挖掘問題幾何本質，揭秘試題命制背景

摘要本文通過極點極線以及調和點列的幾何性質探究了一類圓錐曲線中的定值問題，并將其推廣至一般地圓錐曲線，揭示了該題的命制背景.

關鍵詞極點極線；調和點列；質點幾何法

圓錐曲線具有非常豐富的幾何性質，但在具體的求解過程中，學生們常常通過解析法進行求解，多數教師也是以解析法進行教學.在某些情況下，應用解析法進行求解時，運算量很大，且不能發現問題所蘊含的命制背景.2024年全國甲卷第20題是一道以橢圓為背景的證明問題.該題的幾何背景豐富，解法多樣.若僅從解析法求解，則很難發現其中的幾何本質.本文通過多角度進行了探究，最終將該模型推廣至一般的圓錐曲線.現將探究過程展示如下，以饗讀者.

一、試題及分析

題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，點M（1，32）在C上，且MF⊥x軸.

（1）求C的方程；（2）如圖1，過點P（4，0）的直線交C于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q.求證：AQ⊥y軸.

分析本題第（1）問的答案為x24+y23=1，過程略；在第（2）問中，涉及到的點、線等幾何要素較多，如何領悟其中的幾何關系，選擇恰當地基本量則成為解決本題的關鍵.其次，本題可通過同一法將原命題進行改編，然后證明其等價命題.現舉例如下：

如圖1，過點P（4，0）的直線交C于A，B兩點，過A作y軸的垂線交直線MF于點Q，求證：直線BQ恒過定點，且該定點為線段FP的中點.

二、解法呈現

視角一"選擇恰當基本量，計算動點軌跡

解法1（以點為基本量求解）設直線l的方程為x=my+4，點A（x1，y1），B（x2，y2）.聯立直線l與橢圓的方程得（3m2+4）y2+24my+36=0.根據韋達定理得y1+y2=－24m3m2+4，y1y2=363m2+4，從而y1+y2=－2m3y1y2.

設直線BN的方程為x=x2－52y2y+52，其與直線MF的交點Q的坐標為（1，－32y2x2－52）.

結論AQ⊥y等價于點A與點Q的縱坐標相等，即有y1=－32y2x2－52，等價于－32y2=（x2－52）y1，結合直線方程等價于－32y2=（my2+32）y1.等價于y1+y2=－2m3y1y2，與上述韋達定理所得方程相同，即可得結論成立.

評注該解法展示了兩個解題技巧，（1）以“y”為主變量，設直線方程為x=my+4，在代入消元的過程中可減少運算量（一般當直線所過的定點位于x軸時采用此方式都更優）；（2）通過研究兩個表達式y1y2與y1+y2間的關系，實現消元的目的，避免了韋達定理的直接代入，簡化了運算過程.

解法2（以斜率為基本量求解）要證AQ⊥y軸，等價于證明直線AQ的斜率k1=0.

可嘗試構造調和點列形成調和線束，利用調和線束的斜率關系進行求解.

如圖2，根據條件易知點P（4，0）與直線FM：x=1是關于橢圓C的一組極點與極線.根據極點與極線的幾何性質可知點P，T，B，A（注意到四點的順序，本質上為點P，T調和分割線段AB）即為一組調和點列，直線束QP，QT，QB，QA即為一組調和線束.設其斜率分別為k4，k3，k2，k1.

又因為點N是PF的中點，得k2=2k4，其中直線QT的斜率不存在，可記為k3=∞，在后續的計算中可利用極限進行運算.

根據調和線束的斜率關系可得（k1+k2）（k3+k4）k1·k2+k3·k4=2［1］，代入條件得k1·k3－3k1·k4=－2k24，即k1=－2k24k3－3k4.根據k3的特殊性得k1=limk3→∞－2k24k3－3k4=0，由此得原問題成立.

評注"該解法探討四個斜率間的關系，發現了試題所蘊含的部分本質，極大地降低了運算量.且發現該問題僅與圓錐曲線的極點極線相關，據此可將該問題拓展至雙曲線與拋物線等其他圓錐曲線，具體的拓展結論可參見后文.

視角二"利用幾何視角，尋找平行關系

通過上述兩種證明方法以及對題干及圖象的理解觀察可發現，問題的本質等價于證明直線AQ//x軸.為此，可將原問題轉化為證明平行關系.

解法3（構建相似三角形，發現平行關系）為了應用該方法，先證明如下結論：如圖3，在ΔPFQ中，設PBBT=mn，且點N是PF的中點，則可得QBBN=2nm－n.

本文選擇向量法進行證明.以QF，QP為基底，利用三點共線的性質可得QB=mm+nQT+nm+n·QP=λmm+nQF+nm+nQP，QN=12QF+12QP.

再由Q，B，N三點共線可得QB=μQN，即λmm+nQF+nm+nQP=μ2QF+μ2QP.根據平面向量的基本定理得λmm+n=μ2，

nm+n=μ2.

從而λ=nm，

μ=2nm+n， 即QBBN=2nm－n成立.

接下來證明ABBP=2nm－n.根據解法2知點P，T，B，A為調和點列，則得PBPA=TBTA.結合條件PBBT=mn，不妨設PB=m，BT=n，AT=x，代入上式即得mm+n+x=nx，即得x=mn+n2m－n.由此得ABBP=n+xm=2nm－n成立.則ΔABQ～ΔPBN，故AQ∥PN，即AQ∥x軸，原命題成立.

評注"該解法中使用的幾何特征主要有兩個，即點N是PF的中點以及一組調和點列P，T，B，A的幾何性質.據此，本文可將該問題拓展至一般圓錐曲線，以及所有的極點極線的結論中.

三、模型推廣

通過上述解法3可知，原問題的核心在于極點極線，而對于圓錐曲線有統一的極點極線定義及性質.筆者通過探究發現，可將原問題拓展至一般的圓錐曲線，以橢圓為例說明如下.

定理1如圖4，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），點P與直線QH是橢圓C的一組極點與極線.過點P作直線與橢圓C交于點A，B.設點H為極線QH上的任意一點，點N為PH的中點，連接NB與極線QH交于點Q，則有AQ//PH.

證明因為點P與直線QH是橢圓C的一組極點與極線，所以點P，T，B，A為調和點列.同上述解法3，設PBBT=mn可得ABBP=2nm－n.

接下來討論QBBN的值，各位讀者可參考上文進行證明，但為了簡化運算，本文質點幾何法［3］證明.如圖5，現給各點賦予一個質量：根據PBBT=mn，可設T的質量為m，P的質量為n；再由點N為PH的中點，可令點H的質量為n.

根據質量守恒，即可得點Q的質量為m－n，點N的質量為2n.考慮線段QN，根據兩端的質量即可得QBBN=2nm－n.

由此即可得ΔABQ～ΔPBN，即可得AQ//PN成立，由此即可知，當H為極線QH上的某個定點時，直線AQ的斜率也為定值，且該定值為PH的斜率.

特別地，當點P位于x軸時，且選擇的點H也位于x軸時，對應的直線AQ的斜率恒為0.原問題中的點P即為橢圓的準線與x軸的交點，點H即為橢圓的右焦點.

接下來，我們將該命題拓展至雙曲線與拋物線.

定理2如圖6，已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），點P與直線QH是雙曲線C的一組極點與極線.過點P作直線與雙曲線C交于點A，B.設點H為極線QH上的任意一點，點N為PH的中點，連接NB與極線QH交于點Q，則有AQ//PH.

定理3如圖7，已知拋物線C：y2=2px（pgt;0），點P與直線QH是拋物線C的一組極點與極線.過點P作直線與拋物線C交于點A，B.設點H為極線QH上的任意一點，點N為PH的中點，連接NB與極線QH交于點Q，則有AQ//PH.

證明過程與具體的曲線方程無關，都與定理1的方法相同，此處略.

參考文獻［1］ 龍宇，王常斌.探究一道模擬試題的命制過程［J］.數學通訊.2023（9）.52-53.

［2］ 龍宇.2017年全國高中數學聯合競賽廣東賽區選拔賽第9題的解法與探源［J］.中學數學研究，（華南師大）2017（11），7-8.

［3］ 龍宇.利用質點系的“重心”求解線段間的比例［J］.中學數學研究（華南師大）.2020（4）.39-40.