HPM視角下的單元起始課教學

［摘" 要］ 單元起始課具有統領整個章節的作用，其教學可讓學生對單元學習內容產生大致了解，便于構建知識體系，具有開山引路之功效. 研究者以“等比數列前n項和”的起始課教學為例，以核心概念的界定為起點，基于“等比數列前n項和”的發展歷程去分析與思考，從“創設情境，導入新課”“實踐探索，形成猜想”“推導求證，完善認知”三個環節展開研究，以及從知識的再現、復制與順應三個維度展開思考.

［關鍵詞］ HPM；起始課；歷史

對于數學教學而言，起始課承載著激趣、啟思、勾連新舊知識等重要作用. 從HPM的視角出發設計單元起始課教學，有助于學生從宏觀角度理解新單元的內容，使他們能夠從知識的形成和演變歷程中深入體會“為何學”“學什么”“怎么學”“學如何”等，從而為培養核心素養打下堅實的基礎. 筆者以“等比數列前n項和”的單元起始課教學為例，從以下幾個方面進行了研究.

核心概念的界定

單元起始課是基礎課型之一，扮演著先行組織者的角色. 盡管如此，部分教師認為單元起始課的內容較為淺顯，并且在高考試題中鮮少涉及，因此往往忽視了這部分的教學. 這導致學生在知識基礎上不夠扎實，面對實際應用時顯得束手無策. HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡稱，指數學史與數學教育［1］. 自該理念問世以來，關于HPM的研究方興未艾. 實踐發現，將HPM理念應用到單元起始課的教學中，一方面能有效激發學生的探索熱情，提升學生的探究能力；另一方面可以引導學生深入探究知識的根源，真正領悟知識的本質和內涵，為將來的靈活應用打下堅實的基礎.

歷史的啟迪

教學過程設計

1. 創設情境，導入新課

情境1 “一尺之棰，日取其半，萬世不竭”為《莊子·天下篇》中的一句話.

情境2 講述一段關于在國際象棋棋盤上放置麥粒的歷史小故事.

情境3 呈現萊因德紙草書中的數學難題：7屋內分別有7只貓，每只貓吃7只老鼠，每只老鼠吃7個麥穗，每個麥穗含7個容積單位的麥粒，求房屋、貓、老鼠、麥穗以及麥粒容積總數.

要求學生閱讀上述三個情境，并逐一進行分析. 以情境3為例，學生需思考情境中提及的數量關系，明確題目中出現了7，72，73，74，75這幾個數，它們的和為19607. 基于此，再要求學生思考：如果增加項數，該怎樣求和呢？

設計意圖 以三個數學史上的經典問題作為教學情境，不僅能夠滲透數學文化，還能激發學生的思維活力，讓學生對等比數列的求和知識產生更深厚的情感，從而積極主動地投入到新知的探索之中，為構建完整的單元知識體系打下堅實的基礎. 眾所周知，恰當的情境設置能夠為課堂營造良好的學習氛圍，提高學生的課堂參與度. 此環節的三個情境設置，正為課堂營造了充滿文化氣息的教學環境，使每個學生在充滿文化底蘊的氛圍中邁進課堂，對本節課的教學內容產生積極的情感傾向.

2. 實踐探索，形成猜想

設計意圖 猜想是創新的起點，通過探究活動激發學生猜想，對于培養創新意識具有至關重要的作用. 在教師的引導下，學生逐漸拓展思維，形成初步猜想. 至于這些猜想所導出的結論是否準確，仍需經過嚴格的驗證過程.

3. 推導求證，完善認知

課堂數學史應用分析

1. 知識的再現

根據學生的認知發展規律以及知識的發展歷程，設計逐步深入的問題，能夠有效提升學生的思維層次，激發他們的潛能，引導他們自然而然地投身于知識的探究之旅. 弗賴登塔爾認為，最好的教學方法就是讓學生“再創造”知識. 在本節課中，教師運用類比、歸納等方法，以“首項為1，公比為2”的等比數列作為教學的切入點，逐步擴展至“首項為1，公比分別為3，4，…，n”的等比數列. 此為典型的從特殊到一般的數學研究過程. 只要學生能夠在課堂上與教師的教學節奏同步，他們就能深刻體驗等比數列前n項和的發展脈絡，從而形成理解性記憶，為將來的靈活運用打下堅實的基礎.

2. 知識的復制

古巴比倫泥板、萊因德紙草書等歷史文獻的展示，彰顯了知識復制的純粹性. 課堂探究環節提及的因式提取法、掐頭去尾法以及錯位相減法等，均為歷史上關于等比數列前n項和的研究突破. 將這些知識原汁原味地引入課堂，能夠提升學生的學習興趣，并為實際應用打下堅實基礎. 因此，知識的復制在數學教學中具有獨特的優勢. 盡管跨越了漫長的歲月，但將這些知識復制到課堂中，能夠激發學生的探索欲望，使每個學生都積極主動地投入到新知識的研究中，從而體驗歷史的發展和時代的進步.

3. 知識的順應

總之，數學發展離不開歷史沉淀，等比數列求和公式的研究，彰顯了數學發現、猜想和證明過程的重要性. 公式在歷史的畫卷中悄然形成，凸顯了“知識之諧”. 通過史料的復制與改編，提升了學生對公式的理解深度，課堂內容變得更加生動有趣，這表明從HPM視角出發的單元起始課教學，在促進數學學科核心素養的發展方面具有顯著的價值.

參考文獻：

［1］ 沈利芳，吳凱. HPM視角下數學史料在高中數學概念教學中的運用：以阿波羅尼斯圓為例［J］. 新課程評論，2021（4）：76-84.

［2］ 覃淋. 基于HPM視角的中職數學教材的編寫［J］. 湖北成人教育學院學報，2022，28（2）：16-22.