從圖像和情境表征體會電磁場雙空間的相互轉換

【摘要】帶電粒子在勻強電場或磁場中的運動模型對學生來說非常熟悉，解題時已經形成完整的模式.因此，題目打破常規出題方式，通過創設新情境表征方式，利用學生比較陌生的vx－vy圖像引導其思考帶電粒子在勻強電磁場中運動時速度空間和物理空間的相互轉換，擺脫解題僵化的困境，使學生思維更加靈活，體會圖像為解題帶來的隱藏信息，提升學生的綜合分析能力和創新能力.

【關鍵詞】高考試題；磁場綜合題；圖像

在物理教材以及日常學習中，學生接觸帶電粒子在勻強電場和勻強磁場中的運動相關知識時，通常從粒子運動軌跡出發進行探究，但是在2024年高考新課標卷中，題目放棄學生熟悉的運動軌跡圖像，轉而使用速度空間坐標分量對帶電粒子的運動進行描述.學生在解題時首先要對速度空間圖像信息進行解讀，再轉換成物理空間的粒子運動，因此在具體操作中，綜合分析能力顯得十分重要，這也體現了由“知識應用”向“思維養成”的轉變.

1 試題呈現

一質量為m、電荷量為qqgt;0的帶電粒子始終在同一水平面內運動，其速度可用圖示的直角坐標系內，一個點Pvx，vy表示，vx、vy分別為粒子速度在水平面內兩個坐標軸上的分量.粒子出發時P位于圖中點a0，v0，粒子在水平方向的勻強電場作用下運動，P點沿線段ab移動到點bv0，v0；隨后粒子離開電場，進入方向豎直、磁感應強度大小為B的勻強磁場，P點沿以O為圓心的圓弧移動至點c－v0，v0；然后粒子離開磁場返回電場，P點沿線段ca回到a點.已知任何相等的時間內P點沿圖中閉合曲線通過的曲線長度都相等.不計重力，求：

（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑和周期；

（2）電場強度的大小；

（3）P點沿圖中閉合曲線移動1周回到a點時，粒子位移的大小.

2 命題立意

本題的解題關鍵有兩點，其一，學生需要明確圖像并不是軌跡圖，而是vx－vy圖像，所以為明確粒子運動時的具體速度，解題第一步就是確定運動時的合速度，在避開思維誤區后，可以發現解題難度降低，第（1）問使用運動的合成相關知識確定粒子進入磁場時的速度，隨后根據帶電粒子運動模型進行解題.其二，明確圖像中閉合曲線長度的物理意義.許多同學在觀察題目時，因圖像形狀與軌跡圖類似，極易陷入第二個思維誤區，將閉合曲線誤認為是軌跡圖進行解題造成認知錯誤.當圖像的橫縱坐標軸含義發生變化時，相應地，閉合曲線的物理意義發生改變.當曲線處于軌跡圖x－y坐標系時，粒子由曲線上一點運動到另一點時，平均速度v=ΔsΔt，當時間趨近于0時，代表的就是粒子在該點的瞬時速度，所以圖像中圓弧的長度就代表在一段時間Δt內瞬時速度大小的積累.進行類比，在vx－vy圖像中，當質點由曲線上一點運動到另一點時，平均加速度a=ΔvΔt，當Δt→0時，圖像上該點就代表運動到此時的瞬時加速度，閉合曲線的物理意義為一段時間Δt內瞬時加速度大小的積累，第（2）問可以根據題目條件“任何相等的時間內P點沿圖中閉合曲線通過的曲線長度都相等”代表整個運動過程中的瞬時加速度大小均相等進行解題.

3 解題過程

（1）粒子從點a0，v0出發，到達bv0，v0點.往上的速度分量不變，往右的速度分量逐漸增大，所以在ab段內粒子在電場中做類平拋運動.運動到點bv0，v0后，以速度分量的變化得到軌跡間的夾角為45°，同時離開電場，進入磁場時的粒子速度可以計算得出vb=2v0，隨后速度分量曲線變化為一個圓，這意味著兩個速度分量的合速度變為一個定值，即2v0，也就是粒子在磁場中做勻速圓周運動的線速度.故粒子的運動軌跡如圖2所示.根據洛倫茲力提供向心力，qvB=mv2r=m2πTv，解得r=2mv0qB，同時也可以得到周期T=2πmqB.

（2）根據閉合曲線的物理意義和題目條件進行具體分析，整個運動過程中瞬時加速度的大小均相等，根據粒子在電場和磁場中的運動狀態，嘗試列出瞬時加速度關系式a=ΔvΔt.先從cb段的速度變化過程入手，x方向上的速度分量不變，y方向上的速度分量由－v0變化到v0，所以長度為2v0.時間的計算則與電場強度有關，設電場強度為E，Δv1=2v0，a=qEm=ΔvΔt1，所以比值為Δv1Δt1=qEm.粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，它在圓弧bc段的速度變化為Δv2=34×2π×2v0=32πv02，時間可以由勻速圓周運動的周期得出，Δt2=34×2πmqB=3πm2qB，Δv2Δt2=32πv023πm2qB=2v0qBm，瞬時加速度大小相等，即qEm=2v0qBm，化簡得到E=2Bv0.

（3）根據題目條件，可以畫出粒子運動軌跡圖，如圖2，粒子從電場出發，做類平拋運動，進入磁場后做勻速圓周運動，隨后出磁場，再次進入電場做類平拋運動.當計算出兩次平拋運動在豎直方向上的位移后，粒子位移也隨之得出.所以解題關鍵在于理清粒子平拋運動時y方向位移與軌跡圖中cb段間的大小關系.設粒子位移大小為x，粒子在電場中做類平拋運動時y方向上的位移為l，則x=2r－2l，cb=2r=2mv0qB，平拋運動y方向上的速度始終保持不變，故為勻速直線運動，運動時間t=Δvxax=v0qEm=mv0qE=mv02qBv0=2m2qB，l=v0t=2mv02qB，所以粒子的位移大小等于x=2r－2l=2mv0qB－2mv0qB=2－2mv0qB.

4 結語

圖像是物理問題中獲取信息的重要載體.在解答帶電粒子相關問題中，學生通常需要畫出粒子的運動軌跡，而此題反其道而行之，使用速度分量對粒子運動情況進行表征，將物理空間與速度空間進行聯系，不再簡單關注其中一個空間的運動方式，學生解題時需要具備轉換思維以及綜合分析的能力.觀察解題思路，學生需要將已知的速度空間信息轉化為粒子的運動信息，并利用這些信息畫出粒子的物理空間圖像，通過類比學習，將物理空間圖像與速度空間進行轉換，建立對應的物理模型，完成題目解答.解答此類問題對學生思維的靈活程度要求較高，需要突破現有的電磁場解題思路，要求學生從問題本質出發理解問題，進行綜合分析.