高考真題中三角函數ω的取值范圍問題變式歸納

摘要本文對三角函數中ω取值范圍的求法進行了分類討論，并對其變式類型進行了歸納總結.

關鍵詞三角函數；取值范圍；真題變式

眾所周知，三角函數是高考必考的重點內容.根據函數f（x）=sin（ωx+φ）滿足的一些條件求參數ω的取值范圍，這是三角函數中比較典型的一類問題.它能有效地考察學生對三角函數基本性質的掌握程度，因此備受高考命題者的青睞，也多次出現在高考試題和高考備考試題中.在實際教學中，發現此類問題對學生是一難點，學生往往無從入手，或者因不明算理而陷入繁瑣的運算當中，花費大量時間卻不得正解.本文通過一道2022年的高考真題，探究它的幾類常見變式，以期幫助讀者理解、掌握其內在規律及特點.

真題（2022·甲卷）將函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則ω的最小值是（）.

A．16B．14C．13D．12

解析將函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線C，則C對應函數為y=sin（ωx+πω2+π3）.由于C的圖象關于y軸對稱，所以πω2+π3=π2+kπ（k∈Z），即ω=2k+13（k∈Z）.令k＝0，可得ω的最小值是13，故選C．

評注本題是與圖像變換相關的ω的取值范圍問題，解題的關鍵在于抓住題目給的“關于y軸對稱”.

變式類型一與函數單調性有關

變式1設函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（π2，3π4）上單調遞減，則ω的取值范圍是 ．

解析（法一）由π2lt;xlt;34π代入得πω2+π3lt;ωx+π3lt;3πω4+π3，因為y=sinx（x∈R）的單調遞減區為（π2+2kπ，3π2+2kπ）（k∈Z），從而得到πω2+π3≥π2+2kπ，

3πω4+π3≤3π2+2kπ

（k∈Z），解得ω≥13+4k，

ω≤149+83k （k∈Z）.

結合T2≥π4，可得πω≥π4，即0lt;ω≤4. 所以k=0時，ω∈13，149.

（法二）由π2+2kπ≤ωx+π3≤3π2+2kπ，解得π6+2kπ≤ωx≤7π6+2kπ，即π6ω+2kπω≤x≤7π6ω+2kπω.

由于f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（π2，3π4）上單調遞減，可得7π6ω+2kπω≥3π4，

π6ω+2kπω≤π2， 即ω≥13+4k，ω≤149+83k （k∈Z）.結合T2≥π4得πω≥π4，即0lt;ω≤4，所以k=0時，ω∈13，149.

評注本題是與函數單調性相關的ω的取值范圍問題，注意題目給的（π2，3π4）是自變量x的取值范圍，法一是把ωx+π3看作一整體，將x的取值范圍（π2，3π4）代入，便得到整體的范圍.再由y=sinx（x∈R）的單調遞減區間為（π2+2kπ，3π2+2kπ）（k∈Z），及0lt;ω≤4，從而求得ω的取值范圍.法二是先求得函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）的單調遞減區間π6ω+2kπω，7π6ω+2kπω（k∈Z），再由（π2，3π4）π6ω+2kπω，7π6ω+2kπω求得ω的取值范圍.兩種解題思路都是利用區間的包含關系來建立不等式，求得參數的范圍.

變式類型二與函數的零點有關

變式2 若函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（0，π3）上沒有零點，則實數ω的取值范圍是．

解析由0lt;xlt;π3得π3lt;ωx+π3lt;πω3+π3，再結合正弦函數圖像可得πω3+π3≤π，即ω2≤23，所以0lt;ω≤2.

評注本題是與函數零點相關的ω的取值范圍問題，解題的關鍵在于抓住題目給的范圍（0，π3）是自變量x的取值范圍，將它帶入ωx+π3，得到整體ωx+π3的范圍，再結合正弦函數的圖像，對右端進行限制即可.變式3 若函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（0，π3）上僅有1個零點，則實數ω的取值范圍是．

解析由0lt;xlt;π3得π3lt;ωx+π3lt;πω3+π3，結合圖像可得 πω3+π3gt;π，

πω3+π3≤2π， "解得2lt;ω≤5.

評注本題的解題關鍵在于抓住題目中的僅有一個零點，所以右端要在（π，2π］，特別注意兩端的開閉條件.

變式4 若函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（π，2π）沒有零點，則實數ω的取值范圍是 ．

解析由題意可得πlt;xlt;2π，從而πω+π3lt;ωx+π3lt;2πω+π3.又根據函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（π，2π）沒有零點可得T2≥π，即πω≥π，所以0lt;ω≤1.

再結合圖像可得 πω+π3≥kπ，

2πω+π3≤π+kπ （k∈Z）， 即ω≥－13+k，

ω≤13+k2 （k∈Z）， 解得ω∈（0，13］∪［23，56］.

評注本題解題的關鍵在于抓住題目條件，將x的帶入ωx+π3，得到整體ωx+π3的范圍，結合正弦函數的圖像得到保證沒有零點的條件，最后再結合0lt;ω≤1，得到答案.

變式5 函數f（x）=sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π2）的最小正周期為T，若f（T）=12，x=π6為f（x）的零點，則實數ω的最小值為 ．

解析由f（T）=f（2πω）=sin（2π+φ）=12，解得2π+φ=π6+2kπ（k∈Z） 或 2π+φ=5π6+2kπ（k∈Z）.由于0lt;φlt;π2 從而φ=π6，所以f（x）=sin（ωx+π6），又因為x=π6為f（x）的零點，所以結合圖像可得πω6+π6=kπ（k∈Z），進一步解得ω=6k－1（k∈Z ），考慮到ωgt;0，所以ω的最小值為5.

評注利用周期公式、正弦函數圖像及零點的定義得到πω6+π6=kπ，（k∈Z），即ω=6k－1，再由題設中的限制條件得到答案.

變式類型三與函數的值域有關

變式6若對任意a∈R，函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在［a，a+1］上的值域為［－1，1］，則實數ω的取值范圍是．

解析本題是與函數值域相關的ω的取值范圍問題，解題的關鍵在于抓住題目中的“任意”兩個字，再結合正弦函數的圖像，得到f（x）的最小正周期T的最大值為區間長度1，代入三角函數的周期公式便可得到T=2πω≤1，即ω≥2π.

變式7 若存在a∈R，使得函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在a，a+1上的值域為［－1，1］，則實數ω的取值范圍是．

解析本題在上一題的基礎上將“任意”改成“存在”，結合正弦函數的圖像得到當a和a+1分別為相鄰的極值點時，f（x）的最小正周期T取到最大值2，從而得T2=πω≤1， 即ω≥π.

變式8已知函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，π上的值域為［32，1］，則實數ω的取值范圍是．

解析由0≤x≤π得π3≤ωx+π3≤πω+π3，從而函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，π上的值域為［32，1］，結合圖像可得 πω+π3≥π2，

πω+π3≤2π3， "解得ω∈［16，13］.

評注本題是與函數值域相關的ω的取值范圍問題，解題關鍵在于抓住題目給的范圍0，π是自變量x的取值范圍，得到整體ωx+π3的范圍，然后根據值域［32，1］，再對照正弦函數的圖像，得出關于ω的不等式組，從而得到答案.

變式類型四與函數的極值、最值有關

變式9函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，π恰有四個極值點，三個零點，則實數ω的取值范圍是．

解析由0lt;xlt;π得π3lt;ωx+π3lt;πω+π3，因為函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，π上的值域為［32，1］，

結合圖像可得 πω+π3gt;7π2，

πω+π3≤4π， "解得ω∈（196，113］.

評注本題是與函數極值、零點相關的ω的取值范圍問題，本題的解題關鍵在于由0，π得到整體ωx+π3的范圍，然后根據題目要求，對照正弦函數的圖像，得出關于ω的不等式組，從而得到答案.

變式10函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，1至少取得30次最大值，則實數ω的取值范圍是．

解析由0≤x≤1得π3≤ωx+π3≤ω+π3，由于函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，1至少取得30次最大值， 結合圖像可得ω+π3≥117π2，解得ω≥1172π-π3，即ω≥3496π.

評注本題是與函數最值相關的ω的取值范圍問題，解題關鍵在于由0，1得到整體ωx+π3的范圍，然后根據題目要求至少取得30次最大值，再對照正弦函數的圖像及限制條件，再得出答案.

變式11函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，1至多取得20次最小值，則實數ω的取值范圍是 ．

解析由0≤x≤1得π3≤ωx+π3≤ω+π3，因為函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在0，1至多取得20次最小值，結合圖像可得 ω+π3lt;3π2+40π，解得ωlt;247π6，即0lt;ωlt;247π6.

評注本題在上一題的基礎上，將“至少”改成“至多”，將“30次”改成“20次”，特別注意右端ω+π3的限制條件，不是和取到20次最小值對比，而是和取到21次最小值對比，但注意第21次最小值不能取到.因此是“lt;”而不是“≤”.

變式類型五綜合性問題

變式12設函數f（x）=sin（ωx+π3）（ωgt;0）在（π2，3π4）上單調遞減，同時在（π，2π）沒有零點，則ω的取值范圍是．

解析由變式1得ω∈13，149，由變式4得ω∈（0，13］∪［23，56］，綜上可得ω∈［23，56］.

評注本道綜合性變式題實際上就是本文中的變1和變4的結合，根據排列組合相關知識，本文中的11道變式能產生C211+C311+....題綜合性變式題，只是有些數據可能需要微調讓其答案更理想.

以上從一道高考真題出發，對同一個函數的若干類型變式進行探究，綜觀上述變式，我們知道，三角函數的圖像和性質是解決ω的取值范圍問題的基礎，除此之外，還要求我們具備整體思想和化歸意識及熟練應用方程和不等式.