考慮最小尺寸約束的內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化設計
2025-03-10 00:00:00劉敏盧飛揚占金青吳劍朱本亮
中國機械工程 2025年2期
摘要：為了使柔順機構構型與壓電驅動分布同時達到最優，并滿足工藝制造要求，提出考慮最小尺寸約束的內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化設計方法。采用獨立點密度插值模型描述主體結構的材料分布，利用水平集函數表征任意形狀的內嵌可移動壓電驅動器，通過結構指示函數識別實體和空相材料，采用濾波閾值技術控制主體結構的最小尺寸。同時建立非重疊約束以保證壓電驅動器在優化過程中不與設計域邊界發生重疊，并以柔順機構的輸出位移最大化為目標函數，建立獨立點密度插值水平集聯合拓撲優化模型，利用移動漸近線法求解拓撲優化問題。數值算例證明所提方法可以有效地同時優化主體結構和壓電驅動器的位置分布，并滿足最小尺寸要求。
關鍵詞：柔順機構；拓撲優化；壓電驅動；最小尺寸約束；可移動組件
中圖分類號：TG156
Topology Optimization of Compliant Mechanisms with Embedded Movable Piezoelectric Actuator Considering Minimum Length Constraints
LIU Min1，2 LU Feiyang1 ZHAN Jinqing1，2* WU Jian1 ZHU Benliang3
1.School of Mechanotronics and Vehicle Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang，330013
2.Key Laboratory of Conveyance and Equipment of Ministry of Education，East China JiaotongUniversity，Nanchang，330013
3.Guangdong Provincial Key Laboratory of Precision Equipment and Manufacturing Technique，South China University of Technology，Guangzhou，510641
Abstract： In order to optimize the configuration of the compliant mechanisms and the distribution of the piezoelectric actuators simultaneously and meet the manufacturing requirements， a topology optimization design method of the compliant mechanisms was proposed with embedded movable piezoelectric actuators considering the minimum length constraints. The independent point density interpolation model was used to describe the material distribution of the main structure， the level set function was used to characterize the embedded movable piezoelectric actuator of any shape， the structure indicator function was used to identify the solid and empty phase materials， and the filtering threshold technology was used to control the minimum length of the main structure. At the same time， non-overlapping constraints were established to ensure that the piezoelectric actuator did not overlap with the boundary of the design domains during the optimization processes. Maximizing the output displacement of the compliant mechanisms was used as the objective function， and a hybrid topological description model of independent point density interpolation and level set method was established. The method of moving asymptote（MMA） approach was used to solve topology optimization problems. Numerical examples demonstrate that the proposed method may effectively simultaneously optimize the main structure and the position distribution of the piezoelectric actuators， and meet the minimum length requirements.
Key words： compliant mechanism； topology optimization； piezoelectric actuator； minimum length constraint； movable component
0 引言
柔順機構是一種通過自身材料的彈性形變來進行力的傳遞或能量交換的新型機構，具有高精度、無摩擦磨損、無需潤滑、無滯后、易于加工且幾乎無需組裝等優點［1-2］，在微納操作、微機電系統和精密定位等領域得到廣泛應用［3-5］。柔順機構的設計方法主要有基于運動學方法和拓撲優化方法［6］。在設計柔順機構時，采用拓撲優化方法可以獲得機構的最優構型，提高機構的性能和穩定性。近年來，研究人員對柔順機構的拓撲優化設計進行了大量的研究［7-9］。EMMENDOERFER等［10］基于應力約束的水平集方法設計了柔順機構，避免了柔順機構產生類鉸鏈。許潔等［11］采用等幾何拓撲優化方法設計的柔順機構的輪廓具有較好的光滑性和連續性。何健等［12］基于雙向漸進結構優化法，提出一種面向柔順機構的拓撲優化設計策略，通過調節加權系數能有效避免類鉸鏈的產生。
在工程應用中往往需要預留相應空間安裝某些特殊功能模塊（如驅動器、電容器、傳感器等）。為了更好地實現組件在主體結構上的布局優化，需要對多組件系統進行一體化拓撲優化設計［13］。ZHU等［14］提出了一種新的集成布局優化方法，將可移動組件嵌入設計域中與結構優化同步進行，并采用有限元方法避免組件重疊。XIA等［15］提出的超級單元公式（superelement formulation， SEF）方法極大地簡化了組件位置變化設計變量的靈敏度分析。WANG等［16］采用KS函數描述內嵌幾何組件和孔洞的幾何形狀，實現了可移動組件和內嵌孔洞的同時優化。
柔順機構通常利用壓電材料作為驅動，以獲得精密的運動，也可以看作一個多組件系統。然而，在傳統的柔順機構拓撲優化設計中，并未考慮實際的驅動，僅僅是將驅動模擬為一個固定的集中力。為了提高基于壓電驅動的柔順機構的性能，研究人員采用上述多組件系統一體化拓撲優化方法對柔順機構進行設計。YANG等［17］以壓電驅動的位置、電壓、機構本體的偽密度作為三種設計變量，提出了壓電片驅動的層壓復合柔順結構的拓撲優化方法，提高了整體變形精度。WANG等［18］采用水平集函數描述壓電驅動的邊界，用點密度插值法描述機構本體的拓撲，提出了壓電驅動與柔順機構本體構型同時優化的設計方法，提高了系統的全局驅動性能。WANG等［19］基于投影變換的移動可變形組件法與參數化水平集法相結合的混合拓撲優化方法設計了壓電驅動嵌入式柔順機構。
柔順機構拓撲優化設計容易出現類鉸鏈現象，使得后續的加工難以實現，因此，有學者提出了采用單元節點密度插值的方法，通過控制影響域大小來實現尺寸約束。WANG等［20］提出了一種基于節點設計變量的自適應方法，提高了結構邊界描述質量。KANG等［21］提出了一種基于節點設計設計變量點非本地密度插值策略，設計變量點可不與單元節點重合，可避免棋盤格現象及孤島效應。GUEST等［22］提出Heaviside投影法，以節點密度值作為設計變量，利用投影算子將密度場的節點值投影到單元空間，通過確定用于剛度插值的單元密度控制結構最小尺寸。ZHOU等［23］提出了幾何約束的最小尺寸控制方法，結合過濾閾值拓撲優化技術，通過識別固相和空相材料實現了結構最小尺寸控制。但上述研究均只考慮單一固相材料的尺寸控制，實現內嵌壓電驅動的多相材料分布尺寸控制還未見報道。
本文提出一種考慮尺寸約束的內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化設計方法。采用獨立點密度插值方法［18］及水平集方法混合拓撲描述模型來表征壓電驅動器在優化過程中位置和角度。最小尺寸則采用濾波閾值方法進行控制，通過構建結構指示函數保證設計域內任一點都能滿足相應材料區域的最小尺寸約束。以固相材料和空相的最小尺寸、各壓電組件之間互不重疊以及不與設計域邊界發生干涉作為約束條件，將柔順機構的輸出端位移最大化作為目標函數，建立拓撲優化數學模型，使用移動漸近優化算法對優化模型進行求解，利用多個數值算例驗證所提方法的有效性。
1 內嵌壓電驅動的拓撲優化
1.1 壓電驅動器的拓撲描述
圖1所示為采用水平集表示的矩形壓電驅動器（藍色矩形表示壓電驅動器），其形狀邊界由水平集函數來定義表示：
Φ（x）gt;0，x∈Ω
Φ（x）=0，x∈Γ
Φ（x）lt;0，x∈D/（Ω∪Γ）（1）
式中：Ω=∪NPi=1為所有壓電驅動器在設計域內所占的總區域；NP為所有壓電驅動器的數量；Ωi為第i個壓電驅動器所占的區域大小；Γ=∪NPi=1為所有壓電驅動器在設計域內的邊界總和；Γi為第i個壓電驅動器的邊界大小；D為設計域的區域。
水平集方法的使用可以保證壓電驅動器的邊界在演化過程中的準確和光滑表示，精確地捕捉壓電驅動器在設計域內的邊界移動。由此也可以擴展到表示任意復雜邊界形狀的壓電驅動器。
對水平集函數Φ（x）引入虛擬時間t，Φ（x，t）表示某一固定時刻t的水平集函數分布。計算水平集函數對時間t的微分，通過求解一階偏微分Hamilton-Jacobi方程得到運動邊界的演化過程：
Φ（x，t）t－vn|Φ|=0（2）
式中：vn為法向速度，vn=v·n；v為壓電驅動器的邊界上各點的運動速度；n=－Φ/|Φ|為壓電驅動器的邊界上各點的外法線方向。
對式（2）采用迎風格式進行求解。為了保持驅動器的邊界精確穩定，采用三階基本無振蕩（essentially non-oscillatory，ENO）近似格式。求解式（2）時，應小心處理Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）條件，以確保時間步長足夠小，達到數值穩定性。
水平集函數通常被選為符號距離函數，即從每個計算點到壓電驅動器邊界的最短距離。為了保持水平集函數的形狀及有符號距離行為，通常需要通過求解下式來進行重新初始化：
Φt+sgn（Φ0）（|Φ|－1）=0
Φ（x，t=0）=Φ0（x）（3）
式中：Φ0為初始化前的水平集函數。
1.2 主體結構拓撲描述
采用非局部Shepard密度插值方法來描述承載壓電驅動器的主體結構。該方案可以避免點密度插值方法遇到的密度負值現象，同時得到具有嚴格物理意義上的密度場分布，即每一點均滿足［0-1］界限性。在設計域內，所有單元節點的密度設計變量總數為N。其中任意一點x的密度值為
ρ（x）=∑i∈SxΘi（x）ρi（4）
Θi（x）=d（x－xi）∑j∈Sxd（x－xj）（5）
其中，ρi（i=1，2，…，N）為設計變量點的密度，d（x－xi）=‖x－xi‖2；集合Sx為點x影響域內的所有設計變量點。點x的影響域是以x點為圓心、截斷半徑為Rx的圓形域，如圖2所示。
1.3 混合拓撲描述
結合上述壓電驅動器的水平集描述模型和主體結構的描述模型，可以得到壓電材料和主體結構固相及空相的三相材料混合拓撲描述模型。設計域內任意一點x的材料彈性矩陣可表示為
D（x）=H（Φ）DP+（1－H（Φ））DH（6）
其中，H（·）為Heaviside函數；DP為壓電驅動器的彈性剛度矩陣；DH為主體承載結構的彈性剛度矩陣，與點x處的密度有關，表示為
DH=［ρ（x）］pD0（7）
式中：D0為主體承載結構固相材料的剛度矩陣；p為懲罰因子，p=3。
2 拓撲優化問題描述
2.1 壓電驅動有限元分析
在線彈性變形的假設下，壓電材料的本構方程表示為
σ=D∶ε－e·E
d=e∶ε+κ·E（8）
式中：σ、ε分別為結構的應力和應變張量；e、E、d和κ分別為壓電張量、電場強度向量、電位移向量和介電常數張量。
其中，E與電勢場φ的梯度有關，E=－φ。
為提高壓電驅動器邊界區域單元位移場的計算精度，采用擴展有限元方法（extended finite element method，X-FEM）對結構的局部區域進行加強處理。在X-FEM框架下，位移場插值表示為
uh（x）=∑i∈MNiui+∑i∈MenNiΨai（9）
Ψ（x）=∑i∈MenNi（x）|Φi|－|∑i∈MenNi（x）Φi|（10）
式中：Ni為標準有限元形函數；ui為標準單元節點位移；ai為增強節點上的增強自由度；M、Men為所有節點和增強節點的集合；Ψ為增強函數。
對于壓電材料，邊界與空相之間的位移插值形式表示為
uh（x）=∑i∈jNi（x）H（Φ（x））ui（11）
通過有限元離散，力電耦合平衡方程可以表示為
KuuKuφKφuKφφ Uφ = FQ （12）
Kuφ=KTφu
式中：Kuu、Kuφ、Kφφ分別為力學剛度矩陣、電力耦合矩陣和介電矩陣；U為節點位移向量（包含所有的節點位移ui和增強自由度ai）；矢量φ為節點電勢自由度；F、Q分別為施加的節點載荷和電荷向量。
假設在設計域厚度方向上施加均勻常數電場，如圖3所示。電勢沿厚度方向線性變化，因此壓電驅動器內任一點的電場強度可以表示為E=（0，0，v（e）/d）T，v（e）表示外界施加的電壓，d表示壓電驅動器的厚度。此時，壓電驅動器只在主體承載結構施加面內載荷，發生面內形變。
在外加電壓作用下， 力電耦合可解耦為力學問題。因此，平衡方程可表示為
KuuU=FP+F（13）
式中：FP為壓電驅動器在外加電壓下產生的壓電載荷；F為主體承載結構外部施加的載荷。
對于沒有進行增強的標準單元，其剛度矩陣可表示為
（Kuu）e=∫Ωe（Bstdu）TD（x）BstdudΩ（14）
e∈J＼Jen
式中：Bstdu為標準單元的位移應變矩陣；D為固相彈性材料的彈性矩陣；J為所有單元的集合；Jen為所有增強單元的集合。
式（13）中的壓電載荷可表示為
（FP）e=－（Kuu）eφe=（∫Ωe（Bstdu）TeTPH（Ψ）dΩ）Ee（15）
e∈J＼Jen
式中：eP為壓電矩陣。
增強單元e（e∈J）的單元剛度矩陣表示為
（Kuu）e= Kssuu Kseuu
Kesuu Keeuu （16）
（Kssuu）e=∫Ωe（Bstdu）TD（x）BstdudΩ
（Kseuu）e=∫Ωe（Bstdu）TD（x）BenudΩ=（Kesuu）e
（Keeuu）e=∫Ωe（Bstdu）TD（x）BenudΩ（17）
式中：Benu為增強單元的位移應變矩陣。
壓電載荷向量表示為
（FP）e=［FstdP|FenP］（18）
（FstdP）=（∫Ωe（Bstdu）TeTPH（Ψ）dΩ）Ee
（FenP）=（∫Ωe（Benu）TeTPH（Ψ）dΩ）Ee（19）
2.2 幾何約束
在本文中，柔順機構的最小尺寸控制主要通過濾波閾值拓撲方法實現。利用設計變量ρ（0≤ρ≤1），濾波設計變量ρ～和投影設計變量ρ-作為基本計算框架，在η∈（ηd，ηe）（0lt;ηdlt;ηilt;ηelt;1）范圍內的所有投影密度ρ-ηi具有相同的拓撲構型。
密度過濾通過相鄰設計變量點的密度ρi的加權平均，獲得過濾后的節點密度ρ～：
ρ～i=∑j∈Ziωj（xj）vjρj∑j∈Ziωj（xj）vj（20）
其中，Ζi為單元節點i的距離不超過最小過濾半徑Rmin的所有節點集合；xj為單元節點j的坐標；ωj（xj）為權重函數，可表示為
ωj（xj）=1－|xi－xj|Rmin" |xi－xj|≤Rmin
0其他（21）
式中：xi為單元節點i的坐標。
然后，采用Heaviside映射函數對過濾的單元節點密度場進行映射，獲得其真實物理點密度ρ-i：
ρ-i=tanh（βηi）+tanh（β（ρ～i－ηi））tanh（βηi）+tanh（β（1－ηi））（22）
式中：ηi為閾值，取0.5；β為控制近似Heaviside映射函數近似程度的參數。
而主體承載結構及空相若要實現最小尺寸控制，則需要滿足以下充分條件：
ρ～（x）≥ηe
x∈Ω1={x|ρ-ηi（x）=1 amp; ρ～=0} （23）
ρ～（x）≤ηd
x∈Ω2={x|ρ-ηi（x）=0 amp; ρ～=0} （24）
式中：Ω1為過濾密度ρ～i的固相閾值范圍；Ω2為過濾密度ρ～i的空相閾值范圍；ηe、ηd為閾值，分別取0.95和0.05；ρ～為過濾密度ρ～i的空間梯度。
固相拐點域Ω1和空相拐點域Ω2采用兩種結構指示函數來表示：
Is=ρ-·exp（－c‖ρ～‖2）（25）
Iv=（1－ρ-）·exp（－c‖ρ～‖2）（26）
式中：上標s和v分別表示固相和空相。
式（25）和式（26）中的指數項在ρ～=0時分別表明過濾場密度中的固相拐點域和空相拐點域，即當Is=1時，表明設計變量點位于固相材料區域Ω1的內部，當Is=0時，表明設計變量點位于固相材料區域Ω1的外部。空相材料區域的指示函數Iv具有相同的規律。c為控制結構指示函數值在ρ～≠0處衰減速率的參數，取值范圍為0～1。當c取1時，所有物理密度場的固相區域將被識別為固相拐點區域，這將擴大式（23）和式（24）所表示的固相和空相拐點區域，使得最小尺寸約束過于嚴格；當c取值為非常接近0的很小數時，Is和Iv表示的區域Ω1和Ω2將比期望的區域更小甚至斷開，這可能會導致最小尺寸控制的失效。本文c取（Rmin）4，能夠準確識別式（23）和式（24）所表示的固相和空相拐點區域。
基于式（25）和式（26）所表示的兩個結構指示函數，為滿足式（23）和式（24）提出的滿足最小尺寸控制的兩個充分條件，提出關于固相和空相的兩個幾何約束：
gs=1n∑i∈NiIsi·（min（（ρ～i－ηe），0））2=0（27）
gv=1n∑i∈NiIsi·（min（（ηd－ρ～i），0））2=0（28）
式中：n為Zi集合內的元素個數。
滿足以上兩個幾何約束條件，過濾密度大于閾值ηe的設計變量點位于拐點區域Ω1內，過濾密度小于閾值ηd的設計變量點位于拐點區域Ω2內，進而實現固相和空相材料的最小尺寸控制。
但是，在實際應用中由于非拐點區域的指示函數Is和Iv存在無限接近零而非零值，導致幾何約束函數gs和gv也為非零值，不能嚴格滿足幾何約束等式，所以需要對幾何約束gs和gv進行松弛處理：
gs≤τ（29）
gv≤τ（30）
式中：τ為一個極小正值來彌補數值誤差。
2.3 拓撲優化數學模型
圖4是內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化設計域示意圖，D表示設計域，ΓD表示設計域的固定邊界，Γ表示壓電驅動器的邊界，在壓電驅動器上施加恒定電壓Uin，在輸出端產生期望的輸出位移uout，采用輸出虛擬彈簧Kout來模擬工件剛度。
在恒定電壓作用下，以柔順機構上指定點的輸出位移最大化為目標函數，以機構的體積比、非重疊約束、主體結構固相和空相的最小尺寸作為約束條件，建立考慮尺寸約束的內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化模型：
Find ρi，αj（i=1，2，…，N;j=1，2，…，NP）
max J=uout
s.t. KuuU=FP+F
VH≤fvV0
Vδ≤V0－VP
gs≤τ
gv≤τ
0lt;ρ≤ρi≤1（31）
VH=∫Ωρ（x）dΩ" Vδ=∫Ω（1－H（Φ））dΩ
式中：ρi為主體結構的點密度設計變量；αj為壓電驅動器的虛擬速度設計變量（包括平移速度αxj、αyj和轉動角速度αθj）；J為輸出位移；N、NP分別為單元節點密度設計變量和設計域內可移動壓電驅動器的數量；VH為機構整體的固相材料體積；Vδ為非壓電驅動器區域的材料體積；V0為設計域的體積；VP為壓電驅動器的體積。
3 靈敏度分析
3.1 點密度設計變量靈敏度分析
通過有限元離散，目標函數可以改寫為J=Tu，是規則化向量，只在指定輸出端所在節點取值為1，其余均為0。當不施加相關外力時，目標函數對點密度設計變量的導數為
Jρi=λTKρiu=∑Nee=1λTeKeρiue（32）
i=1，2，…，N
其中：Ne為設計域劃分的單元總數，伴隨向量λe可用求解伴隨方程表示：
T+λTK=0（33）
第e個單元剛度矩陣對第i個點密度設計變量的導數表示為
Keρi=∫Ωep（ρ（x））p－1ρ（x）ρi（1－H（Φ））BTDBdΩ（34）
ρ（x）ρi=Θi" i∈Sx0iSx（35）
材料體積約束對第i個點密度設計變量的導數表示為
VHρi=∑Nee=1∫Ωeρ（x）ρidΩ（36）
另使
Ismi=（min（（ρ～i－ηe），0））2（37）
Ivmi=（min（（ηd－ρ～i），0））2（38）
則尺寸約束對點密度設計變量的導數可表示為
gsρi=1n（Isiρ-iρ-iρ～iIsmi+IsiIsmiρ～i）ρ～iρi（39）
gvρi=1n（Iviρ-iρ-iρ～iIvmi+IviIvmiρ～i）ρ～iρi（40）
由式（37）和式（38）可知，式（39）和式（40）中Ismi/ρ～i和Ivmi/ρ～i可表示為
Ismiρ～i=2min（（ρ～i－ηe），0）ηsiρ～i （41）
Ivmiρ～i=2min（（ηd－ρ～i），0）ηviρ～i（42）
ηsi=min（（ρ～i－ηe），0）（43）
ηvi=min（（ηd－ρ～i），0）（44）
令
Iexp=exp（－c‖ρ～‖2）（45）
對ρ-i求導可得
Iexpρ-i=2exp（－c‖ρ～‖2）·（－c）·
‖ρ～‖‖ρ～‖ρ-i（46）
由式（25）和式（26）可得Isi/ρ-i和Ivi/ρ-i：
Isiρ-i=（Iexp+ρ-Iexpρ-i）（47）
Iviρ-i=（－Iexp+（1－ρ-）Iexpρ-i）（48）
3.2 虛擬速度設計變量靈敏度分析
采用解析形狀靈敏度分析方法得到目標函數和約束函數關于虛擬速度設計變量的靈敏度分析。因為壓電驅動器也是設計域的一部分，所以在其移動過程中會對設計域產生微小攝動，其改變量可表示為
Ωst=（I+tθ）Ωs（49）
式中：θ為虛擬速度的攝動向量。
目標函數的方向導數定義在積分域變分零點處：
U′（Ω）（θi）=limt→0U（（I+tθ）（Ω））－U（Ω）t（50）
i=1，2，…，NP
因此，可得到目標函數的形狀導數：
U′（Ω）（θi）=∫ΓPt［ε（λ）∶（DP－DH）∶ε（u）－
ε（λ）∶e·E］（θi·n）dΓ（51）
其中：θi（i=1，2，…，NP）為第i個壓電驅動器的虛擬速度攝動向量，可表示為
θi=Vi+ωi×r（52）
式中：Vi為第i個壓電驅動器的虛擬平移速度向量；ωi為相對于旋轉中心的角速度；r為壓電驅動器邊界到旋轉中心的距離向量。
非重疊約束的形狀靈敏度表示為
（Vδ）′（Ω）（θi）=∫ΓPt（1－H（Φ））（θi·n）dΓ（53）
通過鏈式法則，目標函數和約束函數對虛擬速度變量的導數可分別表示為
Jαij=Jθi·θiαij" Vδαij=Vδθi·θiαij（54）
i=1，2，…，NP" j=1，2，3
其中：θi/αij可由式（40）求偏導數得到，而J/θi和Vδ/θi可分別表示為
J′（Ω）（θi）=Jθi·θi" （Vδ（Ω））′（θi）=Vδθi·θi（55）
移動漸近線算法（method of moving asymptotes， MMA）穩定性好，使用范圍廣，特別適用于多約束的復雜優化問題求解。本文采用MMA算法求解考慮最小尺寸控制的內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化問題，流程圖見圖5。
4 數值算例
4.1 反向器
圖6所示為內嵌可移動壓電驅動位移反向器的設計域、指定輸出端及固定邊界。反向器的設計域尺寸L×D設定為120 mm×160 mm，設計域的左端作為固定邊界條件，對內嵌可移動壓電驅動組件施加恒定電壓，指定設計域右邊中點為目標輸出點。定義主體承載部分實體材料的彈性模量E1為70 GPa，泊松比μ1為0.32，壓電驅動組件材料的彈性模量E2為74 GPa，泊松比μ2為0.35，電位移為-9.3 C/m2。同時設定施加的恒定電壓為5 kV，懲罰因子p選為3，主體承載部分及壓電驅動組件的厚度均為1 mm，輸出彈簧剛度Kout設為1500 N/m。因為壓電組件在此設計域中對稱分布，所以設計域整體呈上下對稱分布，為提高計算效率，僅選取設計域上半部分進行有限元分析，并將其離散為80×120個四節點四邊形單元。算例中矩形壓電驅動組件的初始形式均設置為轉動角度為0，且長、寬邊分別平行于x軸和y軸。當連續兩個優化迭代結果差值小于10-3時，優化過程停止。
為了驗證最小尺寸控制在內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化中的有效性，考慮在相同參數條件下，對比無尺寸約束及不同最小尺寸情況下的拓撲優化結果。設定壓電驅動組件大小（l×d）為20 mm×10 mm，其中心初始位置為（20，25） mm，允許材料體積比為設計域的30%。首先選取Rmin=5作為最小尺寸控制參數，拓撲優化過程如圖7所示。
圖7所示為內嵌可移動壓電驅動反向器在不同迭代步數下的整體構型變化。圖7a表示可移動壓電驅動組件在優化開始前的初始狀態，圖7b表示第15次迭代后可移動壓電驅動器組件位置發生明顯變化，前15步對可移動設置較大的移動速度，可以盡快到達最佳位置附近，圖7c表示第17步開始形成主體承載構型，圖7d表示內嵌可移動壓電驅動反向器的第45步迭代，可觀察到初始構型已基本形成，但存在類鉸鏈連接，且還存在較多中間灰度單元。圖7e表示第55步迭代，此后將可移動壓電驅動組件在機構內的位置固定，后續引入兩相尺寸約束，期望實現非壓電驅動組件區域的材料最小尺寸控制。圖7f是壓電驅動反向器最終拓撲構型圖，可明顯觀察到固相及空相材料均滿足目標最小尺寸控制，相較于圖7e具有明顯改善效果，同時主體承載部分形成相同大小的孔洞以滿足空相區域最小尺寸控制。
圖8所示為目標函數及體積分數隨迭代步數的變化曲線，目標函數曲線由于在第55步迭代引入尺寸約束出現部分振蕩，最終在機構構型穩定后逐漸趨近平穩，最終收斂至-0.213 mm。
允許體積上限為0.3、0.4時，無尺寸約束及尺寸控制參數Rmin分別為3、4、5時的拓撲構型圖見圖9，可明顯觀察到施加尺寸約束的機構最終構型相較于無尺寸約束的情況，主體承載結構部分所存在的類鉸鏈情況得到解決，且實相區域的最小連接處均滿足相應的目標最小尺寸控制，同時其內部空相區域也滿足相應的最小尺寸控制，驗證了所提方法的有效性。
4.2 夾持器
圖10所示為內嵌可移動壓電驅動夾持器的設計域、指定輸出端及固定邊界。夾持器同反向器一樣，都具有對稱性，故也取其上半部分進行設計，將設計域離散為120×80個四節點單元。可移動矩形壓電組件初始放置角度同位移反向器相同布置，僅初始位置不同。設定壓電驅動組件大小（l×d）為20 mm×10 mm，其中心初始位置為（20，25） mm。
對比允許材料體積分數為0.3、0.4的情況下，無尺寸約束以及施加不同最小尺寸的拓撲優化結果如圖11a～圖11f所示。從圖11a中可明顯發現在體積分數為0.3、不施加尺寸約束的工況下，存在單節點連接情況和孤島效應；而圖11b中，在體積分數為0.4、不施加尺寸約束的工況下，存在相當多的中間密度單元，構型邊界不清晰。圖11c～圖11f表示體積分數為0.3、0.4時施加不同最小尺寸約束的結果，尺寸控制參數Rmin分別設置為3、4、5，在施加尺寸約束后所得到的構型中，空相及實相部分的最小尺寸均滿足相應的控制參數大小。從圖11c、圖11e和圖11g的拓撲優化結果中可以看出，三個不同尺寸控制參數下拓撲構型相似，其內嵌可移動壓電驅動的位置也大致相同，主體承載結構的最短連接處隨著尺寸控制參數的增大而增大，滿足目標要求，而主體承載結構內存在的孔洞則隨著尺寸控制參數的增大而發生融合，進而滿足空相部分的最小尺寸控制。圖11d、圖11f和圖11h是體積分數為0.4、不同尺寸控制參數下的結果。在尺寸控制參數為3的工況下，夾持器的最短連接處符合目標控制大小，其內部存在孔洞也同樣滿足。在圖11f和圖11h中可明顯觀察到，由于尺寸控制參數的增大，主體承載結構內部空相部分消失，且最短連接處同樣隨著尺寸控制參數的增大而增大，符合目標最小尺寸期望。
5 結語
本文方法可以準確地描述壓電驅動組件在規定設計域內的形狀、運動速度和方向，解決了內嵌可移動壓電驅動組件和柔順機構同時優化設計問題。通過引入結構指示函數，分別構建固相材料和空相材料的拐點域，由此來控制結構中的實相區域和空相區域的最小尺寸，滿足了柔順機構的可加工最小尺寸要求。通過兩個數值算例驗證了所提方法的有效性。未來可以將所提方法應用在實際工件加工制造中，精準面向工件需求，從而大幅提高加工效率，減少加工成本。
參考文獻：
［1］ HOWELL L L. Compliant Mechanisms［M］∥21st Century Kinematics. London：Springer London， 2013：189-216.
［2］ 于靖軍， 郝廣波， 陳貴敏， 等. 柔性機構及其應用研究進展［J］. 機械工程學報， 2015， 51（13）：53-68.
YU Jingjun， HAO Guangbo， CHEN Guimin， et al. State-of-art of Compliant Mechanisms and Their Applications［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（13）：53-68.
［3］ 張憲民， 朱本亮， 李海， 等. 柔順精密定位與操作機構研究進展［J］. 機械工程學報， 2023， 59（19）：24-43.
ZHANG Xianmin， ZHU Benliang， LI Hai， et al. Research Progress of Compliant Precision Positioning and Operating Mechanism［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2023， 59（19）：24-43.
［4］ GRSER P， LIN S， HARFENSTELLER F， et al. High-precision and Large-stroke XY Micropositioning Stage Based on Serially Arranged Compliant Mechanisms with Flexure Hinges［J］. Precision Engineering， 2021， 72：469-479.
［5］ GAN Jinqiang， ZHANG Juncang， GE Mingfeng， et al. Designs of Compliant Mechanism-based Force Sensors：a Review［J］. IEEE Sensors Journal， 2022（9）：8282-8294.
［6］ DEATON J D， GRANDHI R V. A Survey of Structural and Multidisciplinary Continuum Topology Optimization：Post 2000［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2014， 49（1）：1-38.
［7］ ZHU Benliang， ZHANG Xianmin， ZHANG Hongchuan， et al. Design of Compliant Mechanisms Using Continuum Topology Optimization：a Review［J］. Mechanism and Machine Theory， 2020， 143：103622.
［8］ LIU Min， ZHAN Jinqing， ZHU Benliang， et al. Topology Optimization of Compliant Mechanism Considering Actual Output Displacement Using Adaptive Output Spring Stiffness［J］. Mechanism and Machine Theory， 2020， 146：103728.
［9］ 汪啟亮， 劉通， 李永起， 等. 低寄生位移柔性平行微夾持器拓撲優化設計［J］. 中國機械工程， 2023， 34（21）：2577-2584.
WANG Qiliang， LIU Tong， LI Yongqi， et al. Topology Optimization Design of Flexible Parallel Microgrippers with Low Parasitic Displacements［J］. China Mechanical Engineering， 2023， 34（21）：2577-2584.
［10］ EMMENDOERFER H， FANCELLO E A， SILVA E C N. Stress-constrained Level Set Topology Optimization for Compliant Mechanisms［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2020， 362：112777.
［11］ 許潔， 高杰， 肖蜜， 等. 基于等幾何拓撲優化的柔性機構設計［J］. 機械工程學報， 2024， 60（1）：137-148.
XU Jie， GAO Jie， XIAO Mi， et al. Design of Compliant Mechanisms by Topology Optimization Based on Isogeometric Analysis［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2024， 60（1）：137-148.
［12］ 何健， 何猛， 夏涼， 等. 基于雙向漸進結構優化法的柔性機構設計［J］. 機械工程學報， 2021， 57（19）：39-47.
HE Jian， HE Meng， XIA Liang， et al. Design of Compliant Actuation Mechanisms by Evolutionary Structural Optimization Method［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2021， 57（19）：39-47.
［13］ 王選， 胡平， 龍凱. 考慮嵌入移動孔洞的多相材料布局優化［J］. 力學學報， 2019， 51（3）：852-862.
WANG Xuan， HU Ping， LONG Kai. Multiphase Material Layout Optimization Considering Embedding Movable Holes［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2019， 51（3）：852-862.
［14］ ZHU Jihong， GAO Huanhuan， ZHANG Weihong， et al. A Multi-point Constraints Based Integrated Layout and Topology" Optimization Design of Multi-component Systems［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2015， 51（2）：397-407.
［15］ XIA Liang， ZHU Jihong， ZHANG Weihong. A Superelement Formulation for the Efficient Layout Design of Complex Multi-component System［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2012， 45（5）：643-655.
［16］ WANG Xuan， HU Ping， KANG Zhan. Layout Optimization of Continuum Structures Embedded with Movable Components and Holes Simultaneously［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2020， 61（2）：555-573.
［17］ YANG Kaike， ZHU Jihong， WU Manqiao， et al. Integrated Optimization of Actuators and Structural Topology of Piezoelectric Composite Structures for Static Shape Control［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2018， 334：440-469.
［18］ WANG Yiqiang， LUO Zhen， ZHANG Xiaopeng， et al. Topological Design of Compliant Smart Structures with Embedded Movable Actuators［J］. Smart Materials and Structures， 2014， 23（4）：045024.
［19］ WANG Rixin， ZHANG Xianmin， ZHU Benliang， et al. Hybrid Explicit-implicit Topology Optimization Method for the Integrated Layout Design of Compliant Mechanisms and Actuators［J］. Mechanism and Machine Theory， 2022， 171：104750.
［20］ WANG Yiqiang， HE Jingjie， LUO Zhen， et al. An Adaptive Method for High-resolution Topology Design［J］. Acta Mechanica Sinica， 2013， 29（6）：840-850.
［21］ KANG Zhan， WANG Yiqiang. Structural Topology Optimization Based on Non-local Shepard Interpolation of Density Field［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2011， 200（49/50/51/52）：3515-3525.
［22］ GUEST J K， PRVOST J H， BELYTSCHKO T. Achieving Minimum Length Scale in Topology Optimization Using Nodal Design Variables and Projection Functions［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2004， 61（2）：238-254.
［23］ ZHOU Mingdong， LAZAROV B S， WANG Fengwen， et al. Minimum Length Scale in Topology Optimization by Geometric Constraints［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2015， 293：266-282.
（編輯 陳 勇）
作者簡介：劉 敏，男，1990年生，副教授。研究方向為柔順機構、微納操作、拓撲優化等。E-mail：lmin2016@foxmail.com。
占金青*（通信作者），男，1979年生，教授、博士研究生導師。研究方向為柔順機構拓撲優化設計。E-mail：zhan_jq@126.com。
本文引用格式：劉敏，盧飛揚，占金青，等.考慮最小尺寸約束的內嵌可移動壓電驅動柔順機構拓撲優化設計［J］. 中國機械工程，2025，36（2）：255-264.
LIU Min， LU Feiyang， ZHAN Jinqing， et al. Topology Optimization of Compliant Mechanisms with Embedded Movable Piezoelectric Actuator Considering Minimum Length Constraints［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（2）：255-264.
基金項目：國家自然科學基金（52165002，52065019）；贛鄱俊才支持計劃——主要學科學術和技術帶頭人培養項目（20232BCJ23021）；江西省自然科學基金（20224BAB204041，20232BCJ25012，20242BAB26067）；中國博士后科學基金（2022M723189）；江西省教育廳科技項目（GJJ2200628）
