等價無窮小量代換、洛必達法則與泰勒公式的應用比較

摘"要：等價無窮小量代換、洛必達法則和泰勒公式是高等數學中常用的三種方法，通常用于簡化極限計算和導數求解.在實際應用中，很多學生受到高中數學思維的影響，一遇到求極限問題就喜歡用洛必達法則來計算，這樣往往導致很大計算量，而且容易出錯.本文旨在比較等價無窮小量代換、洛必達法則和泰勒公式的應用，分析它們各自的優缺點和適用范圍，并通過具體題目來展示如何在求極限問題中靈活運用這些方法，以提高學生們的數學思維能力和解決實際問題的能力.

關鍵詞：等價無窮小量；洛必達法則；泰勒公式

1"概述

在高等數學中，極限、導數和積分是核心概念，而等價無窮小量代換、洛必達法則和泰勒公式是在解決這些問題時常用的工具.盡管這些方法在數學理論中占有重要地位，但在實際應用中，大家往往對這些方法的理解和運用存在困難.因此，本文旨在比較等價無窮小量代換、洛必達法則和泰勒公式在求極限中的應用，以期讓大家更好地理解這些方法.

2"預備知識

2.1nbsp;無窮小量

無窮小等價量代換是高等數學中的一種基本技巧，它在求解極限、導數、積分等問題中具有重要意義.通過對無窮小等價量的判斷和代換，可以將復雜的極限問題轉化為簡單的數學運算，從而提高解題效率.

如果limx→x0f（x）=0，那么稱f是當x→x0時的無窮小量.

若f和g都是當x→x0時的無窮小量，且有limx→x0f（x）g（x）=1，則稱f和g是當x→x0時的等價無窮小量，記作f（x）～g（x）（x～x0）.

定理1：如果f（x）～g（x）（x～x0），則有：（1）若limx→x0f（x）h（x）=A，則limx→x0g（x）h（x）=A；（2）若limx→x0h（x）f（x）=A，則limx→x0h（x）g（x）=A.

這個定理的證明可見參考文獻［1］.

常見的一些等價無窮小量有：當x→0時，sinx～x～tanx～arcsinx～arctanx，1-cosx～12x2；ln（1+x）～x；ex-1～x；（1+x）a-1～ax.

在實際問題中，以上等價量中的x可以用任一無窮小量代替.

關于無窮小量，我們有如下運算規則：

（1）設limx→x0f（x）=0，則有o（f（x））±o（f（x））=o（f（x）），o（f（x））·o（f（x））=o（f（x）），A·o（f（x））=o（f（x））（此處A是常數或者一個有界函數）；

（2）設a是一個正實數，則有o（（x-x0）a）±o（（x-x0）a+1）=o（（x-x0）a）；

（3）如果f（x）=o（xn），那么f′（x）=o（xn-1）；

（4）如果f（x）=o（xn），那么xf（x）=o（xn+1）.

這些性質都可以在參考文獻［2］中找到相應證明.

2.2"洛必達法則

洛必達法則（L'Hｏ＾pital's"rule）是高等數學中一個重要的計算方法，用于求解一些特定形式的極限問題.特別適用于求解形如00或∞∞的未定式極限.通過將極限問題轉化為導數問題，洛必達法則能夠簡化計算過程，揭示函數在某一點的性質.

定理200型洛必達法則：若函數f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）f（x）與g（x）在x→a時的極限均為0；（2）兩函數在x=a處的某去心鄰域內均可導，且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=A（A可以為任意實數，也可以為±∞或∞），則limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A.

定理3∞∞型洛必達法則：若函數f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→ag（x）=∞；（2）兩函數在x=a處的某去心鄰域內均可導，且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=A（A可以為任意實數，也可以為±∞或∞），則limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A.

以上兩個定理就是我們常說的洛必達法則中的00型和∞∞型的未定式極限.定理的證明可見參考文獻［1］.由這兩個定理可以得到其他類型的不定式極限，比如0·∞型、1∞型、00型、∞0型和∞-∞型等.它們均可以化為以上兩種類型的不定式極限.

2.3"泰勒公式

定理4（泰勒公式）：設函數f（x）在點x0存在直至n階導數，則有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n），即f（x）=f（x0）+f′（x0）（xx0）+f″（x0）2！（xx0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+o（（x-x0）n）.

這個定理的證明可見參考文獻［1］.

當x0=0時，我們可以得到麥克勞林公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）.

常見的一些麥克勞林公式有：

sinx=x-x33！+…+（1）m-1x2m（2m1）！+o（x2m）；

cosx=1-x22！+x44！+…+（1）mx2m（2m）！+o（x2m+1）；

tanx=x+x33+215x5+o（x5）；

ln（1+x）=x-x22+x33+…+（-1）n-1xnn+o（xn）；

ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+o（xn）；

（1+x）a=1+ax+a（a-1）2！x2+…+a（a-1）…（a-n+1）n！xn+o（xn）.

這些式子的證明可見參考文獻［1］.關于泰勒公式的更多應用可以參見文獻［3］.

3"等價無窮小量代換與洛必達法則的比較

洛必達法則可能是很多學生求極限的首選，但是當所求式子中分母和分子中的函數求導很復雜，而且求導之后的結構更加復雜，這時洛必達法則就不是那么好用了.有時可以考慮等價無窮小量代換與洛必達法則同時交替運用。

例1：求極限limx→0x（1-cosx）（1-ex）sin2x.

解：如果一上來就用洛必達法則，我們會發現上下求導之后還是00型不定式極限，然后再次上下求導之后還是00型不定式極限，而且含有的式子太多，更加復雜.因此我們考慮先進行一些等價無窮小量代換，然后再用洛必達法則.

當x→0時，我們有1-cosx～12x2，sinx～x，從而有

limx→0x（1-cosx）（1-ex）sin2x=limx→0x·x22（1-ex）x2=limx→0x2（1-ex）.

現在分子分母都是比較容易求導的式子，而且求導之后的結構也會更加簡單，此時可以考慮洛必達法則，從而可得limx→0x（1-cosx）（1-ex）sin2x=limx→0x2（1-ex）=limx→01-2ex=-12.

從以上例題我們可以看出，等價無窮小量代換與洛必達法則的選擇，可以遵循以下原則：如果所求極限的式子滿足洛必達法則的條件，而且含有的函數求導都比較簡單，比如是ex類型或者多項式類型，這時可以考慮首選洛必達法則.如果分子或者分母中含有的函數求導比較復雜，或者求導之后式子更加復雜，這時可以考慮先對式子的分母或分子的一些乘法因式進行一些等價無窮小量代換，或者運算過程中與洛必達法則交替使用.

4"等價無窮小量替換與泰勒公式的比較

從形式上看，泰勒公式是等價無窮小量的高階版本，比等價無窮小量代換看著復雜很多.但是涉及一些包含加減法運算的極限問題時，泰勒公式要比等價無窮小量代換有更多的使用范圍.

下面我們先看一個例子.

例2：求極限

因此可得limx→0cos（sinx）-cosxx4=16.

從以上例題我們可以看出，等價無窮小量代換與泰勒公式的選擇，可以遵循以下原則：（1）所求極限的式子中如果分子或者分母的因式中有比較明顯能夠一眼看出來的等價無窮小量代換，可以考慮求極限的過程一開始就代換掉相應式子，從而簡化求極限的過程；（2）如果所求極限的式子中分子或者分母中含有加減法的運算，而且求導運算也有點復雜，導致洛必達法則不好運用，可以考慮使用泰勒公式代換部分式子.至于代換后保留x的多少次方項，可以根據分子分母的其余式子相當于x的多少次方項來進行選擇.當然，保留過多項進行計算，結果不會出錯，只是會增加一些無謂的計算.

5"洛必達法則與泰勒公式的比較

從以往經驗來看，洛必達法則在解決極限問題時非常有效，尤其是在函數導數比原函數更容易計算的情況下.然而，它并不適用于所有類型的極限問題，通常來說洛必達法則適用于形如00型和∞∞型的未定式極限問題，計算過程涉及對函數進行求導，可能需要多次求導，但有時得到的結果仍然是未定的極限形式，需要進一步的計算；泰勒公式適用于求解函數在某一點的導數，計算過程也簡單，但需要滿足函數在某一點附近有導數的要求.實際上，大部分能用洛必達法則解決的極限問題都可以用泰勒公式來解決，只是有時涉及的函數的導數有點復雜會導致計算量增大.

6"三者進行綜合比較和運用

綜合以上討論，我們可以得到如下規律：（1）如果所求極限的式子滿足洛必達法則的條件，而且分子分母中含有的函數求導都比較簡單，這時可以考慮首選洛必達法則；（2）如果所求極限的式子中分子或者分母中含有的函數求導比較復雜，或者求導之后式子更加復雜，這時可以考慮先對式子的分母或分子的一些乘法因式進行一些等價無窮小量代換，或者運算過程中與洛必達法則交替使用；（3）如果所求極限的式子中分子或者分母中含有加減法的運算，而且求導運算也有點復雜，導致等價無窮小量代換和洛必達法則不好運用，則可以考慮使用泰勒公式代換部分式子；（4）根據前面幾條原則，如果基本上大的工作已經處理完畢（比如使用等價無窮小量代換、泰勒公式展開、加減湊項、確定項代值）后，可以考慮運用洛必達法則.在運用洛必達法則之后，重新考察式子，再根據前面幾條法則進行選擇，直到最后得到所求極限.

總之，等價無窮小量代換可以作為首選，其次就是洛必達法則，兩者都沒法減少計算量的話，可以一開始就考慮泰勒公式展開適當項.

例3：求極限limx→0（1+x）1x-e·ln（1+x）xsin（x2）.

解：我們看到分子極其復雜，求導會導致式子更加復雜，而且含有減法，從而一開始分子就不能選用無窮小量代換或者洛必達法則，可以考慮用泰勒公式.分母可以等價無窮小量代換，利用當x→0時，sinx～x，可得sin（x2）～x2.

注意到當x→0時，有ln（1+x）=x-x22+x33+o（x3），因而有ln（1+x）x-1=-x2+x23+o（x2）.所以可得

（1+x）1x=e1xln（1+x）=e·e1xln（1+x）-1

=e1+1xln（1+x）-1+121xln（1+x）-12+o1xln（1+x）-12=e1+-x2+x23+o（x2）+12x24+o（x2）+o（x2）

=e1-x2+1124x2+o（x2），以及e·ln（1+x）x=e1-x2+x23+o（x2）.

因此可得limx→0（1+x）1x-e·ln（1+x）xsin（x2）=limx→0e1-x2+1124x2+o（x2）-e1-x2+x23+o（x2）x2=limx→0e1124x2+o（x2）-x23+o（x2）x2=limx→0e1124x2-x23+o（x2）x2=limx→0e18x2+o（x2）x2=e8.

7"結論

本文主要對高等數學中等價無窮小量代換、洛必達法則與泰勒公式的應用選擇進行了討論，結合一些常見的例子給出了一些選擇規律.通過討論，我們對這三個常用求極限的方法有了更好的了解.在日常學習當中，我們一定要對于常見的方法進行比較和總結，這樣我們才能對數學理論有深刻的認識并靈活運用.

參考文獻：

［1］華東師范大學數學系.數學分析：上冊［M］.5版.北京：高等教育出版社，2019.

［2］楊吉英，張娟，蔡姍姍.關于無窮小階數的幾點注記［J］.大學數學，2021，37（5）：104108.

［3］蘇華.高等數學中“泰勒公式”的口訣記憶及其應用［J］.高等數學研究，2022，25（5）：2124.

作者簡介：白占強（1983—"），男，漢族，河北趙縣人，博士研究生，副教授，研究方向：李理論。