例談圓周運動多解問題的解題思路

【摘要】本文以基本的勻速圓周運動的多解問題為切入點，通過分析自由落體運動和平拋運動與圓周運動綜合性問題中的多解問題，闡述解決圓周運動多解問題的解題思路，幫助學生提高解決圓周運動多解問題的能力．

【關鍵詞】圓周運動；多解問題；解題思路

圓周運動是高中物理中的重要內容，而圓周運動的多解問題是教學中的一個難點．在圓周運動中，由于物體運動的周期性等多種因素，導致在求解相關問題時往往會出現多個答案．解決這類問題不僅需要對圓周運動的基本概念和規律有深刻的理解，還需要掌握正確的解題思路和方法，這對于培養學生的物理思維和分析問題、解決問題的能力有著重要意義．

1 勻速圓周運動的多解問題

例1 剪紙藝術是中國民間藝術中經久不衰的瑰寶．如圖1，將具有對稱性的剪紙平放并固定在水平圓盤上，剪紙中心與圓盤中心重合，圓盤勻速轉動，在暗室中用每秒閃光10次的頻閃光源照射圓盤，暗室中靜止不動的觀察者觀察到剪紙相對靜止，則圓盤的轉速可能是（" ）

（A）0.02 r/s．""""" （B）2 r/s．

（C）4 r/s．""" （D）4π r/s．

解析 暗室中觀察者看到剪紙靜止，則頻閃光源照射圓盤時，圓盤轉過的角度是θ＝2π5的整數倍，則T＝110s內圓盤轉過的角度θ=2πN5（N=1，2，3……）θ=2πN5N=1，2，3……，則角速度ω=2πN5T=4πNrad/sN=1，2，3……，則轉速n=ω2π=2Nr/sN=1，2，3……，故選（B）（C）．

點評 圓盤轉動的過程中，由于圓周運動的周期重復性，會出現多個滿足條件的情況．這類問題需要整體考慮，找到多解產生的根源，即圓盤轉過的角度是θ＝2π5的整數倍，進而根據角速度的定義求出角速度和轉速．

2 與自由落體運動綜合的圓周運動的多解問題

例2 一半徑為R且帶有小孔的圓桶內裝有藥粉，圓桶轉動的過程中會不斷地攪拌藥粉，同時調節水龍頭，使得間歇性的水滴進入圓桶對藥粉進行稀釋．在桶壁上相同高度處有四個對稱的圓孔，其截面圖如圖2、側面圖如圖3．若將圓桶水平放置，使圓桶繞水平軸O順時針以角速度ω=π8t0勻速旋轉，已知水龍頭距圓桶上邊緣的距離為34R，若在圓桶不轉動的情況下，則每隔t0產生的每一滴水恰能滴入孔中．若在圓桶轉動的情況下，當第三滴水即將下落時，第一滴水剛剛進入小孔．忽略水滴下落過程中的空氣阻力和在圓桶內運動的時間．求：

（1）根據上述已知量求重力加速度g；

（2）在某次攪拌藥粉時，若從第一滴水進入小孔開始計時，需100滴水才能將藥粉攪拌好（含第一滴水），那么攪拌好藥粉最少將圓桶轉動多長時間；

（3）為使所有水滴均能滴入孔中，請給出可行的解決辦法（不改變圓桶的構造）．

解析 （1）當第三滴水即將下落時，第一滴水剛剛進入小孔，那么3R4=12g（2t0）2，得g=3R8t20．

（2）每隔t0產生的每一滴水恰能滴入孔中，在t0內，圓筒轉過的角度為θ0=ωt0=π8，可知圓筒至少轉4t0才能收入一滴水，讓100滴水均滴入圓桶中，那么最少需圓桶轉動t=400t0．

（3）為使每滴水均滴入孔中，那么ωt0=nπ2，即ω=nπ2t0（n=1，2，3……）．

點評 本例中，將圓周運動與自由落體運動綜合考查，這類問題需要抓住自由落體運動與圓周運動的時間關系，再結合圓周運動的周期性即可解題．

3 與平拋運動綜合的圓周運動的多解問題

例3 圖4是某實驗小組設計的測量物體彈射初速度的裝置圖，在右側的豎直面內放置有一半徑為R的圓盤，其最上端的P點與發射口Q等高且相距L．當裝置M中有一小物體，將小物體以某一初速度對準P點水平彈出，同時，圓盤開始繞水平軸O在豎直面內做勻速圓周運動，小物體剛好在P點到達圓盤最下端時擊中P點．不計空氣阻力，已知重力加速度為g．則（" ）

（A）小物體擊中P點的時間為2Rg．

（B）小物體彈出時的速度為LgR．

（C）圓盤轉動角速度的最小值為3π2gR．

（D）P點的線速度可能為5π2gR．

解析 由2R=12gt2，得t=2Rg，選項（A）錯誤；小物體彈出時的速度v0=Lt=L2gR，選項（B）錯誤；由2n－1π=ωt，得ω=2n－1π2gRn=1，2，3，…，角速度的最小值為ωmin=π2gR，選項（C）錯誤；P點的線速度v=ωR=2n－1π2gRn=1，2，3，…，當n=3時，v=5π2gR，選項（D）正確．

點評 物體做平拋運動，小物體恰好在P點到達圓盤最下端時擊中P點，可根據下落的豎直高度求出時間，再根據圓周運動與平拋運動的時間關系，列出方程2n－1π=ωt，進而求出角速度和線速度．

4 結語

圓周運動多解問題是高中物理學習中的一個重點和難點．多解產生的原因主要為運動的周期性等．在解決這類問題時，要仔細分析運動過程，確定周期性條件，同時要深入分析臨界條件并確定取值范圍．結合具體實例，運用正確的解題思路和方法，可以有效地解決圓周運動多解問題，提高學生的物理思維能力和解決問題的能力，幫助學生更好地理解圓周運動的本質和規律．在教學過程中，教師可以通過多種類型的例題和練習，讓學生熟練掌握這些解題思路和方法，為進一步學習物理知識打下堅實的基礎．

參考文獻：

[1]馬純奎，牟振圣.剖析圓周運動中的多解和臨界問題[J].高中數理化，2021（16）：36-37.

[2]周華彬.例析圓周運動的多解性問題[J].中學物理，2012，30（13）：65-66.