巧用動(dòng)量守恒定律解決多次碰撞問題

【摘要】本文通過對兩物體的多次碰撞問題和多物體的多次碰撞問題進(jìn)行分析，展示在不同情境下運(yùn)用動(dòng)量守恒定律處理多次碰撞問題的具體方法與思路，總結(jié)解題的關(guān)鍵步驟與技巧，凸顯該定律在解決這類復(fù)雜物理問題中的有效性與重要性，為物理學(xué)習(xí)與教學(xué)提供實(shí)用參考.

【關(guān)鍵詞】高中物理；動(dòng)量守恒定律；多次碰撞

在物理學(xué)的力學(xué)領(lǐng)域，碰撞問題是常見且重要的研究課題，而多次碰撞更是其中較具復(fù)雜性與挑戰(zhàn)性的一類.動(dòng)量守恒定律作為自然界的基本守恒定律之一，為解決多次碰撞問題提供了有力的理論工具[1].熟練掌握動(dòng)量守恒定律在物體多次碰撞情境下的運(yùn)用，對于深入理解力學(xué)原理、解決物理難題意義深遠(yuǎn).

1 兩物體的多次碰撞問題

例1 如圖1所示，一足夠長的固定斜面與水平方向夾角為α，質(zhì)量為3m的物塊A在斜面上恰好不下滑，質(zhì)量為m的光滑物塊B從距A一定距離處由靜止釋放，與A發(fā)生正碰，碰撞時(shí)間極短.B與A碰撞前瞬間的速度大小為v0，碰撞后B以12v0的速度彈回.已知重力加速度大小為g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力.求：

（1）B從釋放到與A碰撞所運(yùn)動(dòng)的距離；

（2）B與A第一次碰撞過程中，B對A的沖量大小；

（3）B與A第一次碰撞到第二次碰撞過程中，A與斜面因摩擦產(chǎn)生的熱量.

解析 （1）對B物體，根據(jù)動(dòng)能定理，

有mgxsinα=12mv02，

解得x=v022gsinα.

（2）在B與A碰撞時(shí)，以沿斜面向下為正方向，設(shè)碰撞后A的速度為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有：

mv0=－m12v0+3mv，

解得v=12v0，

對A應(yīng)用動(dòng)量定理，有I=3mv，

聯(lián)立解得I=32mv0.

（3）設(shè)第一次碰撞后，經(jīng)過時(shí)間t，B與A發(fā)生第二次碰撞，在這過程中，兩者運(yùn)動(dòng)的位移相同.對B根據(jù)牛頓第二定律，有mgsinα=ma，

則對A、B根據(jù)位移與時(shí)間公式有：x=12v0t，

x=－12v0t+12at2，

對A進(jìn)行受力分析，A受到的摩擦力大小：

f=3mgsinα，

在這過程中，物塊A與斜面因摩擦產(chǎn)生的熱量：Q=fx，

聯(lián)立解得Q=3mv02.

點(diǎn)評 物塊A在斜面上恰好不下滑，說明A與斜面間的最大靜摩擦力等于A的重力沿斜面向下的分力，而B為光滑物體，兩物體碰撞后B被反彈，然后再次在斜面上追上A物體，然后再次進(jìn)行碰撞.兩物體在斜面上碰撞時(shí)，因碰撞時(shí)間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，動(dòng)量守恒，因此可多次應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求解碰撞前后的速度，進(jìn)而解決問題[2].

2 多物體的多次碰撞問題

例2 如圖2所示，半徑為R的14豎直圓弧軌道與足夠長的水平軌道平滑連接，水平軌道上有2024個(gè)大小相同的球從左往右依次編號排成一排，相鄰兩球間距均為R，1號球的質(zhì)量為2m，2～2024號球的質(zhì)量均為m.若將質(zhì)量為2m的A球從圓弧軌道的最高點(diǎn)靜止釋放.所有球均視為質(zhì)點(diǎn)，碰撞均為彈性碰撞，已知重力加速度大小為g，不計(jì)一切阻力.

（1）求1號球與2號球第一次碰撞后1號球的速度大小；

（2）若1號球與2號球第一次碰撞后，立即給1號球施加水平向右的恒定外力F（圖中未畫出，F(xiàn)遠(yuǎn)小于1、2號球碰撞時(shí)的相互作用力），使1號球每次與2號球碰撞前的速度都和兩球第一次碰撞前1號球的速度相等，直到1～2024號球速度第一次都相等時(shí)撤去外力，求：

①外力F的大小；

②最終1號球與2024號球之間的距離.

解析 （1）A球從圓弧軌道最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至水平軌道的過程，

根據(jù)機(jī)械能守恒有mgR=12mv20，

A球質(zhì)量為2m，代入解得v0=2gR，

A球與1號球發(fā)生彈性碰撞，因兩球質(zhì)量相等，故碰撞后交換速度，即碰后1號球的速度為v0=2gR，

1號球與2號球發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有2mv0=2mv1+mv2，12×2mv20=12×2mv21+12mv22，

聯(lián)立解得碰撞后1號球的速度為v1=132gR，

2號球的速度為v2=432gR.

（2）①1號球與2號球碰撞后，F(xiàn)作用在1號球上，使其速度大小由v1增大到v0，由動(dòng)能定理得FR=12×2mv20－12×2mv21，

解得F=169mg.

②設(shè)F作用下1號球的總位移為x，對1～2024號小球組成的整體，由動(dòng)能定理得Fx=12×2023mv22+12×2mv22－12×2mv20，

最終，1～2024號小球的速度大小均為v2，設(shè)F作用的總時(shí)間為t，對整體，由動(dòng)量定理得Ft=2023mv2+2mv2－2mv0，

1號球與2024號球之間的距離為d=v2t－x，

聯(lián)立解得d=161858R.

點(diǎn)評 本例中物體間的碰撞均在水平方向，而系統(tǒng)在水平方向不受力，動(dòng)量守恒.A球運(yùn)動(dòng)到水平位置后，小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)瞬間改變，需精準(zhǔn)分析每次碰撞前后物體的速度、動(dòng)量變化，且后續(xù)碰撞受前面碰撞結(jié)果影響，呈現(xiàn)連鎖反應(yīng)，對邏輯推理、物理過程梳理能力要求較高.

3 結(jié)語

動(dòng)量守恒定律在應(yīng)對多次碰撞問題上具有獨(dú)特的優(yōu)勢與價(jià)值，通過精準(zhǔn)把握其原理、嚴(yán)格審視適用條件，針對不同類型的多次碰撞進(jìn)行細(xì)致剖析、按規(guī)范步驟巧用技巧求解，能有效拆解復(fù)雜物理過程、攻克難題[3].這不僅有助于提升學(xué)生物理學(xué)習(xí)效果、深化理論認(rèn)知，也為分析多物體相互作用、優(yōu)化系統(tǒng)性能提供理論根基與實(shí)操指南，彰顯基礎(chǔ)物理定律持久強(qiáng)大的生命力與廣泛的應(yīng)用前景.

參考文獻(xiàn)：

[1]段石峰.2024年高考湖南卷壓軸題“多次碰撞問題”的研究[J].物理教師，2024，45（09）：75-77.

[2]何冬妹，黃晶.一維多次碰撞問題譯析[J].中學(xué)物理，2010，28（01）：42-44.

[3]徐穎超.高中物理利用遞推法求解多次碰撞問題[J].數(shù)理天地（高中版），2024（12）：18-19.