妙用補集思想，巧解幾類問題

摘"要：補集是數學中的一個基本概念，而補集思想是解決數學問題中經常用到的一個特殊數學思想方法.本文借助補集思想在方程、函數或不等式、計數、概率等問題的應用，結合一些陌生、復雜或抽象的問題以及綜合實例剖析逆向思維，總結歸納解題技巧，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：補集思想；方程；函數；不等式；計數；概率

補集思想是數學中的一種重要思想方法，是一種“正難則反”的解題策略，是補集法的具體體現，在解決一些數學問題中有著非常廣泛的應用.特別在處理一些從正面直接切入比較繁雜、無序、抽象的數學問題時，由于種類較多，分類比較麻煩且容易遺漏等，則可以采用逆向思維，結合問題的反面比較快捷的特點來切入與應用，在解決反面問題的基礎上，利用補集思想的轉化來達到目的，成為解決一些問題的“巧技妙法”.

1"在方程問題中的應用

在某些涉及多個方程的綜合問題中，如果從正面入手比較復雜，而問題的反面求解比較容易，不妨先求解問題的反面，利用補集思想，求出涉及多個方程所滿足的集合，再確定全集中的補集即為所求答案.

例題"（2024年陜西省西安市區縣聯考高一試卷）已知集合A={x|x²－2x+9－a=0}，B={x|ax²－4x+1=0，a≠0}，若集合A，B中至少有一個非空集合，則實數a的取值范圍是"""".

分析：根據題意，從正面切入，考慮集合A，B中至少有一個非空集合有三類不同情況，情況比較繁雜，而采用“正難則反”的補集思想進行逆向思維，先通過考查這兩個集合分別為空集時對應的方程沒有實數根，進而確定兩種情況解集的交集，最后利用補集法來確定結果.

解析：若集合A={x| x²－2x+9－a=0}是一個空集，則方程x²－2x+9－a=0沒有實數根，可知判別式Δ₁=4－4（9－a）lt;0，解得alt;8.

若集合B={x|ax²－4x+1=0，a≠0}是一個空集，則方程ax²－4x+1=0，a≠0沒有實數根，可知判別式Δ₂=16－4alt;0，解得agt;4.

集合A，B都是空集時，4lt;alt;8.

利用補集思想，可得集合A，B中至少有一個非空集合時，有a≤4或a≥8，且a≠0，

故答案為{a|a≤4或a≥8，且a≠0}.

點評：在處理此類涉及“至少”“至多”“唯一”等詞語出現的方程及其綜合應用問題時，結合正面考慮問題的情況較多，而合理進行逆向思維，確定反面所滿足的情況，進而利用補集思想，從而實現解題的優化與問題的破解.

2"在函數或不等式問題中的應用

在某些函數或不等式問題中，正面切入會使問題變得比較復雜或多樣，而相應的反面視角比較簡單、快捷.因此，往往可以從反面切入，利用逆向思維并借助補集思想來分析，通過求解原函數或不等式問題反面集合的補集來達到目的.

例題"（2023年河南省南陽一中高三月考試卷）對于二次函數f（x）=4x²－2（p－2）x－2p²－p+1，若在區間［－1，1］內至少存在一個數c使得f（c）gt;0，則實數p的取值范圍是"""".

分析：根據題意，直接利用二次函數滿足的不等式求解時，要對二次函數的圖象進行分類討論，步驟煩瑣.借助逆向思維，先通過對原命題的否定來求解滿足條件的實數p的取值，再利用補集思想來確定與求解即可.

解析：依題，二次函數f（x）在區間［－1，1］內至少存在一個數c使得f（c）gt;0，其否定是對于區間［－1，1］內的任意一個數x都有f（x）≤0，

則有f（-1）≤0，

f（1）≤0，即4+2（p-2）-2p²-p+1≤0，

4-2（p-2）-2p²-p+1≤0，整理有2p²-p-1≥0，2p²+3p-9≥0，解得p≤－3或p≥32.

結合補集思想，可知原問題中，滿足－3lt;plt;32，故答案為－3，32.

點評：在處理一些函數或不等式問題時，經常可以通過集合視角轉化，將不熟悉或難解的集合問題轉化為熟知或易解的問題，或將抽象問題轉化為具體、直觀問題，借助補集思想來逆向思維與應用.

3"在計數問題中的應用

補集思想可用于處理一些比較復雜的計數問題，特別是涉及正面情況比較復雜且不易直接求解，而反面情況比較簡單且熟悉方便時，可合理通過補集思想進行逆向思維處理與解決.

例題"在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有""""個.

分析：根據題意，從正面求解，無從下手.采用逆向思維，先計算所有符合條件的四位數的個數，再計算其中可以被5整除的，即末位數字是0或5的四位數的個數，利用補集思想，相減可得答案.

解析：由數字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復的四位數有A¹₅A³₅=300（個），而不能被5整除實質上是末位數字不是0或5.

由于末位為0時有A³₅=60（個），末位為5時有A¹₄A²₄=48（個）.

因此，滿足題意的四位數共有300－60－48=192（個），故答案為192.

點評：在處理一些比較復雜的排列組合問題時，若正面情況較復雜而反面情況較簡單時，可采用逆向思維，借助補集思想，先求總的排列數或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數，就可快速獲得結果.

4"在概率問題中的應用

在概率問題中，補集思想在這里的表現形式就是對立事件的應用，利用概率問題場景，通過構建與原事件相應的對立事件，利用對立事件的概率公式來逆向思維，更加直接方便求解，實現補集思想的應用.

例題"一個自動報警器由雷達和計算機兩部分組成，兩部分有任何一個失靈，這個報警器就失靈.若使用100小時后，雷達部分失靈的概率為0.1，計算機失靈的概率為0.3，若兩部分失靈與否是獨立的，則這個報警器使用100小時失靈的概率為"".

分析：依托題設條件，直接正面切入要考慮多種情況，問題比較繁雜，而問題的反面比較簡單，借助逆向思維，利用補集思想來求解對應事件的概率，再通過對立事件來分析即可.

解析：依題，記事件A=“使用100小時后雷達失靈”，事件B=“使用100小時后計算機失靈”.

報警器使用100小時失靈的概率為1－P（A ·B ）=1－P（A ）P（B ）=1－（1－P（A））（1－P（B））=1－（1－0.1）（1－0.3）=1－0.63=0.37，故答案為0.37.

點評：有時解題思路受阻，往往是因為思考的角度不對導致的.此時，若能轉換一下思維角度，正難則反，從反面來思考，逆向思維處理，巧妙借助補集思想，常可使問題輕松獲解.

5"結語

采用“正難則反”的補集思想解題時，往往是涉及“結論”的反面，它比“結論”本身更加簡單、更加具體、更加明確等.因此，可以先合理調整解題思路，避免正面求解時復雜或抽象的情形，進而從問題的反面入手，利用求解問題的“對立事件”，巧妙求出問題的結果，最后利用補集思想加以求解，實現問題的突破與解決.