一道加拿大數學奧林匹克試題的多解與推廣

摘要本文分析了一道2024年加拿大數學奧林匹克試題，該題主要考查如何判斷一個數是否為完全平方數的問題.通過研究該數的不同質因數次數，為問題提供了多種解決方法.最后，對問題進行了推廣.

關鍵詞完全平方數;質因數;推廣

1.問題呈現

定義vpn=a，a表示n中質數p的冪次，即pa整除n，但pa+1不整除n.［1］

問題1（2024年加拿大數學奧林匹克）能否將2024個正整數寫在圓周上，使得相鄰兩數之積恰構成集合1！，2！，…，2024！？

評注如果這個問題是成立的，需要給出一個具體的構造，這個構造看似不太容易給出；如果這個問題不成立，可以通過整體的角度，因為這些數是相鄰兩數的乘積構成的，故整體的乘積應該是個完全平方數，即1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242，一個完全平方數的任意質數次冪應為偶數，那么1！·2！·3！…2024！所含所有質數的冪次均為偶數嗎，有沒有可能存在一個質數的冪次為奇數？這可以作為解決本題的一個切入點.

2 解法研究

按照以上的想法，給出了以下兩種解法：

解法一若正整數a1，a2，…，a2024滿足要求，則1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242是完全平方數.但1009是質數，而v10091！2！3！…2024！=1·2017－1009+1+2·2024－2017=1023，是奇數，矛盾！

解法二若正整數a1，a2，…，a2024滿足要求，則1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242是完全平方數.但677是質數，而v6771！2！3！…2024！=1·1353－677+1+2·2024－1353=2019，是奇數，矛盾！

評注解法一和解法二有所類似，其關鍵之處是找到一個質數p，且滿足vp1！·2！·3！…2024！為奇數，滿足題目的不同質數p都對應一種新的解法.顯然，并不是所有的質數都滿足條件的，比如v20171！·2！·3！…2024！=8并不是奇數，那么究竟怎么樣的質數會滿足條件呢？

對于任意質數p，根據帶余除法可得，2024=p·t+q0≤qlt;p，其中t=2024p.

當t=1時，即p≥1013時，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…vp2024！=1，則vp1！·2！·3！…2024！=2025－p為偶數，這也說明若取一個比較接近于2024的質數，不能直接說明1！·2！·3！…2024！不是完全平方數.

當t=2時，即675≤p≤1012時，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…=vp2p－1！=1，vp2p！=…=vp2024！=2，則vp1！·2！·3！…2024！=0·p－1+1·p+2·2024－2p+1=4050－3p，因為p為奇數，故4050－3p為奇數.這也說明了675和1012之間的質數都可以用于本題的解答，而解法一和解法二中的677和1009僅僅是兩個特殊的例子.

當t≥3，且滿足p2gt;2024時，即45≤p≤674時，對于1！，2！，…，2024！這2024個數，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…vp2p－1！=1，……，vpt－1p！=…vptp－1！=t－1，vptp！=…vp2024！=t，∴vp1！·2！·3！…2024！=0·p－1+1·p+2·p+…+t－1·p+t·2024－tp+1=t·2025－pt+12.據此，當t=3時，3·2025－2p為奇數，這個范圍內的質數均可以用于本題的解決. 當t≥3，且滿足45≤p≤674時，進一步可以發現：

當t為一個4k型數時，t·2025－pt+12=2k·4050－p4k+1為偶數，這類情況下的p不能用于本題的解決；

當t為一個4k+1型數時，t·2025－pt+12=4k+1·［2025－p2k+1］為偶數，這類情況下的p不能用于本題的解決；

當t為一個4k+2型數時，t·2025－pt+12=2k+1·（［2025－p4k+3］為偶數，這類情況下的p不能用于本題的解決；

當t為一個4k+3型數時，t·2025－pt+12=4k+3·［2025－2pk+1］為奇數，這類情況下的p可以用于本題的解決.

3.問題推廣

當然，將題干中的2024換成其它的數字，也可以用類似的方法來解決.例如將2024改成2027，可以得到以下問題：

問題2能否將2027個正整數寫在圓周上，使得相鄰兩數之積恰構成集合1！，2！，…，2027！？

如果可以發現2027是一個質數，那么這個結果顯然是不能成立的.

同樣的，如果將將2024改成2025，那么這類問題的解決和原問題相似.

通過問題2，可以得到以下推論：

推論1p為質數，能否將p個正整數寫在圓周上，相鄰兩數之積不能構成集合1！，2！，…，p！.

評注因為p為質數，在1！，2！，…，p！中只有p！中含有質因子p，所以可以得到vp（1！·2！·3！…p！）=1，故不可能構成完全平方數.

推論2p為質數，k為偶數，能否將p+k1≤k≤p－1個正整數寫在圓周上，相鄰兩數之積不能構成集合1！，2！，…，p+k！.

因為vp1！·2！·3！…p+k！=k+1，k+1為奇數，故不可能構成完全平方數.

推論3p為質數，k為偶數，能否將p+kp≤k≤2p－1個正整數寫在圓周上，相鄰兩數之積不能構成集合1！，2！，…，p+k！.

評注"通過計算分析，可得vp（1！·2！·3！…（p+k）！）=p+2k－p+1，p+2k－p+1為奇數，故不可能構成完全平方數.

當然，推論3中有一個條件是p≥3，因為p=2時這個結論不一定成立.

通過上面的分析，可以發現，通過改變尋找不同的質數p可以得到不同的解法，通過改變2024這個數值，可以得到不同的數學問題.那么很自然的想法是，如果改編“相鄰兩個數”這個條件，例如改為“相鄰三個數”，這個問題又會是怎么樣的？

問題3能否將2024個正整數寫在圓周上，使得相鄰三數之積恰構成集合1！，2！，…，2024！？

評注"通過整體的角度可以發現1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20243，這時如果可以說明1！·2！·3！…2024！不是完全立方數，那么問題就不會成立.而說明它不是立方數的方法即找到一個質數p，vp1！·2！·3！…2024！不是3的倍數.

發現問題一中解法一和解法二采用的質數677和1009在這里失效了，因為v10091！2！3！…2024！=1023和v6771！2！3！…2024！=2019均為3的倍數.再從公式2024=p·t+q0≤qlt;p的角度出發，令t=1，即p≥1013時， vp1！·2！·3！…2024！=2025－p，2025－p不是3的倍數.故這個范圍內的質數據可以取，例如1907，1913， 2003等； 當t=2時，vp1！·2！·3！…2024！=4050－3p為3的倍數，也就是解法一和解法二中所取的質數不能滿足條件的根本原因；當t≥3時，有興趣的讀者可以進一步分析.

參考文獻

［1］ 蒂圖·安德雷斯庫，加布里埃爾·多斯皮內斯庫，奧列格·馬史卡洛夫著；羅煒譯. 數論：概念和問題［M］. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社， 2021.

基金項目：寧波市效實中學數學資優生選拔與培養模式的研究項目（RH2312005）