破解極值點偏移的“四大策略”

摘"要：極值點偏移問題經常在新高考數學試卷的壓軸題中出現，是高中數學教材中沒有涉及、考生比較難處理的一類難點問題之一.結合極值點偏移問題的幾個常見類型，就破解“四大策略”加以實例剖析，歸納破解的基本方法與技巧策略，引領并指導數學教學與復習備考，對學生核心素養的培養具有重要價值.

關鍵詞：極值點偏移；“四大策略”；對數平均不等式

極值點偏移問題，依然是近年新高考數學試卷中考查的一類熱點與難點之一.此類問題難度較大，但還是有規律可循，首先依據一些常見的極值點偏移問題的結構特征與基本類型，然后熟悉、理解并掌握對應的技巧與策略，可以在一定程度上加以巧妙轉化與合理解決.本文就極值點偏移問題中比較常見的“四大策略”——對稱變換、比值代換、差值代換、對數平均不等式，結合實例加以分析與應用，巧妙變形，合理轉化，有效破解.

1"對稱變換策略

例題"已知函數f（x）=x³－3x²，若f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，x₁，x₂∈［0，3］，求證：x₁+x₂＜4.

解析：因為f′（x）=3x²－6x=3x（x－2），所以當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，故x=2時f（x）取極小值.

由f（x₁）=f（x₂），不妨設x₁＜2＜x₂，令F（x）=f（2+x）－f（2－x），x∈（0，2），F′（x）=f′（2+x）+f′（2－x）=6x²＞0，所以F（x）在（0，2）上單調遞增，F（x）＞F（0）=0，所以f（2+x）＞f（2－x）.

因為x₁∈（0，2），2－x₁∈（0，2），所以f［2+（2－x₁）］＞f（x₁），即f（x₁）＜f（4－x₁）.

因為f（x₁）=f（x₂），所以f（x₂）＜f（4－x₁）.

又x₂，4－x₁∈（2，+∞），且f（x）在（2，+∞）上單調遞增，所以x₂＜4－x₁，所以x₁+x₂＜4.

總結提煉：對稱變換策略破解極值點偏移問題時，其主要對象就是解決與兩個極值點之和（積）相關的不等式問題.在解決問題時，往往通過以下五個基本步驟來實現目的：①“定極點”，確定對應函數的極值點x₀；②構函數，合理構建對應的函數F（x）（與兩個極值點之和（積）有關時，往往構建兩函數變量的和（積）為2x₀（x²₀）的兩函數差的表達式）；③判單調，利用求導判斷新構建函數F（x）的單調性；④比大小，利用給定區間上函數F（x）的單調性，進而比較所構建新函數中的兩個相應函數之間的大小關系；⑤巧轉化，合理確定原函數F（x）的單調性，進而得以解決.

2"比值代換策略

例題"已知函數f（x）=x－ae^x有兩個不同的零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：x₁+x₂＞2.

解析：易知x₁＞0，x₂＞0，由x₁=ae^x₁，x₂=ae^x₂，兩式相除得e^x₁^-x₂=x₁x₂.令t=x₁x₂（0＜t＜1），則t=e^（t-1）x₂，兩邊同時取以e為底的對數，得lnt=（t－1）x₂，x₂=lntt-1，x₁=tx₂=tlntt-1.

要證x₁+x₂＞2，只要證tlntt-1+lntt-1＞2，即證2（t-1）t+1＞lnt，t∈（0，1）.

構造新函數f（x）=lnx－2（x-1）x+1，F（1）=0，F′（x）=1x－4（x+1）²=（x-1）²x（x+1）²＞0，則F（x）在（0，1）上單調遞增，所以F（x）＜F（1）=0，因此原不等式x₁+x₂＞2獲證.

總結提煉：利用比值代換策略來破解極值點偏移問題時，其根本任務就是消參與減元.在解決問題時，關鍵是根據條件建立兩個極值點之間的關系，以兩個極值點的比值為整體來引入新變量，從而得以實現消參與減元的目的.比值t=x₁x₂的引入，將問題轉化為單變量的函數不等式問題，進而借助關于變量t的函數問題，結合函數與導數的綜合應用、不等式的性質等來分析與應用.

3"差值代換策略

例題"已知函數f（x）=x－ae^x+1（a∈R）有兩個零點x₁，x₂，且滿足不等式x₁lt;x₂，證明：e^x₁+e^x₂gt;2.

解析：依題有x₁-ae^x₁+1=0，

x₂-ae^x₂+1=0，兩式對應相減并整理有a=x₂-x₁e^x₂-e^x₁，兩式對應相加并整理有x₂+x₁+2=a（e^x₁+e^x₂）.

通過以上變形所得，消去參數a有x₂+x₁+2=x₂-x₁e^x₂-e^x₁（e^x₁+e^x₂）=x₂-x₁e^x₂^-x₁-1·（e^x₂^-x₁+1）.

要證e^x₁+e^x₂gt;2，只需證2e^x₁e^x₂gt;2，即證x₁+x₂gt;0.

令t=x₂－x₁（tgt;0），即證te^t-1·（e^t+1）gt;2，亦即證（t－2）e^t+t+2gt;0.

構造函數g（t）=（t－2）e^t+t+2（tgt;0），則g′（t）=（t－1）e^t+1，g″（t）=te^tgt;0，故導函數g′（t）在（0，+∞）內單調遞增，可得g′（t）gt;g′（0）=0，即函數g（t）在（0，+∞）內單調遞增，所以g（t）gt;g（0）=0，e^x₁+e^x₂gt;2得證.

總結提煉：利用差值代換策略來破解極值點偏移問題時，其根本任務同樣是消參與減元.在解決問題時，關鍵是根據條件建立兩個極值點之間的關系，化兩個極值點的差值為整體來引入新變量，從而得以實現消參與減元的目的.其相應的技巧與方法與比值代換策略基本類似，只是代換的對象不一樣.

4"對數平均不等式策略

例題"已知函數f（x）=（lnx－k－1）x（k∈R）.若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：x₁x₂＜e^2k.

解析：原不等式等價于證明lnx₁+lnx₂＜2k.

由f（x₁）=f（x₂）得x₁lnx₁－（k+1）x₁=

x₂·lnx₂－（k+1）x₂，變形可得lnx₁-（k+1）lnx₂-（k+1）=x₂x₁，結合比例性質整理有lnx₁-lnx₂lnx₁+lnx₂-2（k+1）=x₂-x₁x₂+x₁，則可得x₁-x₂lnx₁-lnx₂=x₁+x₂2（k+1）-lnx₁-lnx₂.

由對數均值不等式得x₁x₂＜x₁-x₂lnx₁-lnx₂=x₁+x₂2（k+1）-lnx₁-lnx₂＜x₁+x₂2，所以lnx₁+lnx₂＜2k，原不等式得證.

總結提煉：利用對數平均不等式策略來處理極值點偏移問題時，關鍵在于應用對數平均不等式x₁x₂＜x₁-x₂lnx₁-lnx₂＜x₁+x₂2來放縮與轉化.具體解決此類問題的基本步驟如下：①對題中對應的等式進行恒等變形（或取對數轉化等），從而產生對數；②將所得含對數的等式進行恒等變形，巧妙轉化得到x₁-x₂lnx₁-lnx₂；③利用對數平均不等式來放縮、轉化與證明相應的極值點偏移問題.

5"結語

利用對稱變換、比值代換、差值代換、對數平均不等式等策略，熟練理解并把握極值點偏移及其綜合問題的基本破解技巧方法與思維策略，剖析對應問題的內涵與實質，合理進行化歸與轉化，以不同的技巧策略巧妙構造對應的函數，利用函數與導數的運算，以及函數的單調性、極值與最值等，全面培優提升與拓展思維，巧妙實現問題的破解.