基于智能化識別的鐵路隧道多連通域映射函數求解

【摘要】基于復變函數映射函數求解的基本原理，建立了多連通域映射函數求解數學模型，并引入復合形優化算法，求解了深埋隧道多連通域問題的近似映射函數。結果表明：對于非圓不規則形狀的多連通域問題，映射函數無法精確求解，只能得到有限項的冪級數作為近似映射函數，增加邊界上映射點數量或者增加冪級數項數均可提升映射函數的精度。通過復合形優化算法計算，冪級數項數取4，半邊界映射點數量取40時，映射形狀與實際吻合良好，函數精度較高。

【關鍵詞】映射函數； 多連通域； 解析解； 智能識別

【中圖分類號】U456.3A

0 引言

將深埋圓形隧道簡化為含圓孔的平面無限大域時，可以通過平面彈性力學常規解法對深埋圓形隧道開挖引起的位移、應力展開解析分析。但對于淺埋隧道開挖、深埋非圓形隧道開挖、雙線隧道開挖等一系列更加復雜的實際問題，依靠平面彈性力學常規的逆解法和半逆解法往往難以推導得到解析解，需要引入平面彈性力學復變函數求解方法［1］。基于Muskhelishvili［2］提出的平面彈性力學復變函數求解方法，結合保角映射，大量學者開展了隧道襯砌和圍巖的位移、應力解析分析。曹小林［3］推導得到了深埋圓形、橢圓形、矩形、直墻拱形等常用隧道斷面開挖引起的圍巖應力解析解，并被Abaqus有限元數值解驗證。張治國等［4］推導得出了盾構隧道開挖引起的土體變形解析解，與現場實測土體變形值進行對比驗證了解析解的正確性。曾癸森［5］推導得到了半無限域內淺埋橢圓形隧道開挖引起的圍巖位移、應力解析解，并被Ansys有限元數值解驗證。李阿康［6］推導了地表超載作用下淺埋圓形隧道位移、應力解析解，并被Midas-GTS有限元數值解驗證。李巖松等［7］考慮隧道壁后注漿加固效應，推導得到了注漿加固條件下深埋馬蹄形隧道襯砌和注漿圈的位移、應力解析解，并被Flac有限差分數值解驗證。

大量學者采用平面彈性力學復變函數求解方法對隧道開挖以及支護過程中的力學問題展開了解析研究，然而其計算過程復雜繁瑣，求解難度較大，故僅在一些較為簡單的隧道力學問題中應用。因此，本文基于平面彈性力學復變函數冪級數求解方法，對凍脹作用下隧道襯砌力學響應開展解析分析。

1 單連通域映射函數求解原理

針對一個由一條圓形邊界或橢圓形邊界組成的單連通域問題，其映射函數可以精確表示。然而求解一個由一條不規則邊界組成的單連通域問題的精確映射函數難度較大，單連通域保角映射示意如圖1所示。

2 復合形優化算法基本原理及步驟

采用復合形優化算法求解有約束的n維非線性優化問題時，首先需要為每個未知參數在計算空間內選取m（n+1≤m≤2n）個初始頂點，且滿足未知參數邊界條件和優化問題的約束條件，使其構成一個未知參數的初始復合形。隨之復合形進行迭代計算，在迭代過程中不斷舍棄目標函數值最大點，并尋找到的目標函數值更小值進行替代，與前一步保留的其他頂點共同構成新的復合形，如此重復迭代，當滿足優化問題所需的精度要求時，即可收獲一組優化問題的近似解。

復合形優化算法在求解非線性優化問題時一般按照如下步驟進行：

3 隧道多連通域映射函數求解

3.1 多連通域問題的目標函數修正

多連通域保角映射示意如圖2所示。對于多連通域問題，如仍然采用前述目標函數求解映射函數，僅考慮一條連通邊界上各點的映射精度，則另外兩條連通邊界的映射精度難以保證，故須對第1節所推導的目標函數進行修正。

3.2 單線鐵路隧道映射函數求解實例

以我國西部地區某寒區單線鐵路隧道作為研究對象，其簡化后的隧道斷面形式如圖3所示。

工程結構程朝， 李樹茂， 藺詩瑤，等： 基于智能化識別的鐵路隧道多連通域映射函數求解

假設隧道襯砌厚度0.6 m，凍結圍巖區厚度2.5 m，按圖4所示建立直角坐標系，求解考慮襯砌內、外邊界及凍結圍巖邊界的深埋曲墻拱形隧道多連通域映射函數。

根據前述計算流程，在圖4所示x軸右側隧道襯砌內、外邊界及凍結圍巖邊界上分別均勻地選取m=40個頂點，共3m=120個頂點。x軸右側邊界上所選取的頂點坐標如表1所示。

按照上述坐標可以繪制出近似映射圖形的形狀，如圖5所示，將實際形狀與映射形狀相對比，圖中實線表示實際形狀，虛線表示近似映射形狀，由圖可知，映射形狀與實際形狀較為接近，能近似反映實際形狀。總體來看，取n=4時求解得到的近似映射函數具有較好的映射精度，若想進一步提高映射精度，可增加Ck的項數，即增大n的取值，或者在待研究域邊界上選取更多的點用于構造目標函數，即增大m的取值。

4 結論

本章基于映射函數求解基本原理構建了多連通域映射函數求解數學模型，引入復合形優化算法，求解了深埋隧道多連通域問題的近似映射函數，得出結論如下：

（1）近似映射函數求解可以視作求目標函數最小值的帶約束非線性優化問題，目標函數與邊界上所取映射點坐標及數量相關，增加邊界上映射點數量m或者增加冪級數項數k均可提升映射函數的精度。

（2）引入復合形優化算法，冪級數項數取至k=4，在每條邊界的右半部分中選取m=40個映射點，構造目標函數，編寫了非規則邊界多連通域問題通用映射函數求解程序，求解單線鐵路隧道對應近似映射函數，發現映射形狀與實際形狀吻合程度較高，說明近似映射函數精度良好。

參考文獻

［1］ 陳子蔭. 圍巖力學分析中的解析方法［M］. 北京： 煤炭工業出版社， 1994.

［2］ N.;I.;Muskhelishvili， Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elas-ticity［M］. English translation， Noordhoff lnternational Publishing， Leyden， 1977.

［3］ 曹小林. 半無限空間中隧道橫斷面應力和位移的復變函數解［D］. 蘭州：蘭州理工大學， 2017.

［4］ 張治國， 楊軒， 宮劍飛， 等. 復變函數法分析盾構隧道開挖引起的土體位移和襯砌變形［J］. 巖土工程學報， 2017， 39（9）： 1626-1635.

［5］ 曾癸森. 彈性半無限域中非圓形隧洞的復變函數解［D］. 北京：華北電力大學， 2018.

［6］ 李阿康. 基于復變函數方法的淺埋圓形隧道圍巖變形與應力理論解研究［D］. 合肥：安徽建筑大學， 2018.

［7］ 李巖松， 陳壽根. 考慮注漿加固作用的非圓形隧道應力和變形解析解［J］. 中國公路學報， 2018， 31（10）： 255-265.

［8］ 呂愛鐘， 張路青. 地下隧洞力學分析的復變函數方法［M］. 北京： 科學出版社， 2007.

［9］ 呂愛鐘， 王全為. 應用最優化技術求解任意截面形狀巷道映射函數的新方法［J］. 巖石力學與工程學報， 1995（3）： 269-274.