采有句話是“人是不成熟的動物”，指出人對現實世界的認識總是不斷發生變化的。同樣的一個現實世界，同一個人在不同的時期通常會有不同的認識，這就說明了現實世界雖然存在，但也是持續發展變化的。

（四）小學生的世界更多的是非現實的

按照英國教育家斯賓塞的觀點，教育是為圓滿生活做準備的。那么，義務教育中的數學教育也應是為小學生未來生活做準備的。因此，小學數學不僅要考慮現實世界的數學，還要考慮將來世界的數學，而將來世界就不是現實的世界或現在的世界。從“三會”的角度來講，會用數學的眼光觀察、會用數學的思維思考、會用數學的語言表達的不僅是現實世界，還有將來的世界。因此，一味強調現實世界并不合理。嚴格意義上講，我們所生活的這個世界就不是現實世界。由于抽象的理性思維不夠成熟，小學生的世界可能是感性的。在這種情況下，小學生的世界并不全是現實世界，非現實世界的成分可能更多。小學生喜歡看書、看電視或電影、玩游戲、旅行等，這些都像一個個世界向兒童敞開。這些世界不能說不是現實世界，但是不全是現實世界。如電視中的世界有非現實世界的成分，武俠小說總體是一個非現實的世界，《西游記》中也主要是一個非現實的世界。可見，小學生的世界是現實世界與非現實世界的混合物，甚至非現實世界占主要部分。相對成年人而言，小學生是幼稚的，這種幼稚在一定程度上反映的就不是成人強調的現實世界，更多的可能是非現實的世界。這個非現實的世界中有許多問題可以用數學來解決，所以可以將“三會”的思想作用于其中。

雖然杜威與陶行知等教育家很早就強調了教育與社會生活的聯系，但是中小學生接觸的社會與一般的成人社會還是有區別的。在一定程度上來說，學生生活在“象牙塔”中，而不是現實世界中。他們的世界中非現實世界占比很大，因此在教育教學中也要考慮學生的非現實世界。

以上分析說明，《課程標準》中的“三會”，即“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”中的“現實”二字是可以刪掉的。否則，學生做什么事都要從現實出發，想象力就會被抑制，思維也會被禁錮。愛因斯坦認為想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力囊括世界上的一切，推動著社會進步，更是知識進化的源泉。可見，培養學生的想象力十分重要，而想象力的培養不能局限于現實世界中。因此，《課程標準》的“三會”改為“會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界”更合理。

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（責編" " 吳美玲）