數的認識及數的運算一致性的思考

［摘 要］《課程標準》將數的認識和數的運算兩個方面的內容統整在“數與運算”這一領域中，并指出要讓學生經歷由數量到數的形成過程，感悟數的認識、數的運算以及四則運算之間的關系，進而感悟數的運算本質上的一致性。文章先從整體分析四則運算的本質及關系，讓學生感悟數的概念的一致性，再探討整數、小數和分數是如何實現運算的一致性的，使學生經歷從現實世界到符號世界的數學化的過程，發展學生的核心素養。

［關鍵詞］四則運算；運算一致性；數與代數

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）02-0051-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（全文簡稱《課程標準》）描述的數的運算一致性體現為，數的認識的一致性及數的運算的一致性。數的認識是運算的基礎，通過數的運算，學生能更好地認識數。四則運算本質上是計數單位多少的表達，加法和乘法是計數單位個數的累加，減法和除法是計數單位個數的細分。然而，整數、小數、分數數域不同，三者有各自的運算法則，其一致性不能很好地體現。考慮不同年齡段學生的認知發展水平的差異，涉及數的認識及運算的內容要求在教材中的分布如下（見表1）。然而，這樣的分布使得學生難以從整體上感受數的運算的一致性。為打破這種隔閡，筆者設計了“四則運算”復習課，并結合課例探討了數的認識及數的運算一致性教學方法。

一、數的認識及數的運算一致性的基本要求

（一）結合真實情境，感悟數的本質

在教授數的概念時，教師應引導學生結合生活實例，明確各種數的本質。整數是對具體數量的抽象，分數表示兩個量之間的關系，小數則表示更為精確的數量。雖然各種數所表示的意義不同，但數的表達形式都是計數單位的表達（有多少個計數單位），表達內容也相同（多個計數單位的累加）。

（二）溝通算法、算理、算律，掌握運算技能

數的運算需要明確三個概念：算理、算法和算律。學生先理解算法，然后歸納出算理，最后總結出算律。因此，數的運算的基本原則就是“算律決定算理，算理決定算法”。根據這個原則，不難發現，整數、小數、分數的四則運算都是存在一致性的。

（三）逐步抽象，體會“數學化”的過程

基于《課程標準》提出的“三會”核心素養的指導原則，課程性質這樣描述數學：數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律。因此，在數學課堂教學中，教師應注重引導學生將數逐步抽象，培養學生運用數學思維的能力，從而實現對現實世界進行數學化的思考。

二、分析數的本質意義，溝通加、減、乘、除法的關系

根據學生對加法、減法、乘法和除法的認識，筆者于課前提出2個問題讓學生結合現實生活和數的實際意義來表述。

問題1：什么是加法、減法、乘法、除法？

問題2：在什么情況下使用加法、減法、乘法、除法？

【加法和減法互逆、乘法和除法互逆教學】

加法是把若干個部分合并為一個整體（如A+B=C）；減法是從整體中分離出一部分，得到另一部分（如C-B=A）。因此，加法和減法構成了互逆關系。教師可以應用類似的方法，引導學生感悟乘法和除法的互逆性：既然若干個相同的部分能夠組成一個整體（乘法），那反過來，從一個整體里逐個分離出若干個相同的部分，這個過程就是除法。

【加法和乘法的關系教學】

加法是將若干個部分合起來變成一個整體；乘法表面上是若干個數相乘，但實際上乘法也是加法的一種表達形式。加法與乘法之間的聯系在于，它們均表達了將若干個部分整合為一個整體的概念。只不過把若干個相同的部分合起來，既可以用加法，也可以用乘法，且乘法是加法的簡便運算。

例如，筆者結合現實情境，給學生創設分糖的故事，激發學生的學習興趣和學習熱情，并引導學生用規范、簡潔的語言，包括符號、圖形等表示相關的數量關系（如圖1），以便學生理解乘法與加法之間的關系。

【減法和除法的關系教學】

減法和除法都表示從一個整體中分出若干個部分。教學時，教師引導學生探究“為什么有了減法還要有除法”，學生會發現減法是一份一份去掉，而除法是將其合起來一起去掉，除法比減法更加簡便（如圖2）。

加法、減法、乘法、除法之間的關系：加法、減法互為逆運算，乘法、除法互為逆運算；乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。只有從數學化的角度深刻地剖析四則運算，才能溝通數的運算的一致性，體現數的運算的本質意義。

三、明理得法，實現數的運算的一致性

數的認識與數的運算的一致性都是以計數單位為基礎，數的認識的一致性是從計數單位的角度審視數的構成，建立自然數、分數、小數之間的抽象聯系，從中抽象出的計數單位是認識自然數、分數、小數共同的基礎。在進行整數、小數、分數的加法、減法、乘法、除法運算時，首先需要統一計數單位，然后對相同計數單位上的個數進行對應的運算，這個過程實則是對計算單位個數的分與合。在探究過程中，教師應引導學生理解數的算理、算法的一致性，溝通各種數之間的聯系，以實現有效遷移。然而這要求學生具備較強的抽象概括能力，對此，筆者將這一內容放在六年級下學期期末復習階段，進一步培養學生的模型意識和推理意識。

（一）加法、減法運算的一致性

筆者以整數加法、減法中的豎式計算為橋梁，讓學生在計算過程中探究數位對齊的必要性。從低位算起，目的是引發學生對計數單位的思考：在進行加法、減法運算時，實際上是在相同計數單位上進行個數的加、減。對于小數、分數的加法、減法，可以讓學生從統一計數單位的角度探索運算的一致性。整數加法、減法中，末尾對齊；小數加法、減法中，小數點對齊；分數加法、減法中，異分母分數先通分，再計算。這樣做都是為了統一計數單位，即只有當計數單位相同時，才能直接進行加、減運算。

（二）乘法、除法運算的一致性

在探究新知以及復習鞏固的教學中，教師不妨引導學生從數的運算一致性的角度去分析，便于學生在思考時有一個抓手。乘法與除法的算理較為復雜，可分開教學。

1.乘法運算的一致性

在整數乘法的豎式計算教學中，教師應引導學生分析計算的過程：用第二個乘數的個位上的數依次與第一個乘數各個數位上的數相乘，乘得的數寫在相應的數位上，求得幾個一；用第二個乘數的十位上的數依次乘第一個乘數各個數位上的數，乘得的數寫在相應的數位上，求得幾個十，以此類推。通過分析，學生能理解乘法計算與計數單位之間的關系：乘數的哪一位參與乘法運算，其結果就與該位對齊，表示乘得的相應計數單位的數量。最后，將相同計數單位上的數值進行累加，從而得出乘積。

豎式表示算法，橫式表示算理，教師要讓學生在理解乘法意義的基礎上去探索算理。如對于整數乘法算式20×6，直觀分析可得2個十乘6得12個十，即120。教師不妨在此基礎上引導學生利用乘法交換律和乘法結合律作進一步理解：20×6=（2×10）×（6×1）=（2×6）×（10×1）=12×10=120。

在整數乘法的基礎上可以類比得出分數乘法的算法。分數乘法的算法為分母相乘得到新分母，分子相乘得到新分子。那分數乘法是如何統一計數單位的呢？以[34×12]為例，把一塊餅平均分成4份，取其中的3份，再把這3份平均分成2份，取其中的1份，這一過程就是求[34中的12]是多少。通過畫圖，出現了新的分數單位[18]，這個新的分數單位就是分母乘分母得來的，而分子乘分子就是在算新的計數單位的個數。

在探究小數乘法時，就可以借用探究整數、分數乘法的經驗，實現正向遷移。在這個過程中，變化的是乘數的小數位數。乘數變成小數，其計數單位就發生了相應的變化。因此，只要用乘數的小數位數來確定積的小數位數，并在計算最后點上小數點，就能得到表示得數的計數單位。如0.5×0.03=（5×0.1）×（3×0.01）=（5×3）×（0.1×0.01）=15×0.001=0.015。

可見，無論是整數、小數還是分數的乘法運算，均需先明確計數單位，再將計數單位的數量相乘。

2.除法運算的一致性

除法的一致性體現在相同計數單位的個數相除。整數、小數、分數除法的關鍵就是要在相同計數單位的基礎上進行“包含除”或者“平均分”的運算。學生對整數除法進行理解相對容易，然而，當除法運算拓展至小數、分數時，學生理解起來難度顯著增加。對此，筆者利用“商不變”原理設計題組，讓學生在對比練習中強化理解。

①12÷4，12表示12個一，4表示4個一，12÷4表示12里包含多少個4，也可以說把12個一平均分成4份，每份是3個一。

②120÷40，可以看作120個一除以40個一來算，也可以看作12個十除以4個十來算。

③1200÷400，可以看作12個百除以4個百來算。

上述三道整數除法算式的被除數和除數的計數單位相同，所以都可以轉化成12÷4來算。那小數除法呢？如12÷0.4，12表示12個一，而0.4表示4個0.1，被除數和除數的計數單位不同，所以要想辦法把它們變得相同。變成120個0.1除以4個0.1，即120÷4=30，如此就統一了計數單位，這也是要把小數除法變成整數除法算的原因。

基于以上的認識，可以繼續讓學生分析小數除法。

474÷232=2……10，4.74÷2.32=（" " "）……（" " "）。

474個0.01除以232個0.01，計數單位相同，所以可以轉化成474÷232來算，商是2，余數不再是10，而是10個0.01，即0.1。

整數和小數都是以十進制計數法為基礎，而分數的計數方法則是基于沒有明確倍數關系的“分數單位”構建的。如[34÷12]，可以表示為[34]里有幾個[12]。通過通分，將[34÷12]變成[34÷24]，計數單位就相同了，計算時只需要將分子相除，3÷2求得[32]，分數的分子相除就是將計數單位的個數相除。在實際教學中，通過看圖、舉例歸納出分數除法的經驗——除以一個數，等于乘上這個數的倒數。這其實也是從“除法是乘法的逆運算”中得來的，是一個數學化的思考過程。

可見，無論是整數、小數還是分數的除法運算，其核心皆在于統一計數單位，并在此基礎上均分計算單位的個數。

綜上所述，本次復習課的內容多，實際教學時要分課時來開展。第一節課，結合實際情況，讓學生感受加、減、乘、除的意義及其相互關系；第二節課，探究加法、減法運算的一致性，并做相應總結；第三節課，探究乘法、除法運算的一致性，并做相應總結，讓學生體會四則運算的一致性，即先統一計數單位，再計算計數單位的分與合。這三個課時的復習需要教師把握教材相關知識的結構，以整體視角去研究知識點之間的聯系，從而進行單元整體教學，幫助學生理解并感受數的認識的一致性和數的運算的一致性，提升其綜合素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王平，任建波.依托主題大概念" 建構單元大整體：“分數與整數相乘”教學實踐與思考[J].小學教學參考，2023（23）：6-8，12.

[2] 史寧中.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養[J].教師教育學報，2022，9（3）：92-96.

[3] 岳增成，林永偉.基于數學史的運算一致性教學的思考[J].教學月刊小學版（數學），2023（10）：12-16.

[4] 翟雪皎.踐行新課標" 凸顯一致性：以“分數乘除法”一課為例[J].小學教學研究，2023（26）：47-49.

（責編 覃小慧）