解題有道，法隨心動(dòng)

【摘要】本文將單桿切割磁感線問題分為無(wú)電源、有電源以及有電容三種類型，并通過具體的例題分析，幫助學(xué)生理解不同單桿切割磁感線問題的解題方法，旨在提高學(xué)生解題能力，強(qiáng)化物理核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】高中物理；單桿切割；磁感線

在高中物理學(xué)習(xí)中，單桿切割磁感線問題是電磁學(xué)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一.此類問題涉及感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、安培力等多個(gè)物理概念，是考查學(xué)生綜合運(yùn)用物理知識(shí)能力的重要題型.本文旨在通過構(gòu)建不同情境下的單桿切割磁感線模型，提煉解題方法，幫助學(xué)生更好地理解和掌握該知識(shí)點(diǎn).

1 無(wú)電源的單桿切割模型

在該模型中，導(dǎo)體棒以某一初速度切割磁感線，充當(dāng)電源產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其大小與瞬時(shí)速度v相關(guān)，回路中因此產(chǎn)生感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒受到的安培力對(duì)導(dǎo)體棒做負(fù)功，速度逐漸減小，安培力也減小，導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)直至停下.

例1 如圖1所示，兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定于同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，其間距L=1m.左端通過導(dǎo)線連接一個(gè)R=1.5Ω的定值電阻，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下、大小B=0.4T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.現(xiàn)有一L=1m、電阻r=0.5Ω、質(zhì)量m=0.2kg的單桿垂直放置于兩導(dǎo)軌上.在桿的中點(diǎn)施加一個(gè)垂直桿的水平拉力F，使桿由靜止開始運(yùn)動(dòng)，拉力F的功率P=2W保持不變，當(dāng)桿的速度v=5m/s時(shí)撤去拉力F.求：

（1）桿的速度為4m/s時(shí)，桿的加速度的大小；

（2）從撤去拉力F到桿停下整個(gè)過程中，桿上產(chǎn)生的熱量值；

（3）從撤去拉力F到桿停下整個(gè)過程中，桿滑動(dòng)的位移大小x.

解析 （1）桿運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv1，根據(jù)歐姆定律可得，電路中感應(yīng)電流：I=BLv1R+r，代入數(shù)據(jù)可得：I=0.8A，桿所受安培力：FA=BIL，代入數(shù)據(jù)可得：FA=0.32N，若桿加速階段速度v1為4m/s時(shí)，拉力：F=Pv1.代入數(shù)據(jù)可得：F=0.5N，根據(jù)牛頓第二定律：F-FA=ma1，代入數(shù)據(jù)可得a1=0.9m/s2，若桿減速階段速度為4m/s時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，代入數(shù)據(jù)可得a2=1.6m/s2.

所以桿的速度為4m/s時(shí)，加速階段為0.9m/s2；減速階段為1.6m/s2.

（2）從撤去拉力F到桿停下的整個(gè)過程中，桿的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電路中產(chǎn)生的總熱量，所以總熱量：Q=12mv2，代入數(shù)據(jù)可得Q=2.5J，桿上產(chǎn)生的熱量Q1=rR+rQ，代入數(shù)據(jù)可得Q1=0.625J.

所以從撤去拉力F到桿停下整個(gè)過程中，桿上產(chǎn)生的熱量為0.625J.

（3）從撤去拉力F到金屬桿停下的整個(gè)過程，桿只受安培力做變減速直線運(yùn)動(dòng)，取向右為正方向，由動(dòng)量定理得－BI·L·Δt=0－mv，又根據(jù)電流的定義：q=I·Δt=BLvR+rΔt=BLxR+r，聯(lián)立解得x=12.5m.所以桿滑動(dòng)的位移大小x為12.5m.

2 有電源的單桿切割模型

在該模型中，導(dǎo)體棒充當(dāng)電阻.但是由于電源的存在，回路中存在電流，所以導(dǎo)體棒會(huì)因安培力的存在而運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體棒切割磁感線從而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與原有電源電流方向相反.故當(dāng)導(dǎo)體棒開始切割磁感線后，導(dǎo)體棒受到安培力做正功，導(dǎo)體棒的速度在逐漸增大，而安培力又作為導(dǎo)體棒的合力受到速度的影響而減小，故導(dǎo)體棒將做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，直至做勻速直線運(yùn)動(dòng).做勻速直線運(yùn)動(dòng)的條件是導(dǎo)體棒不再受安培力，即回路中無(wú)電流，此時(shí)的速度為導(dǎo)體棒的最大速度.

例2 如圖2，同一水平面內(nèi)，設(shè)有間距L=0.5m的平行光滑導(dǎo)軌PQ與MN，其磁感強(qiáng)度為B=0.8T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向下.質(zhì)量為m=0.1kg、電阻值為R=0.8Ω的直導(dǎo)線ab跨置于導(dǎo)軌之上.導(dǎo)軌自身的電阻被忽略不計(jì).在M、P兩端，接入電動(dòng)勢(shì)E=1.5v，內(nèi)阻r=0.2Ω、的電源，并使用開關(guān)控制.在開關(guān)S閉合瞬間，單桿ab的加速度為多少？后續(xù)變化如何？

解析 在開關(guān)S閉合的初始時(shí)刻，導(dǎo)線ab處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此沒有產(chǎn)生電磁感應(yīng).此時(shí)，電流從a流向b，為I0=ER+r=1.5A，導(dǎo)致ab受到水平向右的安培力，此時(shí)ab在安培力的作用下產(chǎn)生加速度，表示為a0=F0m=BI0Lm=6m/s2，ab開始向右運(yùn)動(dòng)，并切割磁感線.當(dāng)ab的速度達(dá)到v時(shí)，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì).而根據(jù)電磁感應(yīng)定律，ab所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與回路中電源產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)相反，二者相互抵消，致使回路中的電流隨著ab的運(yùn)動(dòng)而減小.電流減小的情況下，ab所受向右的安培力也隨之減小，加速度減小.但此時(shí)ab的速度仍在持續(xù)增加，電動(dòng)勢(shì)、電流、安培力仍持續(xù)減小，直至ab感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電源電動(dòng)勢(shì)相等，回路電流為零，ab加速度、所受安培力趨近于零.此時(shí)ab的運(yùn)動(dòng)速度為最大值vmax，并且ab以此速度在電磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng).所以vmax=EBl=3.75m/s.

3 有電容的單桿切割模型

在有電容的單桿切割模型中，金屬桿在磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).該電動(dòng)勢(shì)相當(dāng)于一個(gè)電源，可以給電容器充電，并在電路中產(chǎn)生電流.同時(shí)，金屬桿會(huì)受到安培力的作用，阻礙金屬桿的運(yùn)動(dòng).在模型中金屬桿受到的安培力為FB=BIl，加速度可表示為a=F－FBm，回路中的電流可表示為I=ΔQΔt=CBla.

例3 如圖3，一組豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌，其間距為l，一端連接電容為C的電容器.一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里.質(zhì)量為m的金屬棒ab可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦自由滑動(dòng).現(xiàn)將金屬棒ab從距地面一定高度處由靜止自由釋放，不計(jì)空氣阻力、導(dǎo)軌電阻及自感等影響.求金屬棒ab落地時(shí)的速度大小.

解析 ab在mg作用下加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t，速度增為v，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電容器帶電量Q=CE=CBIv，感應(yīng)電流I=Qt=CBLvt=CBla，產(chǎn)生安培力F=BIL=CB2l2a，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，mg-F=ma，將F=BIL=CB2l2a代入mg-F=ma中，得mg－CB2l2a=ma，提取公因式得mg=a（m+CB2l2），整理得a= mgm+CB2l2.所以ab做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a= mgm+CB2l2，落地速度為v=2ah=2mghm+CB2l2.

4 結(jié)語(yǔ)

本文詳細(xì)分析了單桿切割磁感線問題的三種不同模型及其解題方法.上述模型不僅能幫助學(xué)生更好地理解和掌握高中物理電磁學(xué)中的相關(guān)概念，還能讓學(xué)生在實(shí)際問題中靈活應(yīng)用，提高解題能力.希望學(xué)生們能夠認(rèn)真學(xué)習(xí)，勤于思考，不斷提高自身的物理素養(yǎng).