貫通算理，統(tǒng)整算法：感悟數(shù)運(yùn)算的一致性

［摘 要］《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性。文章通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法的整理與復(fù)習(xí)，貫通算理，統(tǒng)整算法，建立整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生以整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，感悟數(shù)運(yùn)算的一致性，提升學(xué)生的思維水平。

［關(guān)鍵詞］分?jǐn)?shù)乘法；分?jǐn)?shù)除法；運(yùn)算一致性

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2025）02-0054-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（全文簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，“數(shù)與運(yùn)算”包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算。數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法、厘清數(shù)與運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)。教材是根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序編排的，但編排內(nèi)容以單獨(dú)的模塊為單位，缺乏對(duì)數(shù)與運(yùn)算的統(tǒng)籌。對(duì)此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生搭建聯(lián)系新舊知識(shí)的橋梁，以培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)和運(yùn)算能力。

【課前思考】

對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法整理與復(fù)習(xí)，部分課堂會(huì)存在如下兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：分?jǐn)?shù)乘法的復(fù)習(xí)與分?jǐn)?shù)除法的復(fù)習(xí)彼此孤立，未能建立起分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法之間的聯(lián)系，使學(xué)生缺乏對(duì)分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算的整體認(rèn)知。

問(wèn)題2：學(xué)生雖對(duì)分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法的算法積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，但沒(méi)有構(gòu)建起分?jǐn)?shù)運(yùn)算與整數(shù)、小數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系體系，因而缺乏對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算一致性的認(rèn)識(shí)。此外，小學(xué)生的思維從具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到抽象邏輯為主要形式，若他們?nèi)狈?duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解，就會(huì)在很大程度上限制其解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。

分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法的整理與復(fù)習(xí)要梳理“知識(shí)點(diǎn)”，建立“知識(shí)鏈”，形成“知識(shí)網(wǎng)”，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。

【教學(xué)目標(biāo)】

目標(biāo)1：學(xué)生梳理分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法的算法和算理，理解整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系。體現(xiàn)數(shù)的乘除法運(yùn)算的一致性。

目標(biāo)2：學(xué)生經(jīng)歷交流、討論、分析、歸納等活動(dòng)，建構(gòu)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除運(yùn)算的聯(lián)系，形成乘除法運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展運(yùn)算能力，培養(yǎng)推理意識(shí)。

目標(biāo)3：學(xué)生在結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的整理復(fù)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成理性思辨、樂(lè)于思考的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、回顧算法，建立聯(lián)系

（教師出示[12×5]，[120×15]，[25×13]）

師：對(duì)于這些分?jǐn)?shù)的乘法算式，大家知道怎么算嗎？

生1：[12×5=1×52=52]，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法是分子與整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。

生2：[120×15=120×15=1205=24]，整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法也是同樣的。

生3：[25×13=2×15×3=215]，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法是分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母。

師：觀察這三種類型的分?jǐn)?shù)乘法，它們的計(jì)算方法有什么聯(lián)系？哪一種更具有代表性？

生4：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)更有代表性，因?yàn)檎麛?shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)，所以分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)都可以看作是特殊的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。

師：你的思考很深入，這樣我們就把分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法都統(tǒng)一為分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母。

（教師出示[910÷3]，[2÷15]，[45÷225]）

師：這些分?jǐn)?shù)除法怎么計(jì)算呢？

生5：[910÷3=910×13=310]，[2÷15=2×5=10]，[45÷225=45×252=10]。

生6：將這些計(jì)算過(guò)程匯總，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)更具有代表性，分?jǐn)?shù)除法可以總結(jié)成一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

師：你的總結(jié)太棒了，這個(gè)計(jì)算方法不僅包括了分?jǐn)?shù)除法，還包括了整數(shù)除以整數(shù)的情況。（板書(shū)“甲數(shù)÷乙數(shù)=甲數(shù)×[1乙數(shù)]，乙數(shù)≠0”）

師：通過(guò)上面算式的計(jì)算，你能找到分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法之間的聯(lián)系嗎？

生7：分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法互為逆運(yùn)算。

【思考】引導(dǎo)學(xué)生回顧算式，讓他們統(tǒng)整了不同類型的分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，溝通了分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法知識(shí)之間的聯(lián)系，這凸顯了分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算方法的一致性。學(xué)生只有將頭腦中的“知識(shí)點(diǎn)”形成“知識(shí)鏈”，才能構(gòu)建起分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算的“知識(shí)網(wǎng)”。

二、直觀表征，演繹推理

1.基于分?jǐn)?shù)乘法的意義，直觀表征貫通算理

師：對(duì)于分?jǐn)?shù)乘除法，我們不僅要會(huì)算，還要理解為什么這樣算。課前，我們復(fù)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘除法的算理，接下來(lái)先在小組內(nèi)交流復(fù)習(xí)情況，然后匯報(bào)學(xué)習(xí)成果。

生1：[12×5]就是求5個(gè)[12]相加的和，[12×5=12+12+12+12+12=52]；[15×120]就是求120個(gè)[15]相加的和，[15×120=15+15+15+…+15120個(gè)=1205=24]，但是[25×13]不能說(shuō)成[13]個(gè)[25]相加的和。

師：那分?jǐn)?shù)乘法的意義是什么？

生2：通過(guò)畫(huà)圖，我認(rèn)為[12×5]表示為5的[12]是多少（如圖1-1、圖1-2），[120×15]表示120的[15]是多少（如圖1-3），[25×13]表示[25]的[13]是多少（如圖1-4）。

師：也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)乘法都可以統(tǒng)一表示成一個(gè)數(shù)的幾分之幾。生1、生2分別從分?jǐn)?shù)乘法的兩種意義解釋了算理。誰(shuí)來(lái)解釋如圖1-4所示的分?jǐn)?shù)乘法算理？

生3：[25]是2個(gè)[15]組成的，[13]是1個(gè)[13]組成的，所以[25×13=2×15×1×13=（2×1）×15×13=2×115=215]。

師：大家聽(tīng)明白生3的解釋了嗎？

生4：我聽(tīng)明白了。[15×13]表示分?jǐn)?shù)單位相乘，[2×1]表示對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)相乘。

師：我們從分?jǐn)?shù)單位的角度研究[25×13]，先算[15×13]，就是分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)單位相乘得到新的分?jǐn)?shù)單位[115]，再算[2×1]，實(shí)際上是分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，表示新的分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)，這就是用分子乘分子作分子，分母乘分母作分母計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法的道理。

【思考】根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，結(jié)合直觀表征，提升學(xué)生對(duì)算理的理解，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。要讓學(xué)生貫通算理，一要貫通知識(shí)之間的聯(lián)系，二要貫通知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)。通過(guò)從分?jǐn)?shù)單位的角度研究分?jǐn)?shù)乘法，學(xué)生經(jīng)歷推理的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘法的本質(zhì)是“分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)單位相乘，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相乘”，提升了推理意識(shí)。

2.基于基本規(guī)律，演繹推理貫通算理

師：哪個(gè)小組分享一下分?jǐn)?shù)除法的研究成果？

生1：我們小組認(rèn)為[910÷3]可以表示把9個(gè)[110]平均分成3份，每份是3個(gè)[110]，也就是[310]。（小組展示算式“[910÷3=9÷310=310]”）

生2：我們小組覺(jué)得[910÷3]可以表示把[910]平均分成3份，也就是求[910]的[13]是多少。（小組展示算式“[910÷3=910×13=310]”）

師：生1、生2所在的小組是從除法的意義——平均分，來(lái)理解分?jǐn)?shù)除法的。

生3：我們小組認(rèn)為[2÷15]表示2里面包含多少個(gè)[15]。2就是[105]，[105]里面包含10個(gè)[15]。（小組展示算式“[2÷15=105÷15=10]”）

生4：我們小組覺(jué)得1里面包含5個(gè)[15]，所以2里面包含2×5個(gè)[15]，也就是[2÷15=2×5=10]。

師：生3、生4所在的小組是從除法的意義——包含除，理解分?jǐn)?shù)除法的。那[45÷225]呢？

生5：我們小組根據(jù)商不變的性質(zhì)推理，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘[252]，[45÷225=45×252÷225×252=45×252÷1=45×252÷1=45×252=10]。

生6：我們小組也是用推理的方式，假設(shè)[45÷225=A]，由于除法是乘法的逆運(yùn)算，因此[A×225=45]，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘[252]，得到[A×225×252=45×252]，即[45÷225=45×252=10]。

師：生5、生6所在的小組的同學(xué)推理意識(shí)很強(qiáng)，驗(yàn)證了[45÷225=45×252]的合理性。那我們能不能從分?jǐn)?shù)單位的角度研究[45÷225]呢？

生7：我們小組認(rèn)為[45]也就是[2025]，[2025]里面有20個(gè)[125]，[225]里面有2個(gè)[125]，因?yàn)?0個(gè)[125]里面包含10個(gè)[225]，即[45÷225=2025÷225=10]。

師：生7所在的小組的同學(xué)是先通分，統(tǒng)一被除數(shù)和除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位為[125]，再利用除法的意義——包含除，來(lái)理解這個(gè)過(guò)程，非常好。其實(shí)，類似于分?jǐn)?shù)乘法，從分?jǐn)?shù)單位的角度研究分?jǐn)?shù)除法還可以這樣推理，大家看看下面的算式，然后解釋每一步為什么這樣推理？

師（出示[45÷225=45×252=4×15×25×12=4×12×25×15=（4÷2）×15÷125]）：仔細(xì)觀察，[15÷125]表示什么意思？

生8：[15÷125]是分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)單位相除。

師：算式中的4÷2表示什么意思？

生9：4÷2是分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相除。

師：我們從分?jǐn)?shù)單位的角度研究了分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算，對(duì)比來(lái)看，分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算在本質(zhì)上有什么聯(lián)系？

生10：分?jǐn)?shù)乘法是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位相乘，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相乘。分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位相除，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相除。

【思考】引導(dǎo)學(xué)生從除法的意義的角度理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理，這種方法缺乏一般性，只適用于解釋某些特殊分?jǐn)?shù)除法的例子。為了讓學(xué)生理解一般的分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算理，根據(jù)商不變的性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)，利用演繹推理的方法，推導(dǎo)出更為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算原理。此過(guò)程基于等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法的本質(zhì)是“分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位相除，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相除”，進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算的本質(zhì)。

三、貫通算理，統(tǒng)整算法

師：你能自己舉例說(shuō)明整數(shù)乘法、小數(shù)乘法也是計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算嗎？

生1：以整數(shù)乘法為例，35×2=（30+5）×2=30×2+5×2=（3×2）×（10×1）+（5×2）×（1×1）=60+10=70。利用乘法分配律將每個(gè)數(shù)基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解；利用乘法交換律和乘法結(jié)合律將計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，然后將兩部分相加。

生2：以小數(shù)乘法為例，0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06。可以發(fā)現(xiàn)0.1×0.1是計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位得到新的計(jì)數(shù)單位0.01，2×3是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

生3：以一位小數(shù)乘兩位小數(shù)為例，0.2 × 0.34 =0.2 ×（0.3 + 0.04）= 0.2 × 0.3 + 0.2 × 0.04 =（2×3）×（0.1×0.1）+（2×4）×（0.1×0.01）=0.06+0.008=0.068。

師：這說(shuō)明小數(shù)乘法的算理也是“計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘”。那整數(shù)除法、小數(shù)除法也有類似的結(jié)論嗎？

生4：以整數(shù)除法為例，468÷4=（4×100+4×10+28×1）÷4=（4÷4）×（100÷1）+（4÷4）×（10÷1）+（28÷4）×（1÷1）=100+10+7=117。

生5：以小數(shù)除法為例，9.6÷0.3可以根據(jù)商不變的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法96÷3；也可以轉(zhuǎn)化成（9×1+6×0.1）÷（3×0.1）=（9÷3）×（1÷0.1）+（6÷3）×（0.1÷0.1）=3×10+2×1=32。

【思考】本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的角度探索整數(shù)乘除運(yùn)算和小數(shù)乘除運(yùn)算的算理，通過(guò)將分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算的算理遷移運(yùn)用到整數(shù)和小數(shù)乘除運(yùn)算，感悟數(shù)的乘除運(yùn)算均基于計(jì)數(shù)單位，從而體會(huì)到數(shù)的運(yùn)算的一致性。可見(jiàn)，通過(guò)貫通算理，統(tǒng)整算法，能讓學(xué)生理解算理是算法的因，算法是算理的果。

【課后研思】

一、建立聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)

本節(jié)課通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧分?jǐn)?shù)的乘除法，即從分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算的意義以及分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算算理的推導(dǎo)過(guò)程等多方面建立了分?jǐn)?shù)乘除法的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算互為逆運(yùn)算，所有的分?jǐn)?shù)除法都可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算。從計(jì)數(shù)單位的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的算理都是計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算以及計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算。這樣的教學(xué)活動(dòng)在分?jǐn)?shù)乘法和除法之間架起了一座橋梁，有助于學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)乘、除法的知識(shí)體系。

二、基于計(jì)數(shù)單位，理解乘除運(yùn)算的本質(zhì)

乘法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘。除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生先從計(jì)數(shù)單位的角度思考分?jǐn)?shù)乘法的算理，然后研究分?jǐn)?shù)除法中是否存在類似的算理，最后遷移推廣到整數(shù)乘法和小數(shù)乘法，以此助力學(xué)生貫通算理，統(tǒng)整算法。整堂課將數(shù)的意義與數(shù)的運(yùn)算貫通，助力了學(xué)生理解乘除運(yùn)算的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)融會(huì)貫通的復(fù)習(xí)效果。

三、指向核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)思維水平

探討分?jǐn)?shù)、整數(shù)與小數(shù)乘除運(yùn)算的一致性，需從計(jì)數(shù)單位的角度進(jìn)行分析。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生以聯(lián)系的視角審視數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)算律和等式的基本性質(zhì)，助力算理推演與算法推導(dǎo)，提升運(yùn)算能力與推理意識(shí)。通過(guò)感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性，學(xué)生形成了整體性、聯(lián)系性與發(fā)展性的思維方式，從而培養(yǎng)了理性思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，并增強(qiáng)了應(yīng)用意識(shí)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性[J].課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

[3] 鞏子坤，張希，金晶，等.程序性知識(shí)課程設(shè)計(jì)的新視角：算理貫通，算法統(tǒng)整[J].課程·教材·教法，2021，41（6）：89-95.

【本文系2024年度山東省青少年教育科學(xué)研究院“雙減”研究課題《“雙減”背景下小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐》（編號(hào)：2024SJY10001）的階段性研究成果。】

（責(zé)編 梁桂廣）