系統思維化繁為簡 提升思考力

摘"要：組合圖形是多要素、多層次共同作用的一個系統，需嵌入整體性和結構性思維，以進行系統建構、路徑優化、化繁為簡和破解難點，從而在解決問題的過程中體會轉化、函數與方程結合的數學思想.

關鍵詞：系統思維；組合圖形；離心率；數形結合

問題解決是數學教育和數學學習的核心，在圓錐曲線中，求離心率的值（范圍）是常考查的問題.通過高三的一輪復習，學生已經知道離心率的計算路徑.

常見條件有曲線的基本量、曲線上的點坐標、漸近線方程、第三定義、中點弦、焦點弦長等，一類側重代數計算，另一類側重幾何特性，常以組合圖形的方式呈現，學生對于后者特別是組合圖形的處理上常有困難.^［1］問題解決的關鍵在于依托系統思維對幾何性質和圖形結構的理解和轉化.因此，本文整合圖形構成要素，設置了系統性題組化訓練及推廣探究活動.

1"典例分析

例1"如圖1所示，橢圓C₁與雙曲線C₂有公共焦點F₁，F₂，M為C₁與C₂的一個交點，MF₁⊥MF₂，橢圓C₁的離心率為e₁，雙曲線C₂的離心率為e₂，若e₂=2e₁，則e₁="""".

思路探尋：組合圖中，關鍵幾何對象△MF₁F₂既是橢圓的焦點三角形，也是雙曲線的焦點三角形且為直角三角形，而目標任務是建立數量關系，解決問題的路徑有：①橢圓和雙曲線的定義與勾股定理合用；②利用焦點三角形的面積公式建立數量關系.

解法1： 由橢圓定義｜MF₁｜+｜MF₂｜=2a₁，由雙曲線定義｜MF₁｜-｜MF₂｜=2a₂，則｜MF₁｜=a₁+a₂，｜MF₂｜=a₁-a₂.在Rt△MF₁F₂中，｜MF₁｜²+｜MF₂｜²=｜F₁F₂｜²，則（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=4c²①，即a²₁+a²₂=2c².由e=ca，得1e²₁+1e²₂=2.又e₂=2e₁，故e₁=104.

解法2： 由e₂=2e₁，得a₁=2a₂.代入①中，得c=104a₁，故e₁=104.

解法3： S△MF₁F₂=b²₁tan45°=b²₂tan45°，即b²₁=b²₂，則a²₁-c²=c²-a²₂，得e₁=104.

探究活動：其他條件不變，MF₁⊥MF₂改為MF₁、MF₂夾角為θ，求離心率e₁、e₂的數量關系.（答案：tan²θ2e²₁+1e²₂=1+tan²θ2）

變式"在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁與雙曲線C₂共焦點，雙曲線C₂實軸的兩個頂點將橢圓C₁的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線C₂的離心率為"""".

思路探尋：關鍵點在于條件“兩曲線的交點與兩焦點共圓”的理解和轉化，由圓的定義和直角三角形的性質得該條件等價于原題的“M為C₁與C₂的一個交點，MF₁⊥MF₂”，又a₁=3a₂，按原題的方法，易得e₂=5.

探究活動：雙曲線C₂實軸的兩個頂點將橢圓C₁的長軸三等分變為a₁=λa₂（λgt;1），其他條件與問題不變.（答案：e₂=λ²+12）

例2"如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁： x²a²₁+y²b²₁=1 （a₁gt;b₁gt;0）與雙曲

線C₂： x²a²₂-y²b²₂=1 （a₂gt;0，b₂gt;0）有相同的焦點F₁，F₂，C₂的漸近線分別交C₁

于A，C和B，D四點，若多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形，則C₁與C₂的離心

率之和為（""）.

A. 3-1"""B. 2

C. 3+1D. 23

思路探尋：圖中幾何對象繁雜，關鍵在正六邊形的結構特征，可以采用分而治之的策略.雙曲線的離心率與漸近線有關聯，e₂=1+b₂a₂²=1+k²_漸，而k_漸=tanθ，由正六邊形的結構特點知△BOF₂是正三角形，故e₂=2.橢圓里連接BF₁構造關鍵對象焦點三角形，再由正六邊形的結構特點知三邊比值為1∶3∶2，由橢圓定義e₁=ca₁=2c2a₁=｜F₁F₂｜｜BF₁｜+｜BF₂｜=21+3=3-1，故選C.

評注：本題巧妙地以正六邊形為載體把兩個小問題合二為一，造成幾何對象繁雜，在明確求e的路徑前提下，采取橢圓與雙曲線分而治之的策略，再結合正六邊形的結構特征即可解決.

變式"若多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形變為若四邊形ABF₂O為菱形，其他條件與問題不變.

思路探尋：據菱形和圖形的對稱性知該條件與多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形等價.

探究活動：若多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形變為若A，B，F₂，C，D，F₁六點共圓且直線BD的傾斜角為θ，其他條件與問題不變.答案：C₁的離心率e₁=12sin（θ2+π4），C₂的離心率e₂=1+tan²θ

例3"如圖3所示，在平面直角坐標系xOy中，F₁，F₂分別是雙曲線C：x²a²-y²b²＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A，B，點T在x軸上，滿足BT=3AF₂，且BF₂經過△BF₁T的內切圓圓心，則雙曲線C的離心率為（""）.

A. 3

B. 2

C. 7

D. 13

探究活動：其他條件及問題不變，BT=3AF₂變為BT=λAF₂（λgt;1）.

思路探尋：組合圖中包含兩個焦點三角形和平行相似三角形，需聯合解三角形知識及常見幾何模型.

△AF₁F₂中，設AF₂=t，AF₁=t-2a，

BT=λAF₂（λgt;1）.

｜BT｜=λt，｜F₂T｜=2（λ-1）c，｜BF₁｜=λ（t-2a）.

由內角平分線定理得

BF₁=λλ-1t.

在△BF₁F₂，△AF₁F₂中，分別利用余弦定理表示cos∠BF₁F₂，

從而得到a，c的倍數關系，即e=ca=λ²+λ+2λ²-3λ+2.

練習"已知F₁，F₂是雙曲線C：x²a²-y²b²＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₁的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，且F₁N＝3F₁M，F₂M＝F₂N，則C的離心率為（""）.

A. 2

B. 5

C. 7

D. 3

2"教學思考

2.1"解析幾何的教育價值

《普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）》強調數學核心素養的培養.在教學中，教師應該引導學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界.荷蘭數學家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）在《作為教育任務的數學》中指出，在認識現實世界與聯系實際、使現實數學化方面，幾何的作用是無法被替代的，數和形都是現實世界的反映.平面解析幾何正是數和形的絕妙結合體，是從數學學科層面體現數學核心素養.學習過程中采用的數學思維方法及針對問題采取行之有效的解決問題的策略不僅鍛煉學生發現問題、思考問題、解決問題的能力，更是提升思考力的強有力素材.解析幾何，在國家層面是高考選拔人才的重要內容載體；在人的發展層面是學生終身發展、優化提升思考力的素材.

2.2"學生學習的困難之處

解析幾何中的圓錐曲線是高中數學的重要組成部分，是代數和幾何結合的重要載體，在高考試題中常放在壓軸的位置，具備一定的綜合性.圓錐曲線在知識上考查其基本定義、圖形性質、曲線方程，還會融合平面幾何、函數、向量等知識；在思想方法上融合了數形結合、函數與方程、轉化與化歸、分類討論等；在操作上對閱讀理解、數學運算要求頗高，因此學生學習圓錐曲線的困難系數較大，畏難情緒也頗大.

2.3"教師的可行路徑

在運算上，教師要加強基礎訓練和算法技巧指導，讓學生樹立運算信心.在思維上，引導學生爭取“多想一點，少算一點”，重視思維過程，優化計算路徑，突破運算難關，如巧用定義、“設而不求”在點差法的計算策略、運用韋達定理整體代換、轉化已知條件、利用平面圖形的基本性質等.

2.4"實踐總結

本文研究的是圓錐曲線常考的一類問題，即求離心率，試圖找尋出簡潔且高效的解決方法，以緩和學習過程中投入大、收獲小、得分低的局面，提高學生的學習興趣，疏解畏難等負面情緒.首先引導學生明確解決目標任務的路徑，再以整體和分解的雙重眼光把握組合圖形，最后聯合圓錐曲線和平面多邊形知識達成目標，并進一步把結論拓展到一般情形，在解決問題的過程中提高學生的思考力和數學核心素養.

參考文獻

［1］章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律——解析幾何內容分析與教學思考（之二）［J］.數學通報，2021（8）：1-10+26.