深度學習視域下“橢圓及其標準方程”混合式學習教學設計與思考

摘 要：深度學習視域下的混合式學習，通過“自主學習—合作探究—質疑思辨—交流反饋”等一系列學習活動，讓學生在探究中發展思維，在活動中積累經驗，有效提升學生的綜合素養。教師應設計指向明確的學習任務，讓學生參與到學習資源的開發中，關注學生的思與悟。

關鍵詞：深度學習；混合式學習；橢圓及其標準方程

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）05-0076-04

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，發展學生的實踐能力和創新意識；同時強調注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性［1］。高中數學知識體系龐大且學科本身具有抽象性和復雜性，單純依靠線下教學，教師面對面的講解很難完整地呈現知識的內涵與外延，而單一采取線上教學的效果又不明顯。因此，本研究在厘清教與學一體兩面的基礎上，用系統論的觀點，將課前、課堂、課后融合成三位一體，抓住學生核心素養形成的載體、路徑、條件、保障等要素，探索深度學習視域下混合式學習模式，以實現線下集體授課與線上自主學習方式的有效結合，有效提升學生的綜合能力。

一、深度學習視域下開展“橢圓及其標準方程”混合式教學的思路

何克抗教授認為，混合式學習就是要把傳統學習方式的優勢與網絡化學習的優勢結合起來，也就是說，既要發揮教師引導、啟發、監控教學過程的主導作用，又要充分體現學生作為學習過程主體的主動性、積極性與創造性［2］。深度學習，是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程［3］。

橢圓是重要的數學模型，它作為圓錐曲線之一，應用十分廣泛，與自然科學、生活生產有著密切的聯系。教師把生活或者其他領域中有關圓錐曲線的案例融入教學中，用生動的視頻和豐富的圖片給學生以視覺上的沖擊，使學生感受數學學習的樂趣與價值，進而激發學生探索新知的欲望。學生對橢圓的形狀比較熟悉，但是缺少畫橢圓的經驗，而橢圓的畫法、橢圓標準方程的推導有多種不同的方法，單純依靠教師講解，會占用大量的課堂時間，擠占學生合作探究的時間，課堂上學生探究的需求得不到滿足，動手實踐能力的發展將會受到限制，創新意識也會受到一定的影響。而教師利用作圖工具和互聯網輔助教學，能夠減輕課堂負擔，讓學生有更充足的時間思考問題，進行深度學習。

深度學習視域下開展“橢圓及其標準方程”混合式教學，可以采用課前任務導讀、提供微視頻自主學習、課堂面授、釋疑解惑、學生合作探究等形式，同時在課堂面授、補救學習、延伸拓展等方面充分利用多媒體的優勢，開發問題資源，提升學生的理解、整合、構建、運用等高階思維。學生在整個學習過程中經歷“自主學習—合作探究—質疑思辨—交流反饋—變式鞏固—凝煉提升”等一系列學習活動，學生的觀察思考、傾聽表達、動手操作等能力得到提升，在探究中發展數學思維，在活動中積累經驗。

二、“橢圓及其標準方程”教學設計

（一）教學分析

1.內容分析

“橢圓及其標準方程”是人教版普通高中數學教科書選擇性必修第一冊第三章第一節的內容，是單元的起始。在章節引言部分，交代了圓錐曲線的產生，簡述了圓錐曲線在生產生活中的應用與研究圓錐曲線的方法。本節課是在學習了直線與圓后進行的，而之后學習雙曲線、拋物線的研究過程和方法又與橢圓的相似，因此，研究橢圓時可以類比圓的研究路徑及方法，強調橢圓學習的示范作用，為其他圓錐曲線的學習提供類比基礎。

2.學情分析

學生通過前一章的學習，經歷了用動點軌跡定義曲線的過程，已經掌握了研究直線與圓的路徑及方法，同時有了用坐標方法解決平面幾何問題的意識，并且具備了一定的動手操作能力。但由于學生對歸納、類比、數形結合等思想的理解和運用能力較弱，從橢圓的定義過渡到標準方程的建立與化簡仍有一定的困難，這也是本節課的重點和難點。根據學生的薄弱點，教師需要開發課前、課中、課后學習資源（如表1所示），引導學生自主探究、合作交流、質疑思辨并嘗試開發一些學習資源。

3.教學目標

通過用平面截圓錐、球在太陽光或聚光燈下的投影形成圓錐曲線的發展歷程，及圓錐曲線的實際應用的微視頻，讓學生了解圓錐曲線產生的實際背景，感受數學文化，體會數學與生活的密切聯系，意識到學習圓錐曲線的重要性與必要性。

類比圓的研究路徑及方法來研究橢圓，建立歸納、類比、數形結合的思想。

通過動手作圖，讓學生在實際觀察、動手操作過程中關注橢圓的幾何特征、關鍵要素，自主總結橢圓的定義。

掌握橢圓的定義并能熟練運用，解決實際問題，提升知識應用能力。

（二）教學過程

1.課前自主學習

深度學習視域下混合式學習特別注重學生的課前預習，為避免預習的無序性和盲目性，教師擬定了課前預習任務單（如表2所示），學生帶著問題閱讀教材，從“任務—問題—思辨—收獲”的自主閱讀路徑中獲取策略和方法。問題的來源、知識的獲取不局限于課堂，要充分調動學生的主動性，激發學生學習的興趣，讓課前預習效率更高，從而使課堂上有更多的時間和空間供學生進行深度學習。

2.課中探究學習

深度學習視域下混合式學習在線下課堂學習的探究階段，一般依托教室的投影儀、希沃交互一體機、移動授課助手等，在“合作探究—交流反饋—變式鞏固—凝煉提升”中，以建構主義理論為指導，通過任務驅動式學習，引導學生在以小組為單位構成的學習共同體中完成對問題的探究。

（1）環節1：創設情境，引入新知

課前學生已觀看了用平面截圓錐所得曲線和球在太陽光或聚光燈下的投影的微課視頻，直觀感受了截線和投影的不同情況，了解了圓錐曲線的產生及發展歷程。

問題1：我們已經學習了直線與圓，那么研究直線與圓的路徑和方法是什么？

師生活動：師生共同回顧研究直線與圓的路徑為“背景—軌跡—方程—性質—應用”，方法是采用坐標法，從數的角度進行研究。接下來教師引導學生用同樣的方法探究橢圓。

設計意圖：讓學生了解圓錐曲線是生產生活中的一種常見曲線，體會數學來源于生活、服務于生活，感受學習數學的樂趣與價值。回顧舊知，了解研究的路徑和方法，為本章的探究奠定基礎。

（2）環節2：動手操作，探究定義

師生活動：學生課前利用圖書館、互聯網查找歷史上橢圓的畫法，撰寫研究報告；教師拍照展示優秀案例。

問題2：你能用一支筆和一根沒有彈性的細繩畫出橢圓嗎？

師生活動：教師邀請兩組共4名學生上講臺畫橢圓，其余學生兩人一組留在座位上畫橢圓，引導學生觀察在畫橢圓的過程中哪些量沒有發生變化，歸納總結畫橢圓需要滿足的條件，引導學生思考。①繩長不變，改變兩個定點的距離，對橢圓的形狀是否產生影響？②兩個定點的距離固定，繩長縮短或伸長，對橢圓的扁平程度是否產生影響？并以這兩個問題作為課后探究，讓學生嘗試自主探究。

設計意圖：學生動手操作畫橢圓，改變兩個定點的距離或繩長，在運動變化的圖形中找出不變的量，加深對橢圓定義的印象和理解，提升觀察能力和思辨能力。

問題3：你能類比圓的定義總結出橢圓的定義嗎？

師生活動：教師引導學生在運動變化的圖形中找出不變的量，自主發現橢圓的幾何特征、關鍵要素；學生通過小組學習共同體交流討論，代表發言；最后師生一起補充完善橢圓的本質特征，總結出橢圓的定義。

橢圓的定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于[F1F2]）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距。

師生活動：教師引導學生用自己的語言描述橢圓的定義，找出橢圓定義的關鍵詞。①平面；②距離的和等于常數；③這個常數大于[F1F2]。引入常數2a，讓學生用數學式表示這一相等關系，進而得到橢圓上點的幾何特征的符號語言表示，即[PF1]+[PF2]=2a（2a大于[F1F2]）。

問題4：當2a=[F1F2]時，點的軌跡是什么圖形？當2alt;[F1F2]時，點的軌跡又是什么圖形？

設計意圖：引導學生準確轉化橢圓的幾何特征、關鍵要素，提煉出代數式，加深學生對定義的理解，進一步強化學生的數學抽象能力，鍛煉學生的語言表達能力。

（3）環節3：合作探究，建立方程

問題5：類比圓的研究路徑，如何建立直角坐標系才能得到簡潔的橢圓的方程？

師生活動：教師組織學生以小組為單位建立學習共同體，從數的方向研究橢圓的方程，引導學生充分觀察、思考，進行生生、師生交流互動。教師拍照展示學生幾種不同的建立坐標系的方法，最后確定利用橢圓的對稱性建立起適當的直角坐標系。接著，教師引導學生把橢圓上點的幾何特征轉化為數學式[（x+c）2+y2]+[（x-c）2+y2]=2a。

問題6：化簡[（x+c）2+y2]+[（x-c）2+y2]=2a的方法有哪些？

師生活動：由于方程中所含的字母、項數、根號較多，推導過程中如何化簡方程是一個難點。教師此時放慢教學節奏，先讓學生自主推導，再組織學生分組探究運算方法，教師使用移動授課助手將學生探究的過程拍照上傳到希沃白板，學生可以互相欣賞，完善補充推導方法，教師對推導過程進行必要的板書，對算理進行充分的講解。課后教師提供多種推導方法的微視頻，讓學有余力的學生開拓視野、活躍思維。

方法1：直接平方法。

把[（x+c）2+y2]+[（x-c）2+y2]=2a兩邊平方，

整理得[（x+c）2+y2（x-c）2+y212=2a2-]（x2+y2+c2），

再次兩邊平方，整理得

[（x2+y2+c2） +2cx][（x2+y2+c2） -2cx]=

[2a-（x2+y2+c2）2]，

整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。

方法2：移項平方法（教材中的方法）。

移項后兩邊平方，整理得[（x+c）2+y2=4a2-]

[4a（x-c）2+y2]+[（x-c）2]+[y2]。

整理得[a2-cx=a（x-c）2+y2]，

再次兩邊平方，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。

設計意圖：運算的核心是思維能力與意志力的體現。此環節將邏輯推理、數學運算等素養的培養落實到師生對話、生生互動中，提高學生的運算技能。

問題7：焦點在y軸上的橢圓，其標準方程如何表示？

師生活動：教師先讓學生猜想標準方程的形式，再讓學生以小組為單位進行推導，得到根式[x2+（y+c）2+][x2+（y-c）2=2a]，觀察根式結構特征，通過等量代換得到焦點在y軸上的橢圓標準方程[y2a2]+[x2b2]=1（agt;bgt;0）。

（4）環節4：運用模型，檢測目標

師生活動：教師呈現例題，師生共同解題。

例1 在周長為12的[△ABC]中，邊AB的長度為5，則頂點C的軌跡是什么圖形？請說明理由。

例2 （教材第107頁例1）已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0）、（2，0），并且經過點[52]，[-32]，求它的標準方程。

設計意圖：兩道例題均比較基礎，當堂檢測，幫助學生鞏固新知。

（5）環節5：歸納總結，凝煉提升

問題8：通過本節課的學習，你有哪些收獲？

師生活動：學生交流本節課學習中的體會、收獲，幾名學生發言總結，教師適當補充完善。

師：請同學們舉一些例子，我們生活中有哪些情境可以抽象成橢圓？

生：衛星的運行軌跡、某些汽車的車標、橄欖球、雞蛋……

設計意圖：歸納整理本節課所學知識，幫助學生建構知識網絡，檢查學生對本節課所學知識的認識深度和理解水平。學生列舉生活情境，體會數學來源于生活運用于生活，感受學習數學的意義和價值。

3.課后個性學習

教師為不同層次的學生設計不同層次的作業；其中A層作業為比較基礎的題目，所有學生都要完成；B層作業稍有難度，教師應鼓勵學生盡可能完成；C層作業開放性較強，學有余力的學生可以挑戰。這樣的作業兼顧學生個體發展需求，體現了深度學習的思想，既鞏固新學知識，又為學習下一節內容構建了導讀任務。同時，教師制作并發布課堂重難點微課視頻，讓在課堂上沒有掌握相關知識點的學生課后進行補救。鼓勵學生利用圖書館或互聯網查閱資料，完成數學研究報告，選取優秀作品上傳至班級學習平臺，鍛煉學生的自主學習能力和數學寫作能力，促進學生深度學習。

A層作業：完成教材第109頁練習第1題、第2題和第3題。

B層作業：（教材第109頁練習第4題）已知A、B兩點的坐標分別是（-1，0）、（1，0），直線AM、BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？為什么？

C層作業：①觀看橢圓標準方程推導方法的微課視頻；②利用圖書館或者互聯網查閱、收集丹德林雙球模型資料，完成一篇數學研究報告。

三、教學思考

深度學習視域下混合式學習的開展，體現教師主導、學生主體的特點，關注學生自主學習能力、深度探究能力的培養，使其能夠主動學習、善于學習、樂于學習，實現終身發展的目標。但是在教學過程中教師要注意以下三個方面。

（一）學習任務指向明確

課前教師針對教學內容擬定課前預習任務單，學生根據任務單進行有目的的預習，并記錄自己的困惑點。課堂上教師重點講解學生的困惑點，示范“如何來”“如何想”“如何做”，并結合學習任務單進行釋疑、評價、反饋。因此，課前預習任務單的指向要明確，學生只有對核心問題有了一定的思考后，才能深刻感受從發現問題到解決問題的過程，收獲學習數學的成就感，提升動手實踐能力和思辨能力。

（二）鼓勵學生參與學習資源的開發

教學中，教師除了開發情境引入、知識生成、方法推導的指導性學習資源，還應該研究數學在人類文明、生產生活中的作用和影響，并制作成視頻，增強數學學習的趣味性。為減輕備課壓力，同時培養學生的綜合能力，教師可以引導學生成為課程資源的開發者。教師幫助學生運用教室的希沃交互一體機或學習類App、班級QQ群等搭建線上學習平臺，引導學生以小組為單位構建學習共同體，在交流中分享資源和經驗，豐富合作學習的體驗。混合式學習中，自主開發的資源和網絡資源交互應用，可以滿足學生自主探究的欲望，促使學生從知識接受者向知識建構者、學習幫扶者轉變。

（三）探究階段應重視思與悟

探究活動是知識向能力轉化的過程，是促進深度學習的重要環節，而投入探究中的具體表征即為思與悟。教師應在探究環節中觀察學生能否提出問題、表達觀點、展示思維，形成具體的解決策略和方法；分析其探究投入度，及時調控教學進度，促使學生自主構建知識，發展學生的高階思維能力。

深度學習視域下的混合式教學，拓展了師生有效參與學習的路徑和方式，實現線下集體授課與線上自主學習方式的有效結合，為學生終身學習和可持續發展助力。教師應深入研究其理論及應用，不斷提高專業素養和教學能力，從而有效提高教學質量。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］何克抗.從Blending Learning看教育技術理論的新發展（下）［J］.中國電化教育，2004（04）：10-15.

［3］劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養［M］.北京：教育科學出版社，2018.

（責編 劉小瑗）

作者簡介：黃基榮，1989年生，廣西賀州人，碩士研究生，高級教師，主要研究方向為基礎教育；廖克杰，1969年生，廣西岑溪人，碩士研究生，正高級教師，主要研究方向為基礎教育。