“畫數學”，發展學生核心素養

“畫數學”是指學生在數學學習過程中，將抽象的數學概念、復雜的數學問題、隱蔽的數量關系等，借助直觀的表格、圖形等可視化的形式表示出來，達到對數學具象化、結構化、個性化的理解。這是符合小學生天性的表達方式，學生可以借助文字、算式、符號等加強對數學概念的深度理解、對數量關系的細致分析、對空間事物的直觀感受，從而逐步構建數學知識體系，提升思維品質，發展核心素養。

一、“畫數學”的價值所在

1.“畫數學”有助于提高學生的核心素養

“畫數學”基于學生的現實起點，通過畫的方式把學生對所學知識的初始理解表達出來，充分展現每個學生的認知現狀。“畫數學”指向學生的學習過程，通過操作、表征、總結和反思等活動不斷理解知識、建構知識體系。因此，“畫數學”的過程就是學生經歷知識形成、發展和建構的過程，這個過程給予學生個性化的成長空間和多樣化的發展需求，助力學生核心素養的提高。

2.“畫數學”有助于培養學生的思維

“畫數學”關注學生思維的發展，注重把學生隱性的思維可視化，讓學生在數學活動過程中充分展現自己的思考過程，實現思維的不斷進階。學生在數學學習過程中嘗試“畫數學”，這些“畫”本身就是一種數學語言，是分析數學實際問題、探索解決問題思路的重要手段。

3.“畫數學”有助于促進對數學本質的理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下稱“新課標”）以“三會”高度概括了數學課程的教學目標，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。那么，什么是數學的語言？學生到底要通過什么來完成這樣的表達、解釋和交流呢？文字、算式、符號、圖畫都可以。有一些題目教師講了很多遍，學生還是一知半解的樣子。但是當教師給學生一幅圖的時候，他們就恍然大悟了，這就是“畫數學”的神奇力量。

二、“畫數學”的內容指向

1.“畫概念”，把抽象表征形象化

概念是抽象的，需要教師在學生的頭腦中將之轉化成具體的直觀的畫面，以幫助學生理解和感悟。

例如，“平行四邊形的高”這一概念反映的本質屬性是“平行四邊形一條邊上的一點向對邊引一條垂線，這個點和垂足之間的線段叫平行四邊形的高”，至于“是什么樣的平行四邊形，在哪條邊上畫高”都是次要的非本質問題。教師可以先讓學生自學并讀一讀“高”的定義，學生根據自己對高的理解畫出平行四邊形指定底邊上的高，學生出現了如圖1所示的5種畫高情況。

然后，教師可以讓學生判斷圖1中畫的高是否準確，學生討論后得出：（1）沒有從一條邊向對邊畫高，（3）（4）雖然是從一條邊向對邊出發，但沒有向對邊畫垂線，只有（2）（5）畫圖正確，初步理解“高”的意義及本質屬性。教師可以接著追問學生：“平行四邊形有幾條高呢？可以分成幾組？”讓學生畫一畫不同類型平行四邊形，學生通過驗證得出“平行四邊形有無數條高，可以分成兩組”，從而理解高的本質屬性，加深對概念的理解。

2.畫線段圖，把模糊關系直觀化

線段圖作為一種直觀的數學工具，能清晰地呈現問題解決中的數量關系，從而有效幫助學生分析題意并順利解決問題。無論是“加減乘除數量關系”的復雜計算，還是“倍比問題”“相差問題”“分數問題”以及“路程問題”等各類繁雜數學問題，在解題過程中，學生如果能借助畫線段圖的方式梳理題目中的數量關系，就能快速找到解決問題的關鍵路徑，從而解決問題。

例如，解決“一個數乘10，得到的數比原來的數大126，原數是多少？”這個問題時，因為得到的數比原來的數大126，說明126是原數的9倍，所以原數是126÷9=14，也可以用畫線段圖的方法（如圖2）。

學生通過畫線段圖直觀表示數量關系，把復雜的數學問題有效地轉化為直觀、形象的圖形，從多角度分析與思考，找到了簡捷有效的解決問題的方法。學生積累了利用直觀圖形進行思考的經驗，在享受成功喜悅的同時，提高了解決問題的能力。

3.畫思維導圖，把碎片知識結構化

學生不僅要汲取新知識，還要復習舊知識，把握新舊知識間的內在聯系，從而編織成一張緊密的知識網絡。在進行單元知識的整理與復習時，教師要引導學生運用思維導圖來學習數學，以核心知識點作為起點，引導學生深入挖掘這些知識點之間隱含的關系，學生親歷知識由零散到系統的構建過程，能使自身的知識體系更加完善。例如，在教學“小數乘法”時，學生可以畫思維導圖如圖3所示。

4.畫解題思路，把復雜信息條理化

畫解題思路是在解決數學問題過程中，把隱藏在大腦中的一個個“算法”或者問題解決的步驟畫出來。學生進入中高年級后，需要面對解決步驟較多、變化較為復雜的各類問題，這時候教師要引導學生將自己讀到的信息畫出來，并朝著問題結果的方向畫出思考的過程，將信息條理化，逐步找到解題路徑。

例如，一個直角梯形的高是20厘米，其中一條腰長25厘米，如果上底增加12厘米，就成為一個正方形。問：原來梯形的面積是多少？

如果把圖形畫出來（如圖4），梯形的上底、下底就一目了然，梯形的面積也就可以求出來了。

5.畫示意圖，把零散經驗模型化

示意圖可以大致描繪出物體所處位置、物體的形狀大小，以及和其他物體之間的關聯。在解決數學問題時，畫示意圖有著十分重要的作用，它能夠為我們理解題目提供幫助。

例如，在“雞兔同籠”教學中，教材以古代數學名著《孫子算經》中記載的趣題為載體，出示例題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

學生通過畫圖來探究問題，在畫圖的過程中，先假設都是雞，發現少了10只腳，說明有5只兔子。有的學生是這樣畫示意圖的（如圖5）：

學生通過畫示意圖，經歷演算、試驗推理等數學探究過程，可以抽取出數學模型，找到雞兔同籠問題的解決方法，再利用規律回歸生活，解決生活實際問題。

三、“畫數學”的時機選擇

“畫數學”是數學教學中發展學生的學習力、讓學生形成良好數學素養的有效途徑，但這并不意味著所有問題都可以靠畫圖來解決的。那么，在何種情境下畫圖更有效呢？

1.在數量關系復雜時

數量關系是數學中常見的關系，通過畫圖可以將復雜的關系直觀地呈現出來，提升學習效率。例如，有A、B、C三輛車，C車裝的貨物是B車裝的貨物的一半，B車比A車少裝160千克，A車裝的貨物是C車的4倍。A、B、C三輛車各裝多少貨物？

本題提供的信息涉及三個數量關系，不少學生無從下手。在教學時，教師要引導學生動手畫圖，讓學生進一步理解題目的意思，厘清數量關系，進而讓學生體會到畫圖是一種很好的解決數學問題的方法。

2.在數學問題易混淆時

在數學學習中，學生會遇到一些“想當然”的問題，教師要引導他們自己動手去探究，而不是一味地灌輸知識。例如，在教學“長方形的周長練習課”時，有這樣一個問題：用兩個長是6厘米、寬是3厘米的長方形拼成一個長方形，拼成的長方形的周長是多少厘米？

第一次遇到拼組圖形的周長問題，不少學生想當然地認為拼成的長方形周長就是原來兩個長方形周長之和。此時，教師可以讓學生畫一畫、拼一拼來驗證自己的想法。通過畫圖，學生直觀地看到有兩條邊重疊在里面，拼成的長方形的周長就是原來兩個長方形周長之和減兩條邊的長度。

3.在數學學習乏味時

為鞏固知識、提高解題速度，很多教師采取“題海戰術”，這種教學方式容易引發學生厭學的情緒。“畫數學”的作業形式則可以激發學生的學習興趣。例如，在教學“集合”時，教師可以讓學生用集合圈的方式把生活中的集合問題表示出來（如圖6）。

這樣的作業形式摒棄了傳統的作業模式，極大地激發了學生完成作業的熱情，而且巧妙地將所學知識融入日常生活，有效提升了他們解決實際問題的能力。

四、“畫數學”的指導策略

1.有效激勵，激發學生“畫數學”的熱情

每個學生都是一個獨立的個體，都有其獨特的思維特點，畫圖理解能力也存在差異。教師應給予學生“畫數學”的自由，鼓勵學生從自身知識經驗出發，自由畫圖。“畫數學”沒有標準答案，教師要對學生進行有效的激勵。例如，在課堂上，教師要擇機展示學生的“畫作”并給予肯定；另外，也可以將優秀作品投稿至學生感興趣的雜志，讓學生樹立“畫數學”的自信。在持續的肯定中，學生將逐漸建立起“畫數學”的信心，并用“畫數學”的方式學習數學。

2.深研教材，提升學生“畫數學”的能力

教師應遵循“新課標”要求，深入鉆研教材，明晰學生數學繪圖能力的發展目標。一年級學生的生活經驗有限，在學習認識數時，教師可以讓他們用畫圖來表示自己對數的理解，提高對數量的認知能力。從二年級開始，教材第一次出現了直條圖。這時候教師要結合學習內容，重點指導學生學會畫圖分析，通過畫圖辨析對錯、異同。五、六年級的學生已經積累了一些學習經驗，也具備了一定的學習能力。但是在面對一些抽象的、復雜的問題時，有時他們也無從下手。這時教師可以讓他們畫圖。在畫圖的過程中，學生可以對知識進行系統的回顧，提煉加工有用的信息，最終創造性地解決問題。

3.聚焦素養，優化“畫數學”教學

在教學中，教師要引導學生通過“畫一畫”“圈一圈”等方式，優化“畫數學”教學，借助“畫數學”來促進學生加深對數學知識的理解，解決數學問題。教師還應強化學生“畫數學”的技能訓練，例如，可以設計以下類型的練習：一是涂一涂、畫一畫，培養數感和符號意識；二是畫草圖，拓展空間想象力；三是邊想邊畫，提升推理能力，發現規律。在“畫數學”中，學生經歷從具象到表象再到抽象建模的數學化過程，有利于促進學生思維的發展，促進學生理解知識的本質，完善認知結構，提升思維品質，發展數學核心素養。

（作者單位：福建省廈門實驗小學）