巧借倍角三角形，妙解圓錐曲線題

摘"要：不同數(shù)學(xué)知識之間的交匯與融合是高考命題“在知識點交匯處命題”的指導(dǎo)思想.本文巧妙利用解三角形中一個有關(guān)三角形的兩內(nèi)角成倍數(shù)關(guān)系得到對應(yīng)邊長的關(guān)系式，并應(yīng)用于一些相關(guān)的圓錐曲線問題中，合理快速構(gòu)建關(guān)系式，更加有效、快速地處理問題，從而指導(dǎo)對應(yīng)的解題研究．

關(guān)鍵詞：倍角三角形；圓錐曲線；橢圓；雙曲線；拋物線

在三角形中，有一個非常重要的特殊等價結(jié)論：在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=2B，則a²=b（b+c）成立.這就是重要的倍角三角形性質(zhì).該倍角三角形性質(zhì)，除了在解三角形問題中有很大的用處外，在處理與解決一些圓錐曲線的相關(guān)問題中也有妙用，往往可以更加簡捷快速地構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，為問題的切入、處理與求解提供條件.

1"橢圓中的倍角三角形問題

例1"已知橢圓C：x²4+y²3=1的焦點為F₁，F(xiàn)₂，C上一點P滿足∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂（如圖1），則PF₁·PF₂的值為"""".

分析：先設(shè)出兩焦點弦的長度，并結(jié)合橢圓的定義建立兩者之間的關(guān)系，然后通過倍角三角形性質(zhì)構(gòu)建相應(yīng)邊長之間的關(guān)系式，再利用方程組的建立與求解來確定兩焦點弦的長度，最后利用平面向量的線性運算與平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化來確定相應(yīng)平面向量數(shù)量積的值.

解析：由題知a=2，b=3，c=1.

設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=m+n=2a=4.

在△PF₁F₂中，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂.

結(jié)合倍角三角形性質(zhì)，可得m²=n（n+2c），即m²=n（n+2）.

將n=4－m代入上式，可得m²=（4－m）·（4－m+2），解得m=125，

所以|PF₁|=m=125，|PF₂|=4－m=85.

由于（PF₁－PF₂）²=（－F₁F₂）²，則有（125）²－2PF₁·PF₂+（85）²=4，

解得PF₁·PF₂=5425，故填答案5425.

點評：此題以橢圓為問題背景，結(jié)合焦點三角形中兩內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，精準(zhǔn)確定相應(yīng)點的位置，進而確定兩平面向量數(shù)量積的值.解決此題可以通過解析幾何思維、解三角形思維以及平面幾何思維等，通過坐標(biāo)法、解三角形法、三角恒等變換法以及平面幾何法等來分析與處理，方法眾多，技巧各異，而借助倍角三角形性質(zhì)，可以快速建立對應(yīng)邊之間的關(guān)系式，有效、快捷地分析與處理問題.

例2"已知點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：x²a²+y²b²=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，該橢圓的右頂點為A，設(shè)M為橢圓上一點，且滿足∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，則橢圓C的離心率為（""）.

A. 12

B. 3-12

C. 33-52

D. 13

分析：通過對應(yīng)邊之間的關(guān)系以及橢圓的幾何性質(zhì)來確定對應(yīng)的線段長度問題，結(jié)合橢圓的定義，并借助倍角三角形性質(zhì)來建立相應(yīng)的參數(shù)關(guān)系式，結(jié)合含參方程的構(gòu)建、參數(shù)的變形與轉(zhuǎn)化、對應(yīng)方程的求解，以及橢圓的離心率的取值情況來確定其值.

解析：如圖2所示，由∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，可得|AM|=|MF₂|=|F₁F₂|=2c，又結(jié)合橢圓的定義有|MF₁|=2a－|MF₂|=2a－2c.

在△MF₁A中，由于∠MAF₂=2∠MF₁A，結(jié)合倍角三角形性質(zhì)，有（2a－2c）²=2c（2c+a+c），變形整理可得c²+5ac－2a²=0，即e²+5e－2=0.

解方程可得e=-5±332，而結(jié)合0lt;elt;1，取e=33-52，故選擇答案C.

點評：此題以橢圓為問題背景，利用橢圓的定義確定相應(yīng)的線段長度，結(jié)合三個角之間的關(guān)系構(gòu)建來確定橢圓的離心率.合理借助倍角三角形性質(zhì)，直接構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系式，為進一步求解離心率的值合理構(gòu)建對應(yīng)的方程.

2"雙曲線中的倍角三角形問題

例題"（2024年廣西南寧市高三摸底測試數(shù)學(xué)試卷第11題）設(shè)點F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：x²a²－y²b²=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點，該雙曲線的右頂點為A，點M為雙曲線上一點，且滿足∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，則雙曲線的離心率為（""）.

A. 2

B. 1+172

C. 17-12

D. 3

分析：通過對應(yīng)邊之間的關(guān)系以及雙曲線的幾何性質(zhì)來確定對應(yīng)的線段長度問題，結(jié)合雙曲線的定義，并借助倍角三角形性質(zhì)來建立相應(yīng)的參數(shù)關(guān)系式，結(jié)合方程的構(gòu)建與求解，進而確定對應(yīng)的離心率的值.

解析：如圖3所示，因為∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，則有|AM|=|MF₂|=|AF₁|=c+a.

又結(jié)合雙曲線的定義，有|MF₁|=2a+|MF₂|=3a+c.

在△MF₁F₂中，由于∠MF₂A=2∠MF₁A，結(jié)合倍角三角形性質(zhì)，有（3a+c）²=（c+a）（c+a+2c），變形整理可得c²－ac－4a²=0，則有e²－e－4=0，解得e=1±172.由于egt;1，則有e=1+172，故選擇答案B.

點評：解決此題的思維方式比較多，而抓住解析幾何中的應(yīng)用場景，回歸平面幾何的基本性質(zhì)，通過倍角三角形性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，給問題的解決開拓更加寬廣的空間.在具體回歸平面幾何本質(zhì)的過程中，借助倍角三角形性質(zhì)，直接構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系式，為進一步求解離心率打下基礎(chǔ).

3"拋物線中的倍角三角形問題

例題"已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，C上一點P滿足∠PFO=2∠POF，其中點O為坐標(biāo)原點，則點P的坐標(biāo)為"""".

分析：從特殊位置入手設(shè)置點的坐標(biāo)，利用拋物線的定義以及距離公式，借助倍角三角形性質(zhì)構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，代入相應(yīng)的參數(shù)并加以化歸與轉(zhuǎn)化，進而求解并確定對應(yīng)的參數(shù)值，從而確定相應(yīng)的點的坐標(biāo)，并利用拋物線的對稱性完善與補充答案.

解析：如圖4所示，由拋物線方程可得p=2，焦點F（1，0）.

根據(jù)拋物線的對稱性，不失一般性，不妨設(shè)點P在第一象限內(nèi).

設(shè)P（m，n）（mgt;0，ngt;0），則有n²=4m.

根據(jù)拋物線的定義知|PF|=m+p2=m+1，|OF|=p2=1，而|PO|²=m²+n².

在△PFO中，∠PFO=2∠POF.結(jié)合倍角三角形性質(zhì)，可得|PO|²=|PF|·（|PF|+|OF|），即m²+n²=（m+1）（m+2）.

結(jié)合n²=4m，解得m=2，則可得n=22，此時P（2，22）.

結(jié)合拋物線的對稱性，P（2，－22）也滿足條件，

故填答案（2，22）或（2，－22）.

點評：此題以拋物線為問題背景，利用拋物線上的點到坐標(biāo)原點與焦點所成的角的倍數(shù)關(guān)系來確定點的位置，進而得以確定相應(yīng)點的坐標(biāo).解決此題時，借助倍角三角形性質(zhì)，通過坐標(biāo)參數(shù)的引入，直接構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系式，從而結(jié)合方程的求解來確定參數(shù)值，得以確定對應(yīng)點的坐標(biāo).

4"結(jié)語

倍角三角形性質(zhì)是在解三角形的基礎(chǔ)上加以總結(jié)與提煉，作為一個基本結(jié)論加以理解與應(yīng)用的.涉及圓錐曲線問題對應(yīng)三角形內(nèi)角之間的二倍角關(guān)系，可以通過倍角三角形性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的邊長關(guān)系式，或從邊的角度直接應(yīng)用，或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式進行處理，都是解決問題的一大技巧策略.在具體解決相應(yīng)的圓錐曲線問題時，要靈活應(yīng)用倍角三角形性質(zhì)，將解題方法與解題技巧內(nèi)化為自己的解題思維，形成內(nèi)驅(qū)力，才是提升解題能力的根本途徑.