圓錐曲線中的一對定值定點問題

摘要本文對一道橢圓模擬題的定點定值進行探究，得到一對定點、定值結論，并把結論推廣到雙曲線和拋物線中.

關鍵詞圓錐曲線；定點定值

圓錐曲線試題運動模型中，點、線、角度、斜率、距離、面積等會跟著聯動.運動過程中幾何特征或數值的不變性是值得關注的［1］.幾何特征的定點與數值特征的定值往往成對出現在統一運動模型中，探究此類題型的理論背景對培養學生認識題型本質，鍛煉學生思維具有積極價值.

1.題目再現

題目 （山東濰坊2024年9月調研檢測）已知橢圓C：x25+y2=1，過x軸上一點M作直線l，交橢圓C于A，B兩點，當直線l繞點M旋轉時，有1|AM|2+1|BM|2=λ（λ為常數），則定點M的坐標為，λ=.

此題考查直線與橢圓位置關系，直線過定點，弦長公式以及含參數分式型式子的定值問題.解答過程涉及韋達定理、弦長公式以及式子為定值時的求解參數方法.答案為M（±303，0），λ=6.

2.問題探索

題目中的定點坐標，定值在一般圓錐曲線運動模型中是否都存在，定值與定點坐標數值間有無關聯？雙曲線與拋物線中是否也有此結論.教師在教學中，不能就題講題，解決問題后的回顧反思比解題過程更重要，筆者對此做了探究，得到下述性質.

性質1已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），存在定點M（±aca2+b2，0），過點M作直線l，交橢圓C于A，B兩點，有1|AM|2+1|BM|2=a2+b2b4.

證明 假設存在定點M（m，0），當A，B直線斜率不為0時，設AB方程為x=ty+m.聯立AB直線方程與橢圓C有（b2t2+a2）y2+2b2tmy+b2m2－a2b2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則由題Δgt;0有y1+y2=－2b2tmb2t2+a2，y1y2=b2m2－a2b2b2t2+a2.

由于|AM|=1+t2|y1|，|BM|=1+t2|y2|，所以1|AM|2+1|BM|2=1（1+t2）y21+1（1+t2）y22=11+t2［（y1+y2y1y2）2－2y1y2］ =11+t2［（－2b2tmb2m2－a2b2）2－2（b2t2+a2）b2m2－a2b2］=（2b2m2+2a2b2）t2+－2a2m2+2a4（bm2－a2b）2t2+（bm2－a2b）2.

要使1|AM|2+1|BM|2為定值，即1|AM|2+1|BM|2與t無關，即分子與分母的相同次數的系數對應成比例，即2b2m2+2a2b2（bm2－a2b）2=－2a2m2+2a4（bm2－a2b）2.因此b2m2+a2b2=－a2m2+a4，所以m2=a4－b2a2a2+b2=a2（a2－b2）a2+b2=a2c2a2+b2.

所以存在定點M（±aca2+b2，0），經驗證，當直線AB的斜率為0時也成立.則1|AM|2+1|BM|2=（2b2m2+2a2b2）t2－2a2m2+2a4（bm2－a2b）2t2+（bm2－a2b）2=－2a2m2+2a4（bm2－a2b）2=－2a2（a4－b2a2a2+b2）+2a4［b（a4－b2a2a2+b2）－a2b］2=a2+b2b4，所以性質1得證.

3.性質類比

基于橢圓與雙曲線知識的體系性，橢圓置換為雙曲線后，得如下結論：

性質2已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;b），存在定點M（±aca2－b2，0），過點M作直線l，交雙曲線C于A，B兩點，有1|AM|2+1|BM|2=a2－b2b4.

性質3圓錐曲線C：x2a2±y2b2=1（agt;bgt;0），存在定點M（aca2±b2，0）或（－aca2±b2，0），過點M作直線l，交橢圓C于A，B兩點，有1|AM|2+1|BM|2=a2±b2b4.

性質4已知圓錐曲線C：x2a2±y2b2=1（agt;bgt;0），存在定點M（s，0），過點M作直線l，交橢圓C于A，B兩點，有1|AM|2+1|BM|2=t，則s2t=（e1－e2）2.

性質5已知拋物線C：y2=2px，存在定點M（p，0），過點M作直線l，交拋物線C于A，B兩點，有1|AM|2+1|BM|2=1p2.

證明假設存在定點M（m，0），當直線AB斜率不為0時，設AB方程為x=ty+m.聯立直線AB方程與拋物線有y2－2pty－2pm=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則由題Δgt;0有y1+y2=2pt，y1y2=－2pm.因|AM|=1+t2|y1|，|BM|=1+t2|y2|，所以1|AM|2+1|BM|2=1（1+t2）y21+1（1+t2）y22=pt2+mpm2t2+pm2.要使1|AM|2+1|BM|2為定值，即1|AM|2+1|BM|2與t無關，即ppm2=mpm2，m=p，所以存在定點M（p，0），1|AM|2+1|BM|2=pt2+mpm2t2+pm2=1pm=1p2.經驗證，當直線AB的斜率為0時，也成立，所以性質5得證.

性質6已知拋物線C：y2=2px，存在定點M（s，0），過點M作直線l，交橢圓C于A，B兩點，有1|AM|2+1|BM|2=t，則s2t=1.

4.結語

解析幾何中的定值定點問題是高考命題的重要素材，常常蘊含著一些簡潔、優美的數學結論和方法.此類問題的研究無窮無盡，需要師生堅持不懈地探索與反思，這樣才會在學習中提升數學品質和數學素養［2］.

參考文獻

［1］晏炳剛，劉燕.圓錐曲線中一類斜率乘積為定值、動點軌跡為圓的優美性質［J］.中學數學研究（華南師大），2024（05）：34-36.

［2］何雪冰.一道市級聯考題的解法探究與推廣［J］.中學數學研究（江西師大），2024，（08）：41-43.