一道2024年江西省競賽題的解答與拓展

摘 要：文章對2024年全國高中數學聯賽江西省預賽的第15題進行探究，提供3種證法，并對賽題進行拓展應用，以期對教與學提供幫助.

關鍵詞：數學聯賽；柯西不等式；拓展；推廣；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0060-03

競賽試題是命題專家智慧的結晶，其背后蘊藏的知識、思想與內在本質，體現出學科競賽教學的重心和導向.因此，對競賽中不等式試題的研究有非常現實的指導意義和教學價值，對學生和教師具有重要的參考價值.

2023年全國高中數學聯賽江西省預賽試題的第15題是一道三元的求最值試題，該題簡潔且內涵豐富，很有新意，主要考查競賽中的柯西不等式、復數法等常見的知識點，值得探究.

1 題目呈現與解答

題目 實數a，b，c滿足ab+bc+ca=44，求（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值.

解法1 （1）當a，b，c均是正數時，此時（a2+4）（b2+4）=a2b2+4a2+4b2+16=4（a+b）2+（ab-4）2.由柯西不等式，得

（a2+4）（b2+4）（c2+4）=［4（a+b）2+（ab-4）2］（c2+4）

≥［2（a+b）c+（ab-4）×2］2=［2（ab+bc+ca）-8］2=（88-8）2=6 400，

注意到（a，b，c）=（2，4，6）符合取等條件，所以a，b，c均是正數時，（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值為6 400.

注意到題設條件的對稱性，當a，b，c均是負數時，（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值也為6 400.

（2）若abc=0，即a，b，c中存在取值為0的情形.由題不妨設c=0，此時ab=44.故（a2+4）（b2+4）（c2+4）=［4（a+b）2+（ab-4）2］×4gt;（ab-4）2×4=442×4gt;6 400.

（3）若a，b，c的取值為兩負一正或一負兩正時，由對稱性，不妨設abgt;0，此時ab=44-（a+b）cgt;44.

也有（a2+4）（b2+4）（c2+4）=［4（a+b）2+（ab-4）2］（c2+4） gt;（ab-4）2×4=442×4gt;6 400.

綜上，當（a，b，c）=（2，4，6）時，（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值為6 400.

評注 解法1對實數a，b，c分類討論，結合對稱性，當a，b，c均是正數時，利用柯西不等式求得（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值.難點是要對實數a，b，c分類討論，容易遺漏某種情形.

解法2 （a2+4）（b2+4）（c2+4） =a2b2c2+4a2b2+4b2c2+4c2a2+16a2+16b2+16c2+64

=［a2b2c2-8abc（a+b+c）+16（a+b+c）2］+

［4（ab+bc+ca）2-32（ab+bc+ca）+64］

=［4（a+b+c）-abc］2+4［（ab+bc+ca）-4］2

≥4［（ab+bc+ca）-4］2=4（44-4）2=6 400.

所以當（a，b，c）=（2，4，6）時，（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值為6 400.

評注 解法2對（a2+4）（b2+4）（c2+4）進行變形，通過配方法解答問題，解法所需的知識較少，不需分討論，比解法１要簡單，難點是要有較強的運算能力.

解法3 設復數a+2i，b+2i，c+2i，則

（a2+4）（b2+4）（c2+4）=|a+2i|2·|b+2i|2·

|c+2i|2

=|（a+2i）（b+2i）（c+2i）|2=|［（ab-4）+2（a+b）i）］·（c+2i）|2

=|［（abc-4（a+b+c）］+2（ab+bc+ca-4）i）|2

=［4（a+b+c）-abc］2+4［（ab+bc+ca）-4］2

≥4［（ab+bc+ca）-4］2=4（44-4）2=6 400.

所以當（a，b，c）=（2，4，6）時，（a2+4）（b2+4）（c2+4）的最小值為6 400.

評注 解法3巧設復數，利用復數模的運算解答，解法新穎、簡潔，也避免了解法2中較難的配方法.

2 試題的拓展2.1 試題的推廣

經探究，可得以下推廣性質：

性質 "若a，b，cgt;0，且ab+bc+ca=t，kgt;0，則

（1）當t≥9k時，（a2+k）（b2+k）（c2+k）的最小值為k（t-k）2；

（1）當k（a+b+c）=abc時，則有

由柯西不等式，可得

即得t≥9k[1].

（2）由均值不等式，得

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3（ab+bc+ca）=3t.

k（a+b+c）-abcgt;0，

故（a2+k）（b2+k）（c2+k）=［abc-k（a+b+c）］2+k（ab+bc+ca-k）2=［k（a+b+c）-abc］2+k（t-k）2

綜上，性質得證.

評注 顯然，當t=44，k=4，此時t≥9k，可得（a2+k）（b2+k）（c2+k）的最小值為6 400，這正是賽題的情形.

由上述性質，對k，t賦予不同的值，就可以命制很多題目了，如：

例1 若正實數a，b，c滿足ab+bc+ca=3，求（a2+1）（b2+1）（c2+1）的最小值.

例2 若正實數a，b，c滿足ab+bc+ca=20，求（a2+2）（b2+2）（c2+2）的最小值.

2.2 試題的四元拓展

例3 已知實數a，b，c，d滿足ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd=11，求（a2+1）（b2+1）（c2+1）（d2+1）的最小值.

解析 "由（a2+1）（b2+1）（c2+1）=［（a+b+c）-abc］2+［（ab+bc+ca）-1］2，

故有（a2+1）（b2+1）（c2+1）（d2+1）

=［（a+b+c-abc）2+（ab+bc+ca-1）2］（d2+1）

=［（a+b+c-abc）2+（1-ab-bc-ca）2］（d2+1）

=［（a+b+c-abc）d-（1-ab-bc-ca）×1］2+

［（a+b+c-abc）+d（1-ab-bc-ca）］2

=（ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd-1）2+（a+b+c+d-abc-bcd-cda-dab）2

≥（ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd-1）2=（11-1）2=100.

在推廣結論的證明過程中，得到一個優美的代數恒等式（a2+k）（b2+k）（c2+k）=［abc-k（a+b+c）］2+k（ab+bc+ca-k）2.利用此恒等式，可以更簡便對一些問題進行解答.

3 結束語

學數學離不開解題，在解題中要聯系所學知識，認真思考，善于將條件轉化；從不同的思維角度尋找不同的解題方法，積極探求一題多解.同時，數學試題是多變的，試題的恰當變式和拓展能促進理解，起到強化解題思想與方法的積極作用.因此，要注重題目的變式訓練，注意總結與反思，注意方法的積累與完善，這樣就能將數學知識串聯起來，拓寬解題的思路，提升自己的解題能力.

參考文獻：

［1］林國紅.一道希望杯試題的解答與推廣[J].高中數學教與學，2021（15）：42-43.