例析用圖解法解決動態平衡問題的常見應用情境

【摘要】在高中物理力學領域這一板塊的學習中，有關 “動態平衡”的問題可謂是讓學生一籌莫展.想要解決此類物理問題并不難辦，熟練掌握“圖解法”的靈活運用，會達到事半功倍的效果.

【關鍵詞】高中物理；圖解法；動態平衡

本文將采用典例精講的形式，利用“圖解法”來解決“動態平衡”問題的兩種常見應用情境，即“一個力恒定，另一個力方向不變”和“一個力恒定，另兩個力的夾角不變”.

應用情境1 “一個力恒定，另一個力方向不變”

例1 如圖1所示，兩個外表光滑且長度足夠的平板AP和BP，被鉸鏈連接在一起，平板AP被固定在與水平面所成夾角53°的位置上，平板BP能夠繞著鉸鏈在豎直面內自由旋轉.（已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度是g）

現將一質量為m的圓柱體（橫截面圓心為O）放置在兩塊平板之間，試問：在平板BP由水平方向緩慢旋轉到豎直方向的這一過程中，平板BP所受到的最小壓力是、最大壓力是；平板AP所受到的最小壓力是、最大壓力是.

問題分析 本題采用“圖解法”進行解答.

熟讀題意，首先對圓柱體的受力情況進行分析，其受自身的重力、平板AP的彈力F1和平板BP的彈力F2.而在這緩慢轉動的過程中，圓柱體所受彈力F1和彈力F2的合力，如圖2所示.此時圓柱體處于動態平衡狀態，故此彈力F1和F2的合力與重力等大反向.

解析 由圖2可以看出，重力mg恒定不變，彈力F1的方向始終不會發生改變，且兩個力的夾角并非直角.在平板BP由水平位置緩慢旋轉到豎直位置的這一過程中，彈力F1在逐漸增大，而彈力F2卻是先減小再增大.

由幾何關系可得知，當彈力F2的方向平行于平板AP，即F2⊥F1時，F2才會有最小值，即F2min=mgsin53°=45mg.再根據牛頓第三定律，可得出平板BP所受到的最小壓力是45mg.當平板BP旋轉到豎直方向時，F2會有最大值，即F2max=mgtan53°=43mg，再根據牛頓第三定律，可得出平板BP所受到的最大壓力是43mg.

當平板BP沿著水平方向時，平板AP對圓柱體的彈力F1是0，再根據牛頓第三定律，可得出平板AP所受到的最小壓力是0.由圖2可知，當平板BP被轉動到豎直方向時，平板AP對圓柱體的彈力F1才會有最大值，此時F1max=mgcos53°=53mg，再根據牛頓第三定律，可得出平板AP所受到的最大壓力是53mg.

綜上所述，本題的答案是45mg；43mg；0；53mg.

應用情境2 “一個力恒定，另兩個力的夾角不變”

例2 如圖3所示，在水平桌面上放置著一個頂端固定有滑輪的斜面體，小物塊B、C疊放在斜面上，輕繩的一端與小物塊B相連接，另一端與小物塊A相連接，輕繩上有一個結點O，用外力F拉住結點，在外力F的作用下小物塊A緩慢地向上運動，將OO′由豎直拉到水平，拉動的過程中始終保證夾角α=120°，且輕繩OO′始終拉直，小物塊B、C和斜面體始終靜止.下列說法正確的是（" ）

（A）輕繩OO′中的力始終減小.

（B）小物塊B對小物塊C的摩擦力一直在增大.

（C）斜面體對小物塊B的摩擦力可能一直在減小.

（D）水平桌面對斜面體的摩擦力先增大后減小.

問題分析 本題中描述了一個較為復雜的力學系統，需要分析出在不同條件下各部分受力的變化情況，可采用“圖解法”對本題進行分析.

首先對結點O進行受力分析，如圖4所示，這三種力可構成一個首尾依次相接的矢量三角形，如圖5所示，進而可分析出隨著外力F的變化，輕繩中的力是如何發生變化的.然后對小物塊B、小物塊C和斜面體，分別考慮它們所受到的力，并分析出摩擦力的變化情況.最后是對這一個整體進行受力分析，進而確定水平桌面對斜面體的摩擦力是如何改變的.

解析 根據題意對結點O進行受力分析，如圖4所示.

由于外力F與輕繩拉力F1的夾角α=120°始終保持不變，T=mg也不變，可將這三種力通過平移，構成一個首尾依次相接的矢量三角形，如圖5所示.其中有向線段ab表示T=mg，在小物塊A緩慢向上運動的過程中，動點c沿著圓周從b點順時針轉動到d點，有向線段bc表示外力F，有向線段ca表示輕繩拉力F1.

由圖5可知，外力F一直在增大，輕繩拉力F1先增大后減小，因此選項（A）錯誤.

小物塊C在沿斜面方向受力平衡，則小物塊B對小物塊C的摩擦力f=mCgsinθ，其大小一直未變.因此選項（B）錯誤.

輕繩對小物塊B的拉力大小與F1的大小相等，是先增大后減小.因此選項（C）錯誤.

對小物塊B、C和斜面體這一整體進行受力分析，在水平方向上，水平桌面對斜面體的摩擦力大小等于外力F的水平分力的大小，如圖6所示.由此可得知，外力F的水平分力是先增大后減小，即水平桌面對斜面體的摩擦力先增大后減小.因此選項（D）正確.

結語

解決“動態平衡”問題的核心思想就是化“動”為靜，“靜”中求動.首先要做的是對研究對象的某一平衡狀態的受力情況進行分析，然后將不變的力確定下來，同時明確已知變化的力以及它的大小和方向是如何發生改變的，最后根據F合力=0，來求出未知力的大小.然而，若是能夠熟練掌握“圖解法”的靈活運用，利用幾何圖形的關系，這一解題的效率將會得到極大的提高.