例析與圓中切線判定相關的幾何綜合問題

【摘要】在初中數學幾何領域的學習中，“圓”不僅是學生做題時經常會遇到的幾何圖形，更是人們日常生活中應用非常廣泛的一種幾何圖形.在中考數學的熱點題型中，有關于“圓”的問題更是重中之重，尤其是涉及“圓中切線判定”的內容.本文將就此類幾何綜合問題展開探討與分析.

【關鍵詞】初中數學；圓；切線判定；解題技巧

切線的判定方法有如下兩種：一種是未知切點的位置，那就需要過圓心作垂線段，只需證明該垂線段的長度等于圓的半徑長度即可；另一種是已知切點的位置，那就需要連接圓心與切點，證明所求線段與連線垂直即可.

1"未知切點，求證“切線”

例1"如圖1所示，在等腰三角形ABC中，線段AB與線段AC的長度相等，點O是底邊BC的中點，現過點O作OD⊥AB，垂足是點D，然后以點O為圓心，線段OD的長度作為半徑畫圓，并交線段BC于點M和點N.

（1）線段AB與圓O的位置關系是_____.

（2）求證：線段AC是圓O的切線.

解題思路

本題考查的是“圓的綜合問題”“切線的判定和性質”.

（1）根據“切線的判定定理”即可解答：經過圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線，叫做“圓的切線”.

（2）如圖2所示，過點O作OE⊥AC，交線段AC于點E，然后連接OA，接著證明OE=OD，再根據“切線的判定定理”進行證明即可.

解析

（1）由題意可知：OD⊥AB，線段OD是圓O的半徑.

所以線段AB到圓心O的距離等于圓的半徑，即線段AB是圓O的切線.

因此，線段AB與圓O的位置關系是“相切”.

（2）證明：如圖2所示，過點O作OE⊥AC，交線段AC于點E，連接OA.

在等腰三角形ABC中，AB=AC，點O是底邊BC的中點，所以線段AO是∠BAC的角平分線.因為OD⊥AB、OE⊥AC，所以OD=OE.

又因為線段OD是圓O的半徑，所以線段OE也是圓O的半徑.所以線段AC到圓心O的距離等于圓的半徑，即AC是圓O的切線.

2"已知切點，求證“切線”

例2"如圖3所示，已知線段AB是圓O的直徑，點C和點D是圓O上的兩點，且BC=CD.點E是線段AB延長線上的一點，現連接EC并將其延長、交射線AD于點F.已知∠FEG的角平分線EH交射線AC于點H，∠H=45°.

（1）求證：線段EF是圓O的切線；

（2）倘若線段BE的長度是2，線段CE的長度是4，那么線段AF的長度是多少？

解題思路

（1）首先利用“角平分線的定義”“等腰三角形的性質”“圓周定理”，求證出OC∥AF；然后再根據“三角形的內角和定理”“角平分線的定義”，即可求出∠F=2∠H=90°，進而可求證出OC⊥EF；最后再根據“切線的判定定理”進行證明.

（2）首先利用“相似三角形的判定”“相似三角形的性質”，求解出線段AB的長度；然后再根據“直角三角形的邊角關系”，求解出線段AC和線段BC的長度；最后再利用“相似三角形的性質”，求解出最后結果即可.

解析"（1）證明：如圖4所示，連接OC.

因為BC=CD，所以∠DAC=∠BAC.

又因為在△AOC中，OA=OC，所以∠OAC=∠OCA.

因此∠OCA=∠DAC，進而可得知OC∥AF.

因為EH平分∠FEG，所以∠FEH=∠GEH.

又因為∠GEH=∠H+∠BAC，∠FEG=∠F+∠BAF，

所以2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.

又因為∠BAF=2∠BAC，所以∠F=2∠H=90°.

因此∠OCE=∠F=90°，即OC⊥EF.

由于線段OC是圓O的半徑，故此線段EF是圓O的切線.

（2）由題意可知，線段AB是圓O的直徑，所以∠ACB=90°.

因此在Rt△ACB中，∠OBC+∠BAC=90°.

由（1）中可知OC⊥EF，所以∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°.

在△BOC中，OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，所以∠BCE=∠EAC.

又因為∠CEB=∠AEC，所以△BCE與△CAE相似，進而可得知BE/CE=CE/AE=BC/AC=2/4=1/2，故此CE2=BE·AE，即16=2AE，可解得AE=8，所以AB=8－2=6.

在Rt△ACB中，AB=6，BC/AC=1/2，

所以BC=6√5/5，AC=12√5/5.

又因為∠F=∠ACB=90°，∠FAC=∠BAC，所以△FAC與△CAB相似，進而可得知AF/AC=AC/AB，那么AF=AC2/AB=24/5.

3"結語

“圓中切線”作為初中數學幾何問題中的重點內容，無論是其性質，還是判定的方法，都是中考中經常考查的知識點.仔細研究近些年來的中考試題，不難發現中考中關于圓中切線的問題題型相當靈活，一道問題中通常涉及很多知識點，綜合性有了顯著的提升，這顯然是對學生知識綜合能力的考查進行的調整.

在解決“圓中切線判定”相關的綜合問題時，同學們切莫因為問題復雜而心生煩躁，要保持冷靜平和的心態，認真審題，仔細回想與該題相關的知識點，嘗試畫輔助線等方法，逐步求解問題即可.