初中數學教學中學生創新思維的培養

創新性學習有別于大家常見的大量做題、刷題，是從學生思維認知出發而形成的一種解決問題的新思維，如高效讀題的思維、有效分析和解題的思維，以及嚴謹的圖形思維等，這些都是學生創新思維能力的體現，而這些都需要教師在日常教學中不斷滲透，加以引導，先讓學生對數學產生興趣，再引導學生走進數學概念內涵中，最后形成一種數學認知邏輯思維，從而讓學生在數學學習的過程中能夠游刃有余。本文以初中數學“勾股定理”教學為例，對基于認知邏輯下的學生創新思維培養訓練進行實踐探索。

一、初中數學教學中學生認知思維的發展分析

勾股定理是初中數學教學中的重要內容，同時也是數學結構中的難點部分。多年來，勾股定理被稱為“千古第一定理”，主要是因為勾股定理中體現出來的數學知識是整個數學知識結構的基礎，如“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的規律，很多教師在講授這一規律時會通過“勾三股四弦五”的情境來引出，然后通過例子來驗證以上規律，如邊長分別為3、4、5的直角三角形，去套用規律，以此來達到教學目的。其實經過反思之后，我們發現，這個例子的驗證過程是呆板、無趣的，在這個過程中沒有學生的自主思考，更沒有學生的創新。針對這樣的例子，教師只是緊緊盯著驗證本身，而沒有引導學生從例子中去主動探索3、4、5這三個數值的關系，沒有考慮到這樣的例題會讓學生產生哪些想法，這些想法對建構勾股定理有哪些幫助等，所以教學價值并沒有發揮出來。同時，有的教師喜歡用數學歷史故事來引出勾股定理教學，如畢達哥拉斯去朋友家做客后發現地磚上的特殊三角形的關系這一數學歷史故事，雖然能發揮歷史故事激發學生興趣的直觀作用，但對勾股定理的知識建構和學生認知思維的發展起到的作用是微乎其微的，關于這方面的問題似乎很少有教師關注到。

只有在知識建構過程中幫助學生建立這一認知，才能有效促使學生在學習勾股定理的知識時產生思維創新，從而體現“教”和“學”的一致性。那么在教學實踐中該怎樣為學生建立這一認知，促進學生創新思維發展呢？下面筆者通過日常教學實踐來進行探索。

二、初中數學教學中培養學生創新思維的策略

（一）教會學生怎樣學習，先建構知識認知思維

在講勾股定理相關知識時會經常出現以下場景：

場景一：教師在臺上講得井井有條、內容豐富，關于勾股定理的歷史故事、數學游戲等方式幾乎全都用上了。學生在臺下聽得津津有味、目不轉睛，能跟著教師的講解隨聲附和，似乎深入到了勾股定理的知識結構中。但是當教師隨機提問學生問題時，學生卻支支吾吾，回答不出來。

場景二：教師在課堂上合盤輸出，從一堂課的開始到結束，幾乎沒有停過，從勾股定理的證明方法、公式到課本上的例題分析、答案解析等，講得井然有序。學生能跟著教師的思路按部就班地完成各項學習任務。但在課后練習或者小測時卻一塌糊涂，雖然考查的知識都是教師在課堂上重復講解很多次的問題，但是在具體的練習中卻效果不佳。

以上兩個場景似乎是每一位教師都會遇到的且常見的問題，針對這些問題很多教師是剪不斷理還亂，有的采取不理睬，只顧自己的教學進度，也有的稍微注意，但并沒有從學生本身的認知特點出發，導致始終無法改變這些常態化問題。筆者認為，出現這些問題的因素有兩個方面：

一是教師方面。教師的教學重點大都放在了如何教上，如備課、講課、作業設計等，而忽略了教師教的最終目的是讓學生學好。其實課堂也是一個生態系統，要想維持這一生態系統的平衡，就需要將“教”和“學”達成和諧統一，這就需要教師不僅要考慮怎樣教，同時也要解決學生怎樣學的問題，這樣才能為學生的創新思維發展奠定基礎。在勾股定理教學過程中，將教和學融合進行的教學設計可以這樣進行：

首先，在備課環節，對于“勾股定理”，很多學生都是第一次接觸。教師需要摸清楚學生對勾股定理的初次感受，有的學生通過預習對勾股定理的相關知識有了簡單的認識，有的學生在課外數學學習過程中接觸過勾股定理，還有的學生聽過有關勾股定理的數學故事。教師只有在掌握學生的認知基礎后，才能在備課時將一些好的教學方法有目的、有針對性地融入其中，為更好地上課做足準備。

其次，在講課環節，課堂是最能體現教師水平的地方，同時也是最能激發學生創新思維的場所。在講勾股定理時，從勾股定理的歷史由來到命題驗證，從勾股定理的證法到勾股定理的逆向定理，講到每個點時，教師都要先顧及學生的感受，通過判斷學生的反應來展開下一步教學。比如，關于等腰三角形的三邊之間的關系“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”，只是專門拿出來讓學生去死記硬背，這樣的方式是不科學的，不利于學生創新思維的形成。所以，筆者認為，在教學這部分知識時，教師可以采用反向教學設計，先讓學生去求證等腰直角三角形三條邊的關系，有的學生通過多次測量的方式，有的學生通過自己舉例說明的方式，無論采用哪種方式都是學生數學創新思維的體現。學生在自我思考、驗證、求證的過程中，還會發現很多其他新的問題，如“只要是直角三角形都會有兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的性質嗎？”，提出這樣的問題，說明學生的認知思維在逐漸形成，表明學生已經走進“勾股定理”的知識結構深處，這對學生的知識轉化有很大的幫助。如果班級上大部分學生都無法理解或者驗證這個問題，那么教師就需要給予點撥，可以設計問題：“如圖1所示，已知每個小方格的面積是1，請分別算出圖中，正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積?！蓖ㄟ^計算和對圖形觀察可以發現：“以斜邊為邊長的正方形面積，等于某個正方形的面積減去四個直角三角形的面積?！睆亩纬擅}，“如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2”，如圖2所示。然后學生再用自己知識認知內的方法去驗證這一命題，如有的學生采用“趙爽弦圖法”進行命題驗證，有的用“畢達哥拉斯的證法”，還有的用《原本》中的證法。在這個過程中，教師不是牽著學生的鼻子走，而是潛移默化地引導學生主動去完成問題的探究，學會自己學習，逐漸形成認知邏輯，這正是學生創新思維形成的過程。

最后，在設計作業環節，作業是對學生課堂上所學知識的主要檢測方式，教師通過評改作業就可以對學生進行針對性的學習評估。但從目前的作業設計情況來看，照搬現成的作業已經成為常態，這對學生創新思維培養會產生不利影響。因為現成的課后作業是無法從根本上體現出教師的課堂教學情況和學生的學習情況的，同時市面上的輔導材料五花八門，針對性較差，如果教師只把這些材料作為學生的課后作業來設計，那么不僅不利于教和學的有效銜接，同時也不利于學生創新思維的培養。由此可見，科學的作業設計非常重要。在教學勾股定理這部分知識時，筆者采用了自主命題設計作業和完成課后教輔材料相結合的方式來布置課后作業。自主命題設計作業主要以課堂上所講的例題為主，以復習和鞏固基礎為目標，如下題：

滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（" ）

A.a=1，b=2，c=" B.a∶b∶c=3∶4∶5

C.∠A+∠B=∠C" " D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

這道選擇題比較簡單，主要考查學生對勾股定理特點的記憶情況，不需要通過計算的方式掌握規律。

課后教輔材料的作業布置主要以班級統一的課后學習材料為主，教師可以有選擇性、有層次性地讓學生自主完成教輔材料上的作業，同時鼓勵學生進行創新學習，如嘗試不同的證法、轉換思維反向解題等，鼓勵學生進行思維創新。

二是學生方面。學生是學習的主體，每位教師都能認識到這一點。但是在實際學習過程中，有些學生的學習方式或者數學思維是固化的、懶惰的，也就是說，他們缺乏創新的學習方式，缺少主動思考的積極性。這就導致在課堂上，學生被教師及教材牽著鼻子走，而無法突破并創新；同時也導致學生只是眼睛盯著教師，而思維卻被遠遠落下。這樣的學習方式很難有較好的效果。所以，教師在進行高效教學的過程中，需要教會學生掌握正確且高效的學習方法，讓學生在聽課的過程中能集中注意力，不斷發散思維，不斷創新。

（二）用思維驅動教學，培養學生創新能力

基于前面學生認知思維的建構，在組織勾股定理的教學時，筆者嘗試采用以下“三步曲”，一方面為了促進學生對勾股定理的有效構建，另一方面為了實現學生創新能力的培養。

第一步，形成新認知。勾股定理體現的是直角三角形邊的關系特征，教師需要通過數的關系轉化或者表達式的關系轉化，采用從簡到繁的教學順序，從學生的認知規律出發，基于數的認識來構建三角形，為學生構建起勾股定理的表象，即“直角三角形的兩條直角邊的平方等于斜邊的平方”，同時這也是判定直角三角形的依據。在教學時，我給學生拋出這樣一個問題：“如果有三個非負整數分別為a，b，c，而且它們之間正好滿足a2+b2=c2，你能算出這三個數分別是多少嗎？”這個問題看似簡單，但在計算時如果學生找不到規律需要費很大勁才能換算出來，所以學生自主換算的過程是不能忽視的。當有的學生得出是3，4，5之后，教師要趁熱打鐵，再一次拋出問題“有的數學家發現，如果有個三角形的邊長分別是這三個數后，那么這個三角形就是……”，當教師為問題留下懸疑時，學生會結合以前學過的知識進行猜想，這時學生會通過想象構建出這一圖形。在這個過程中，學生的創新力被激發了出來，他們對這三個數值進行對號入座，建構出三角形的形狀，最終確定為直角三角形，這就為直角三角形三邊關系構建起了表象，為創新思維奠定基礎。

第二步，完成親身體驗。教師提前為學生準備好足夠長的繩子（教具），組織一次學習體驗：先讓學生取12等份為繩子打結，共打13個結，然后分別以3個結的間距、4個結的間距、5個結的間距長度為邊長，用釘子固定成一個三角形，最后觀察三角形的形狀。很明顯，圍成的三角形為直角三角形，這就是將第一步中表象的知識具體化體現的過程。在這個過程中，學生通過實踐操作體驗完善認知，建構起思維，進而認識直角三角形三條邊的關系，清晰了解了這些能為后面勾股定理的運用、拓展奠定基礎。

第三步，構建新思維。在前面兩步的基礎上，教師在講解勾股定理知識時應從特殊到一般，讓學生認識到32+42=52這一看似偶然的等式是否具有一般意義上的a2+b2=c2的含義，這也正好迎合了第一步中對連續非負整數a，b，c的猜想。很明顯，3，4，5只是偶然，而符號a，b，c卻是一般，那么是不是所有的直角三角形都具有這樣的特點，就需要學生進一步證明。這里教師就可以帶領學生完成勾股定理逆命題的證明。

假設一個三角形的邊長分別為a，b，c，并且滿足a2+b2=c2，怎樣證明這個三角形是直角三角形？

證明：先畫兩個直角三角形，分別為△ABC和△A′B′C′，這兩個三角形的邊長相同，如圖3、圖4：

根據勾股定理，A′B′2=A′C′2+B′C′2=a2+b2，由于a2+b2=c2，所以A′B′=c，在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AB=c=A′B′，AC=b=A′C′，所以，△ABC≌△A′B′C′，因此∠C=∠C′=90°，即△ABC為直角三角形。

這樣就形成了一種逆向思維，通過證明得出勾股定理的逆命題是正確的，它也是一個定理，這樣的定理即為勾股定理的逆定理。對于初中生來說，這是一種新的思維方式，一般地“原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立。但通過證明之后成立的逆命題，這個命題也可以成為逆定理”。

這樣的思維比較抽象，難以理解，教師就需要通過切實的例子來進行引導，幫助學生思維進階。如下題：

判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：a=15，b=8，c=17；a=13，b=14，c=15.

因為152+82=225+64=289，而172=289，所以，152+82=172，因此這個三角形為直角三角形。

因為132+142=169+196=365，而152=225，顯然132+142≠152，因此這個三角形不是直角三角形。

這樣通過一個簡單的驗證，引出勾股數，即“像15，8，17這樣能夠成為直角三角形三條邊長的三個整數，稱為勾股數”。

逆定理是數學中的新概念，它體現了一種全新的思維模式，掌握好這一思維模式對學生的創新思維發展有很大的促進作用。

（三）拓展課本知識，激發學生創新熱情

課本上的知識呈現方式和所呈現出來的內容是有限的，同時課本上的知識也是側重于基礎和表層的內容，要想讓學生在學習的過程中體驗數學創新的過程，教師需要拓展課本知識，用延伸性的問題激發學生的創新熱情，如“本例題還有其他的解法嗎？”“這一定理有沒有其他的變式”“你還能聯想到什么呢？”等，讓一般和類比思維成為學生思考和判斷的主要方法，讓學生能在課堂上充滿想象力，并飽含熱情地想要對數學知識進行深入探究。比如，在對勾股定理的課外練習延伸中，可以將平面三角形轉化到空間立體圖形中，如下題：

如圖5所示，已知四邊形ABCD是長方形，AC為對角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC滿足勾股定理。如圖6所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，圖5中的線段AB、BC、AC分別對應圖6中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面積分別用α、β、γ表示，則α2+β2=γ2是否仍然成立？

這樣的題型和前面的平面題型形成了鮮明的對比，而且具有一定的難度，學生在解決這類圖形問題時，不僅需要對勾股定理運用熟練，而且還要具有一定的空間思維，能通過圖形的轉化思維用勾股定理進行驗證。這不僅是對知識的活學活用，同時也是對學生創新思維能力的培養。

三、教學總結

初中生正處于思維發展的黃金期，加之數學知識邏輯性強的學科特點，離不開學生在學習數學知識的過程中認知思維的訓練以及在教學過程中對學生創新能力的培養。本節課中的勾股定理教學是初中階段數學教學中的重要部分，在教學實踐中注重對學生創新能力的培養需要注意以下方面：

1.要注意從學生的實際水平出發。因為學生是學習的主體，同時他們又是獨立的個體，在同一班級內每個學生具有一定的差異化，他們的創新能力水平是不同的、邏輯思維能力是不同的、數學基礎掌握能力是不同的，等等。在這些差異化的基礎上，教師不能采用“一刀切”式的講課方式，而是要針對學生的情況酌情設計學習任務、布置課后作業等，以此幫助學生的創新能力都能得到一定程度的發展。

2.要注意對學生創新表現的評價。學生的創新表現是一種隱性的綜合表現，并不能只通過學生的一次練習或者一個問題的回答就單一評價，而是要結合學生在某個時間段的整體創新體現。如在勾股定理學習過程中，從課前預習、課上聽課、課后練習等環節都表現積極，邏輯思維活躍，想象力豐富，教師需要對學生的創新水平進行綜合評價，以此來保證評價的科學性。

（作者單位：蘇州大學高郵實驗學校）

編輯：曾彥慧