基于數學史的小學數學單元教學設計研究

摘 要：單元教學從整體視角出發，整合優化教材內容，關注知識間的內在邏輯關系，助力學生形成整體認知，把握知識本質.隨著課程改革的推進，數學史與數學教育相融合的研究越來越多，其教育教學價值受到廣泛認同.具有發展脈絡的數學史料不僅能將數學知識“串聯”成一個有機整體，更為其注入了文化內涵.在“多邊形的面積”單元教學中融入數學史內容，可以使教學更具有連貫性、整體性.

關鍵詞：數學史；單元教學；“多邊形的面積”

在歷史與教學相融合的模式中構建的課堂模塊，注重將數學史與數學教學相結合，目的是利用其獨有的文化價值.教師在教學之前需認真搜集資料，搜集完畢之后，也需細心挑選并加以整理，這樣才能使得數學史資料在教學中能更有效地發揮其教育價值.需要明確的是，鑒于當前基礎教育教師的職業能力和工作情況，讓一位教師單獨搜集歷史資料的難度相當高.因此，吸收并革新先前成效顯著的數學史教學案例是不可或缺的.本文旨在以“多邊形的面積”單元為例，梳理與“多邊形的面積”有關的史料，并提出多樣化的教學策略.

1 “多邊形的面積”相關史料梳理

1.1 有關面積的歷史

測量面積這一行為起源于人們日常生活中的實際需求，如對土地的測量以及對天體的觀察等活動，它的應用和發展歷程橫跨了整個數學史.從遠古時代的幾何學研究，延伸至萊布尼茨和牛頓時代的微積分學說的形成，乃至當代復雜的測度理論，都與面積的計算緊密關聯.人對空間尺寸的感知天生就有，而且會本能地比較不同面積的大小.兩個區域不僅在外觀輪廓上各異，還在面積上不同.這使人們漸漸形成了對“面積多少”的認知.要描述平面區域的尺寸大小，就必須采用數值進行量化.^［1］因此，在實際的測量過程中，大家逐漸歸納并概括出計算面積的技能，并最終推導出了用于計算面積的數學公式.

中國古代對于圖案的平面區域測量源自對于土地規劃的實際操作，與征稅體系的構建及計量標準體系的發展有緊密的聯系.公元前594年，魯國實施了“初稅畝”制度，這說明在春秋時期我國已掌握了土地面積測算方法.中國古代經典數學文獻《九章算術》分為九個篇章，匯編了246個實際生活中的應用問題，資料翔實，充分體現了中國古代人民的聰明才智，對中國乃至全球數學史均具有深遠的影響.其中，關于計算平面幾何形狀的開篇章節為“方田”，該章節闡述了幾種特殊平面形態的土地面積測算方法.書籍里將這類平面圖形命名為“某田”，相關的計算面積的方法則被叫作“某田術”.“方田”篇詳細闡述了包含長方形（方田）、等腰三角形（圭田）、直角梯形（邪田）、一般梯形（箕田）以及圓形（圓田）在內的各類土地圖形的測量方法，并提供了若干多邊形以及部分圓弧形狀土地的面積算法.

中國古代，人們選用“畝”來衡量耕地的大小.一畝通常指的是一塊長方形的土地，其測算面積的方式在《九章算術》一書中已有所闡明，即將土地的寬度以步量計算，再將所得數值相乘，得出土地的總面積.在此，“步”作為古代的長度量度，古人通過給長度單位加上“積”字來借代面積量度，將一畝定義為240積步，并把這種計量方法稱作“畝制”.盡管“畝”作為一個度量單位在當代依舊流通，但其定義的尺寸與古時的標準已有所出入.

1.2 平行四邊形面積的相關史料

在古代的數學典籍中，并未具體闡明計算平行四邊形面積的公式或方法，僅涉及一些常規的四邊形求面積的方法.公元前2世紀左右，一份區域合同記載古埃及居民如何測算任意四邊形的面積，通過變量 a、b、c、d 代表相對邊長，采用公式（a＋b）（c＋d）/4進行計算.在我國北周時代，數學家甄鸞編著的數學著作《五曹算經》的首卷“田曹”中則以“加二鄰邊之和，取其半，乘余下兩邊之半和”作為計算任意四邊形面積的方法，如果用現代代數表示，可寫作S=a＋b/2×c＋d/2.這一做法與古埃及人測算同類圖形面積的手段有異曲同工之妙.目前看來，這兩套算法都存在明顯不足之處，然而應用它們來測算長方形的面積卻能得到準確結果.很明顯，古人在長方形面積算法的影響下，認為只需將對側之和取平均，類似于長方形的長與寬，接著將這兩個平均值相乘即可計算出面積.

盡管國內外的古代數學文獻中并未直接記述平行四邊形的面積計算公式，然而在古希臘的數學經典《幾何原本》里通過利用平行四邊形的性質，已經對平行四邊形的面積比較作出了論證.^［2］具體來說，在第一卷指出了“位于同一底邊上且界于同一對平行線之間的平行四邊形，它們的面積是相等的”.值得一提的是，小學數學教材中也配備了涉及此命題的相關練習.

1.3 梯形面積的相關史料

中國古代將呈等腰梯形狀的農田命名為“箕田”，形如直角梯形的田地則被稱為“邪田”.《九章算術》一書中的“方田”一節闡述了兩類梯形面積求解的規則.箕田術曰：并踵舌而半之，以乘正縱.邪田術曰：若將雙廣之地展如延長，再取其中半分，用以與正方形之面積相乘.復又能以半正律之廣，乘之以并，折為畝之制以求其一.

在等腰梯形中，上邊界稱為“踵廣”，下邊界則稱為“舌廣”，其垂直距離稱為“正從”；對于直角梯形來說，“廣”指的是其底邊，其中上底邊稱為“小廣”，下底邊稱為“大廣”（如圖1）.先前的學者持有這樣的看法，對于求解等腰梯形的面積，取其上下兩底之和并對其二等分，然后與其高度相乘即可得出結果.關于求解直角梯形的面積，文獻中介紹了以下兩個計算方式：其一與前文相同；其二則是先將其高度除以2，隨后乘底邊長度之和.顯然，盡管運算手段各異，它們與現代梯形面積計算公式在本質上是相同的，僅在求解步驟上略有差異.設a與b各自代指梯形的頂底和底邊寬度，h代表梯形的垂直距離，其面積計算公式為S=?（a＋b）h.

1.4 出入相補原理

諸如三角形和梯形等二維輪廓可以被細分，并且將這些切割出來的片段轉移到別處，組合成一個長方形.這類通過“剪裁加補”的手法所映射出的，乃是“流入流出互補理念”.古人是依據這一理念計算了多邊形的面積.

“出入相補”（“以盈補虛”）原理，是中國歷史數學幾何學領域的根本法則之一，彰顯了中國古代數學的輝煌成就，最早由魏晉年間數學家劉徽確立并提出，其主要應用于計算平面圖形的面積問題.劉徽不光闡述了“勾股法”，還利用了“盈虧相抵”的原理來驗證了勾股定理.

《九章算術注》中的“勾股”一節提及“出入相輔”.其中，“出”指對圖形進行切割，使其面積縮小，“入”指對圖形進行填充，令其面積擴大.通過出與入的相互作用，將圖形切割部分填補至圖形其余部分，從而保持總體面積的不變性.

劉徽借助“方田術”，在其著作《九章算術注》里，通過運用“出入相補”原理，對數個平面圖形的面積計算法則進行了推導證明.以“圭田法”為例，其中載述“半廣以乘正從”，對此劉徽作注解“所謂半廣，即用填滿之法來補足不足之地，以此求得方田.也可以偏依正途以享寬廣”.顯而易見，劉徽提出的這個原則闡明了兩種“三角形割補”的技巧.一種策略是，在求取三角形的面積過程中，能夠將底邊削減為原長的一半，并采用增減填補的手法，進而將其轉換成一個底為三角形“半邊寬”的長方形，高則與三角形的高相同；另一策略是將三角形的高一分為二，依照類似的增減填補原則，組合出一個底等于三角形“全寬”的長方形，其高為三角形高度的一半（如圖2）.應當明確，盡管“圭田”常常特指呈等腰三角形輪廓的耕地，但這并非表示“以盈補虛”的原則沒有普遍適用性，在實踐中它依然能夠按照三角形的中線進行劃分與旋轉，使之改變為平行四邊形.

在闡述“異形田法”里所說的（直角）梯形的計算公式時，劉徽在注釋中寫道“將兩邊合起來再取其半”，是為了用多的部分填補不足之處.在求解（直角）梯形的面積過程中，可以將其上下兩邊相加之和作為長方形的一邊，從而將梯形轉化成長方形計算.關于“箕田”（等腰梯形）的面積算法，劉徽持有如下看法：中分箕田則為兩分田，故其術相似.又可并踵舌，半正踵以乘之.換言之，等腰梯形的面積求解過程與直角梯形類似，其證明過程如圖3所示.

2 “多邊形的面積”教學設計

經過仔細整理與審視前述的數學歷史資料可以領悟到，平面圖形的面積量度跟人類生產緊緊相關，因為面積的概念是在實際需求下孕育出來的.關于“多邊形的面積”這一主題的數學歷史記錄相當翔實，并且其發展軌跡也相當明了.

在教學時，教師可將古人算土地尺幅的歷史事件作為課堂導入的背景，指引學生穿越時空，體驗測量土地所映照出的實際需求，從而激發學生學習興趣.此課程模塊旨在研究平行四邊形、三角形和梯形的面積求解定理，故而，古代總結的與求面積方式有關的歷史資料也應予以保存.在研究特定圖形求面積的規則時，教師可以展示古籍中記錄的算法，接著引導學生進行探討并闡述各自的見解.鑒于部分計算技能準確無誤，另一些則存有謬誤，故在介紹這類歷史資料時，需精心選擇時機，以免干涉學生對計算方式的記憶和領悟.

全面審視“多邊形的面積”單元可以看到，學生在推演平行四邊形、三角形以及梯形面積公式的實際操作中，不斷深入領會了“轉化”這一思維方法的精髓.學生應用“割補策略”將平行四邊形改造為長方形，梯形變作長方形或改組成其他形狀，并利用“倍拼法”把三角形轉換為平行四邊形.^［3］“割補法”所依據的是“出入相補”原理展現的理念，該理念內涵了“轉化”觀念.該觀點不僅對本課程單元的教學極為關鍵，亦對學生掌握不規則形狀、圓形乃至三維形態的學習有著舉足輕重的作用.于是，根據“出入相補”這一理念以及對古代數學家劉徽的相關資料的研究，教師應當精心挑選相關素材.實際上，大部分教師在教學過程中確實會涉及該素材，遺憾的是，多數情況下他們僅進行簡略地闡述關于“出入相補”原理，以數學史事跡作為教學的裝飾、點綴，這樣的做法主要是為了讓學生認識到我國數學史的輝煌成就，增強學生的民族自尊心，喚起文化自信心.然而，他們忽略了引導學生深入理解和感受民族數學文化所蘊含的深刻現實意義與獨特魅力，因此“出入相補”理念的思想內涵并未被充分及有效發掘.在策劃教學方案的過程中，教師不應僅局限于表面的知識拓展，而應深入思考將劉徽的“出入相補”原理及《九章算術注》中的精華理念巧妙地嵌入課堂教學的氛圍里，讓其貫穿教學素材之中.在充實學生的數學文化底蘊的同時，使他們親歷古代數學家的求索旅程，領悟“對立統一規律”的思考方式，激發學生追尋新知識的熱情.

3 結語

本文闡述的基于數學史理論架構的小學數學單元教學設計與實施方法，旨在為未來學術探索提供思路，也希望開發的教學案例能為教師的課堂教學提供借鑒.伴隨著眾多學術研究人員、數學教育專業人士及數學教師的熱心參與和深入探究，基于數學史模式的小學數學教學單元設計將持續獲得改善與提升，從而促進教育教學質量的顯著提高.

參考文獻

［1］尤佳.小學數學單元教學的策略研究——以《多邊形的面積》為例［J］.數學之友，2024（24）：74－75.

［2］蔣娟.小學數學單元作業的設計策略——以“多邊形的面積”為例［J］.數學學習與研究，2024（25）：132－134.

［3］陳萍萍.基于核心素養的小學數學大單元教學研究——以《多邊形的面積》單元教學為例［J］.試題與研究，2024（23）：43－45.