基于項目式學習的初中數學“綜合與實踐”教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在課程實施中提出“進一步加強綜合與實踐”，并指出綜合與實踐領域的教學活動，以解決實際問題為重點，以跨學科主題學習為主，以真實問題為載體，適當采取主題活動或項目學習的方式呈現，通過綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合素質。可見，項目式學習作為新課標對綜合與實踐教學的首推之法，必將成為初中數學綜合與實踐教學改革的破局之道。本文以“田徑場跑道起跑線設計”為例，給出以項目式學習的方式組織綜合與實踐教學的實施樣本及思考。

一、教學目標

1.能從田徑場上的直道和彎道抽象出線段和半圓，并會用圖形和符號語言表示；能分析彎道差與起跑線提前量的關系，并建立“道寬→周長差→提前量”的數學模型。

2.能綜合運用數學及其他學科知識解決現實問題，感受數學與生活、體育、信息科技等學科間的聯系，體會數學知識的應用價值。

3.通過誤差分析，學會嚴謹求證，培養理性思維；體會起跑線的價值導向——公平，培養學生的社會責任感；通過實踐優化接力區的起始線，培養學生的人文精神和創新精神。

二、教學過程

問題：一年一度的學校秋季運動會即將舉行，200米、800米和4×100米接力三種比賽是備受大家喜愛的體育項目。但體育組教師發現，學校400米田徑場跑道上的起跑線油漆脫落，需要重新畫線。為確保比賽公平公正，你將如何運用數學知識，設計出科學合理的起跑線繪制方案？

任務1：200米起跑線——破解彎道差密碼

【實施步驟】（1）實地勘測，收集數據。學生實地測量田徑場直道長度和彎道半徑（比如直道84.39米，彎道半徑36.5米），用卷尺、測距儀等工具，把教材上的“圓周長公式”變成真實數據。

（2）抽象模型，差異分析。學生畫圖對比內外道差異，發現“外道選手跑彎道時路程更長”，引發疑問：“提前多少米才能抵消這個差距？”

（3）合作探究，總結規律。引導計算：相鄰跑道的分道差[Δ]C=2π（r+1.22）?2πr=2π×1.22=2.44π米（1.22米為跑道寬度），但200米只跑一個彎道，所以提前量是相鄰跑道分道差的一半（約1.22π米），即第n道起跑線提前量為（n?1）×1.22π米。

【學生成果】總結出200米起跑線各分道的提前量推算公式；通過測量與計算，繪制出各跑道200米起跑線位置示意圖。

【設計意圖】200米比賽只跑一個彎道，計算量小（只需算半圓分道差），學生容易上手，避免一開始就被復雜的問題“勸退”。此外，學生在完成“讓所有選手跑的實際距離相等”的任務中，能直觀理解數學如何保障比賽公平。該環節從簡單任務入手，讓學生建立“數學有用”的初體驗。

任務2：800米起跑線——應對多圈疊加效應

【實施步驟】（1）簡單疊加，感受漏洞。學生先按200米疊加4次的方法初畫起跑線，讓2名速度相近的學生模擬2圈比賽，發現外道選手成績更好，感覺外道選手“占便宜”，初步體會到起跑線設計存在缺陷。

（2）分析原因，探討方案。各小組結合體育教師提供的800米比賽搶道規則發現，各道選手只在經過第一個彎道時產生“分道差”，過了第一個彎道后即可切入內道，切入內道后不會產生差距，但切入時會多跑一定的距離（即“切入差”）。小組合作討論得出外道與內道的“分道差”與“切入差”的計算公式。“分道差”為（n?1）×1.22π，切入差（Δ）Δ=[L2+［1.22（n-1）］2-L]（如圖1，其中n為跑道編號，L指搶道點到進入彎道前的直道長度，1.22為每條跑道的寬度），最后確定800米比賽各分道起跑線的提前量為“分道差”+“切入差”。

（3）采集數據，匯報方案。各組測量相關數據，計算出各分道起跑線的提前量，依據“階梯式提前”的思路形成設計方案，并通過PPT展示說明。

【學生成果】學生通過測量、分析、討論，設計出800米比賽起跑線繪制方案。

【設計意圖】學生感受“簡單套用”出現“占便宜”的現象是淺表思考導致的，進而通過反思和分析，發現僅靠線性提前量無法滿足多圈比賽的公平性，需結合賽道切換規則進行動態調整，培養對復雜問題的分析能力。

任務3：4×100米接力區——攻克立體空間布局

【實施步驟】（1）查閱資料，了解要求。組織學生查閱4×100米接力賽的比賽規則，了解接力區的距離及畫線組成。從距離公平的角度，明確彎道接力區的長度是指弧長。

（2）結合規則，初設方案。學生在了解規則的基礎上，探究彎道接力區的中心線、起始線、終止線如何確定。學生分直道接力區組和彎道接力區組展開設計。彎道接力區組通過討論、分析得出彎道接力區的路程可以看成一條弧線，其長度為20米，可推導出彎道接力區起始線與終止線所在半徑的夾角θ=[180×20π×［36.5+0.3+1.22（n-1）］]

［第n道半徑R=36.5+0.3+1.22（n-1），接力區的長度為20米］，各小組合作交流并形成初步的設計方案（如下頁圖2）。

（3）實地測試，優化設計。根據初步的設計方案，用石灰粉在跑道上畫出理論計算的接力區，讓學校田徑隊隊員試跑。觀察發現，接棒隊員需扭著身子接棒。根據實際效果調整角度（比如從29度改為34度），通過將彎道接力區“斜著畫”完善設計方案。

【學生成果】推導出“接力區角度公式”，繪制帶角度的接力區設計圖，并向體育組提交優化建議：外道接力區角度需逐道增加3～5度。

【設計意圖】普通起跑線只解決“跑的距離公平”問題，但接力賽還要保證“交接棒順暢”。外道選手在彎道接棒時，身體朝向和視線受限，容易踩線犯規或錯過接力區，問題復雜度爆炸式增長。因此，在得出初步的方案后，通過實踐測試發現，“算得對”未必“用得順”，最后通過“斜著畫”完善了方案。整個過程中，學生不僅學會了算角，更懂得了什么叫“用數學尊重人性”。

三、教學反思

1.項目式學習完美匹配綜合與實踐教學的需求

從項目式學習的內涵來看，數學學科的項目式學習是以數學知識為中心，基于跨學科意識，選取現實生活中真實的、富有挑戰性的問題，綜合運用數學與其他學科的知識和方法，以任務驅動的形式來解決問題。而初中數學綜合與實踐教學內容就是源于與初中生緊密相關的“真問題”，通過綜合運用數學和跨學科知識得到理論解決的方案，運用實踐檢驗并完善理論方案。例如，在任務3中，學生在算出彎道接力區起始線與終止線的“理論夾角”后，請校田徑隊測試，發現“按算出來的角度畫線實際跑會踩線，不方便接棒”，立馬回頭調整模型。因此，以問題解決為導向、項目任務為驅動、實踐成果為評價的項目式學習，完美匹配了綜合與實踐教學對問題真實性、知識綜合性、應用實踐性的需求。

2.項目式學習提升綜合與實踐教學的育人效果

綜合與實踐教學的本質其實是“學”與“用”的緊密結合，當“學”與“用”割裂開來時，綜合與實踐教學的育人效果將大打折扣。而倡導“做中學”的項目式學習，就猶如一座橋梁把單調的數學知識和真實的生活需求關聯起來。學生的學習狀態也將從“被動卷入”轉變為“主動投入”，從“做題家”變身為“做事者”，知識也因“被需要”而扎根，實現“知識遷移”到“素養生成”的育人進階。例如，學生在設計200米起跑線時，通過計算內外道的彎道差，得出起跑線的提前量，感受到數學知識的工具作用；在設計400米起跑線時，理解了“規則背后的數學邏輯”，培養了公平意識；在設計4×100米比賽的接力區時，出于“方便接棒”的考量，在確保距離公平的前提下，創造性地拿出優化方案——“斜著畫”，培養了人文精神和創新精神。可見，以項目式學習的方式開展教學，充分發揮了綜合與實踐的育人作用。

本文系江蘇省南通市教育科學“十三五”規劃專項課題“基于項目化學習的農村初中校本課程開發與應用研究”（編號：XC2020061）階段性研究成果。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮初級中學）