巧思維發散，妙視角拓展

摘"要：三角函數問題也是函數問題的一種拓展與應用，兩者之間的交匯與融合更是高考中比較常見的基本題型之一.本文結合一道三角函數在給定區間上的零點個數的確定，從不同思維視角切入，通過不同技巧方法來解決，合理拓展變式，歸納總結規律，引領并指導數學教學與復習備考．

關鍵詞：三角函數；零點；方程；圖象

三角函數模塊知識作為高中數學教材中的一大主干知識，是歷年高考中的重點之一.回歸三角函數中的函數本質，合理交匯與融合三角函數與函數之間的關系，一直是高考中數學試卷命題的一個熱點與難點問題，備受各方關注．

1"問題呈現

問題"（2024年廣東省

六校聯考數學試卷第8題）函數f（x）=sin3x－sin2x在開區間（－π，2π）的零點個數為（""）.

A. 5"""B. 6"""C. 7

D. 8

分析：此題簡捷明了，以三角函數在給定開區間上的零點個數的判定來創設問題，巧妙將三角函數與函數的零點這兩個不同知識點加以合理交匯與融合，全面考查三角函數的圖象與性質、函數的零點等相關知識．

在實際解題過程中，問題的內涵與實質的挖掘，可以從三角函數方程的視角切入，以代數思維來處理；可以從三角恒等變換公式的視角切入，以方程思維來處理；可以從三角函數圖象的視角切入，以直觀思維來處理；還可以從三角恒等變換公式的視角切入，利用變換思維來處理.這些數學思維視角都是解決該問題中比較契合的思想方法．

2"問題破解

方法1（三角方程法）：令f（x）=0，可得sin3x=sin2x，則有3x=kπ+（－1）^k·2x，k∈Z，即x=k3-2×（-1）^k·π，k∈Z．

則當k=－3，－1，0，1，3，5，7，9時，x=－3π5，－π5，0，π5，3π5，π，7π5，9π5，即函數f（x）在開區間（－π，2π）的零點個數為8個，故選擇答案D．

點評：三角方程sinα=sinβ中，滿足α=kπ+（－1）^k·β，k∈Z.其實質是當k=2n時，α=2nπ+β，n∈Z；當k=2n+1時，α=（2n+1）π－β，n∈Z.這也為代數思維解決三角方程問題提供條件，也是該方法解決問題的理論依據.要特別注意的是，在處理對應的三角方程的解時，數學運算量比較繁雜，要細致認真．

方法2（三倍角公式轉化法）：利用三倍角公式可得f（x）=sin3x－sin2x=3sinx－4sin³x－2sinxcosx=sinx（3－4sin²x－2cosx）=sinx·（4cos²x－2cosx－1）．

令f（x）=0，可得sinx=0或4cos²x－2cosx－1=0．

由sinx=0，可得x=0，π；由4cos²x－2cosx－1=0，可得cosx=1±54，結合余弦函數的圖象可知cosx=1±54在開區間（－π，2π）內有6個解．

函數f（x）在開區間（－π，2π）的零點個數為8個，故選擇答案D．

點評：三角關系式中，倍角公式（這里涉及二倍角公式、三倍角公式）的應用，為三角函數關系式的變形與轉化提供條件，其根本目標就是化“同角”，為三角方程的求解指明方向.特別是三倍角正弦公式sin3α=3sinα－4sin³α，是基于二倍角公式的深入與拓展，為此類問題的解決拓展思路．

方法3（圖象直觀法）：結合三角函數y=sin3x與y=sin2x的周期與在區間（0，π）的圖象，如圖1所示，直觀分析可知這兩個函數在區間（0，π）內有2個交點．

結合周期性可知三角函數y=sin3x與y=sin2x的圖象在區間（－π，0）和（π，2π）內分別有2個交點．

又三角函數y=sin3x與y=sin2x的圖象同時交于點（0，0）和（π，0）．

綜上分析，所以函數f（x）在開區間（－π，2π）的零點個數為8個，故選擇答案D．

點評：回歸三角函數的圖象與性質本質，利用正弦型函數圖象的直觀性來分析與處理，也是處理此類問題中比較常用的一種技巧方法.要注意的是，數形結合直觀解決此類問題時，畫圖要從“小（區間）”到“大（范圍）”，特別是區間端點處的取值情況與交點情況，大體要準確，才能為進一步的分析與應用奠定基礎．

方法4（和差化積公式法）：結合三角函數的和差化積公式可得f（x）=sin3x－sin2x=2cos5x2·sinx2.令f（x）=0，可得cos5x2=0或sinx2=0．

當cos5x2=0時，可得5x2=π2+kπ，k∈Z，即x=2k+15π，k∈Z，由于x∈（－π，2π），則當k=－2，－1，0，1，2，3，4時，x=－3π5，－π5，π5，3π5，π，7π5，9π5.

當sinx2=0時，可得x2=kπ，k∈Z，即x=2kπ，k∈Z，由于x∈（－π，2π），則當k=0時，x=0.

綜上分析，所以函數f（x）在開區間（－π，2π）的零點個數為8個，故選擇答案D．

點評：從三角關系式的結構特征入手，借助三角函數的和差化積公式進行恒等變形與轉化，進而利用方程的求解來分析.新教材中，積化和差公式、和差化積公式等見于課本例題、習題等.因此，在三角恒等變換的教學中要十分重視角的變換，從而認識這些公式之間的內在聯系，把這些三角恒等公式編織成網絡，使得學生更加深刻認識和理解三角函數知識的內涵．

3"變式拓展

3.1"類比變式

變式 "函數f（x）=cos3x－cos2x在開區間（－π，2π）的零點個數為（""）.

A. 6"""B. 7"""C. 8"""D. 9

解析：令f（x）=0，可得cos3x=cos2x，則有3x=2kπ±2x，k∈Z，即x=2kπ或x=25kπ，k∈Z．

則當k=－2，－1，0，1，2，3，4時，x=－4π5，－2π5，0，2π5，4π5，6π5，8π5，即函數f（x）在開區間（－π，2π）的零點個數為7個，故選擇答案B．

點評：三角方程cosα=cosβ中，滿足α=2kπ±β，k∈Z.當然，該變式問題除了利用該三角方程法直接求解外，還可以借助三倍角公式轉化法、圖象直觀法、和差化積公式等方法來處理，其方法類似于原問題的求解過程，這里不多加以展開．

3.2"綜合變式

變式1"函數f（x）=sin3x－cos2x在開區間（－π，2π）的零點個數為（""）.

A. 6"""B. 7"""C. 8"""D. 9

答案：B．

變式2"函數f（x）=cos3x－sin2x在開區間（－π，2π）的零點個數為（""）.

A. 6B. 7C. 8D. 9

解析：結合三角函數y=cos3x與y=sin2x的周期與在區間（0，π）的圖象，直觀分析可知這兩個函數在區間（0，π）內有3個交點．

結合周期性可知三角函數y=cos3x與y=sin2x的圖象在區間（－π，0）和（π，2π）內分別有3個交點．

綜上分析，函數f（x）在開區間（－π，2π）的零點個數為9個，故選擇答案D．

點評：以上這兩個變式問題，可以借助三角函數圖象直觀法或其他方法加以分析，這里也不加以展開.

正弦函數與余弦函數的圖象之間的混合，其解題思路與方法與原問題的解析方法基本相當．

4"教學啟示

在三角函數模塊知識的課堂學習與復習備考過程中，一定要不忘初心，方得始終.解決三角函數問題都是萬變不離其宗，好好“吃透”教材中重點的例（習）題.基于此，筆者借助一些典型問題加以探究與拓展，充分挖掘典型問題的內涵與底蘊，融會貫通，進而有效避免“題海戰術”，真正做到開拓學生的數學思維，拓展學生的思維寬度，提升數學關鍵能力，培養學生的數學素養，提升學生優良的數學品質．