度量視角下基于計數單位運作，感悟運算一致性

【教學內容】

北師大版小學數學教材五年級下冊第五單元第57頁。

【教學目標】

1.在經歷“包含除”的問題情境中，探索并掌握一個數除以分數的算法，借助長度模型直觀理解一個數除以分數的算理，溝通算法與算理之間的內在聯系。

2.通過圖式互聯聚焦計數單位，感悟分數除法運算的一致性，完善、發展認知結構，培養運算能力。

3.在問題解決的過程中建立聯系的視角，培養嚴謹求實的態度、勇于嘗試的精神和持續思考的習慣，享受數學學習的樂趣，獲得成功的體驗。

【教學重難點】

理解“一個數除以分數”運算方法背后的道理，探索并掌握算法；感悟分數除法運算的一致性，建立分數除法運算的整體結構。

【課前慎思】

“分數除法（二）”是北師大版小學數學教材五年級下冊第五單元“分數除法”的第二課時，內容聚焦“一個數除以分數”。此前學生已經系統地學習了分數加減法、分數乘法、倒數以及分數除以整數，掌握了分數除以整數的算法與算理，初步體會了除法運算的一致性。筆者對學習了分數除法后的六年級學生做追蹤調研發現，對于“你是怎么理解2÷[23]=2×[32]=3的”問題，學生一致表示不能理解“分數除法為什么要‘顛倒相乘’變成分數乘法再計算”，理由是：“怎樣把2平均分成[23]份呢？又如何求1份是多少呢？[23]份還不到1份呀！”筆者啟示他們可以從“2里面有幾個[23]”這樣“包含除”的含義出發畫圖試試，但作用不大。可見，理解“除以一個不為零的數等于乘這個數的倒數”是本課的重點、難點。

首先，運算教學要注重說理，即解釋計算方法背后的道理。而且要說清算理往往離不開對運算意義的理解，本課內容的學習應建立在除法“包含除”意義的基礎上進行學習。因此，教師要創設“包含除”的問題情境幫助學生更好理解算理。其次，多元表征算法的背后體現的是算法與算理的一致性，這要通過圖式關聯、幾何直觀的方式幫助學生建立對算理的理解。再次，運算一致性在“一個數除以分數”中同樣有體現，在教學時，教師要創設類似的思維時空，啟發學生在度量的視角下基于計數單位的運作來感悟分數除法運算的一致性——無論是分數除以整數，還是整數除以分數，其實在計算時都是計數單位細分、均分的過程，計算的道理是一致的，這樣就幫助學生建立了分數除法乃至整個除法運算的整體結構，提升了學生對除法運算的整體認識。

【教學過程】

一、任務驅動，自主探索算法

1.抽象算式，感受除法意義的一致性

筆者出示題組：有一根2 m 長的繩子。

（1）截成每段長1 m，可以截成幾段？

（2）截成每段長[12] m，可以截成幾段？

（3）截成每段長[13] m，可以截成幾段？

（4）截成每段長[23] m，可以截成幾段？

師：這個題組有4個問題，該分別怎樣列算式解決呢？說說理由。

生：第一個問題，截成每段長1 m，求可以截成幾段，就是看2米里有幾個1米，是包含除問題，可以用除法解決，列式計算：2÷1=2（段）。

生：后面3個問題也都是包含除問題，分別看2米里有幾個[12]米、2米里有幾個[13]米、2米里有幾個[23]米，可以依次列式為：2÷[12]、2÷[13]、2÷[23]。

師：看來，包含除問題，我們都可以用除法解決。無論是整數、小數還是分數，除法的意義是一致的。

【思考】運算的意義是理解算理的關鍵。教師以長度模型引入，呈現題組，讓學生在經歷抽象出除法算式的過程中再認識理解除法“包含除”的運算意義，感悟除法運算意義在不同數系中的一致性，為后面探索算法、理解算理奠定基礎。

2.多元表征，探索算法

師（指2÷[12]、2÷[13]、2÷[23]）：整數除以分數，會計算嗎？

生：上節課，我們學習分數除以整數，除以一個不為零的整數，相當于乘這個整數的倒數。所以我猜想，除以一個不為零的分數，是不是也相當于乘這個分數的倒數呢？

師：特別好！猜想是數學研究的第一步，是不是這樣的呢？

生：需要實際探索一下具體算法。

活動要求：獨立思考，先想一想、畫一畫、分一分，再用算式記錄分繩子的操作過程，自主探索計算方法和結果；小組交流，把自己的想法解釋清楚。

（學生獨立嘗試，再組內分享想法，全班交流）lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量視角-3.tifgt;

圖1 lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量視角-1.tifgt;

圖2 lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量視角-2.tifgt;

圖3

生：我們是借助畫圖解決的（如圖1至圖3）。先畫一條線段表示2米，問題（2）是看2米里能截成出幾段[12]米，我的思路是先看1米里能截出幾段[12]米，2米可以分成2個1米，就能算出總段數了。從圖1中可以看出，1米里有2段[12]米，2米里有2個1米，也就是2個2段[12]米，也就是能截出（2×2）段。所以，2÷[12]=2×2=4（段）。

生：問題（3）是看2米里能截幾段[13]米，也是先看1米里能截出幾段[13]米，再算出總段數。從圖2中可以看出，1米里有3段[13]米，2米里有2個1米，也就是2個3段[13]米，也就是能截出（2×3）段。所以，2÷[13]=2×3=6（段）。

生：問題（4）是看2米里能截幾段[23]米，我的思路是，[23]米是2個[13]米，通過平均分割看看2米里有幾個[13]米，就能進一步算出有幾段[23]米了。從圖3中可以看出，1米里有3個[13]米，2米里有6個[13]米，[23]米是1段，也就是2個[13]米是1段，數一數正好能截出3段[23]米。所以，2÷[23]=2×3÷2=3（段）。

生：我把除法轉化為乘法計算，2÷[12]=2÷（1÷2）=2÷1×2=2×2=4；2÷[13]=2÷（1÷3）=2÷1×3=2×3=6；2÷[23]=2÷（2÷3）=2÷2×3=2×[32]=3。

師：大家介紹的這些方法，無論畫圖還是算式轉換，其實都是把新問題轉化為舊知識來解決，非常棒！

【思考】猜想是培養創造力的基礎。探索算法之前先借助之前的學習經驗猜想，再探索算法，激發學生的求知欲。學生通過畫線段圖結合直觀長度模型解釋算法，初步理解算理，感悟轉化的數學思想方法。

二、層層遞進，抽絲剝繭，促法理融通

師［指著問題（4）的算法］：他是通過算式轉換，把除法轉化成了乘法進行計算的。仔細觀察轉化過程，你發現了什么？

生：2÷[12]=2×2=4，2÷[13]=2×3=6，2÷[23]=2×[32]=3，他把除以一個分數轉化成了乘一個整數或一個新的分數，這個整數或新的分數就是這個分數的倒數。

生：除以一個分數，相當于乘這個分數的倒數。

師（指著2÷[12]=2×2，2÷[13]=2×3，2÷[23]=2×[32]）：為什么除以一個分數等于乘這個分數的倒數？誰能結合圖形來解釋一下？

生：比如問題（2），2米可以截出2個1米，每個1米又可以截出2個[12]米，2米就相當于（2×2）個[12]米，所以可以截出（2×2）段，也就是4段[12]米。

師：也就是說（2×2）在這里其實表示的是什么？

生：2米里面含有的[12]米的個數。

師：2÷[12]是不是可以寫成2÷[12]=（2×2）×[12]÷[12]？同意嗎？

生：同意，也就等于（2×2）了。

生：同樣，問題（3），（2×3）算的是2米里面包含的[13]米的個數。2米可以截出3個1米，每個1米又可以截出3個[13]米，2米就相當于（2×3）個[13]米，所以可以截出（2×3）段，也就是6段[13]米。

生：2÷[13]也可以寫成2÷[13]=（2×3）×[13]÷[13]=2×3。

師：問題（4）怎么解釋呢？

生：1米可以截出3個[13]米，2米就是（2×3）個[13]米，[23]米是2個[13]米，2米里有幾個[23]米，就是算（2×3）個[13]米里有幾個2個[13]米，其實就相當于算（2×3）里有幾個2，所以2÷[23]=2×3÷2=3。

師：剛才的這個解釋過程，如果用算式做記錄，可以怎么寫呢？

生：2÷[23]=（2×3）×[13]÷（2×[13]）=2×3÷2=3。

生：2×3÷2=2×[32]，所以2÷[23]就相當于計算2×[32]。

生：我明白了！我們可以這樣理解，從圖3中可以看出，1米里有1.5個[23]米，也就是[32]個[23]米，2米里就有（2×[32]）個[23]米，也就是說2×[32]算的是2米里有幾個[23]米，和2÷[23]的意義相同，所以2÷[23]=2×[32]×[23]÷[23]=2×[32]。

師：仔細觀察圖形和算式的計算過程，你有什么發現？

生：它們計算的都是這個數與分數單位之間個數的關系。

生：一個數除以分數單位，就是看這個數里含有多少個分數單位。一個數除以分數，就看這個數和這個分數里各有幾個分數單位，再算個數的關系。

師：也就是說，一個數除以分數，其實就是在計算這個數與分數單位個數之間的倍數關系。

【思考】教師引導學生整體回顧解決三個問題的計算過程，啟發學生發現隱藏于其中的規律——都是把除法轉化為乘法，除以一個分數相當于乘這個分數的倒數。啟發學生結合直觀圖理解“為什么除以一個分數等于乘這個分數的倒數”，進而發現，一個數除以分數計算的就是這個數與這個分數的分數單位之間個數的關系，這既是本課算理的核心也是教學重點和難點，在深刻理解算理的基礎上通過圖式互聯感悟算法與算理的一致性。

三、度量視角，感悟運算一致性

師：我們還可以這么看，比如2÷[12]，結合圖形觀察，如果以[12]為計數單位，要數幾次才能正好數到2？

生：4次，數2次到1，數到2要數（2×2）次，也就是4次。

生：所以2÷[12]=2×2=4。

師：2÷[13]、2÷[23]呢？

生：2÷[13]，如果以[13]為計數單位，要數6次才能正好數到2。數3次到1，數到2要數（2×3）次，也就是6次。2÷[13]=2×3=6。

生：2÷[23]，如果以[23]為計數單位，要數3次才能正好數到2。數1次是[23]，也就是2個[13]，數2次到[43]，也就是4個[13]，數3次是[63]，也就是6個[13]，也就是2。數到1時正好數了1.5次[23]，數到2時要數（2×1.5）次，也就是3次。所以2÷[23]=2×[32]=3。

生：一個數除以分數，計算的還是這個數與分數的分數單位個數之間的關系。

師：一個數除以分數，就相當于以這個分數為單位去計數；或者以這個分數為單位，看這個數被平均分成了幾個分數單位。無論是分數除以整數，還是整數除以分數，其實計算時都是相同計數單位均分的過程，計算的道理是一致的。

【思考】對于整數除以分數的問題，教師啟發學生在度量視角下以這個分數的分數單位作為計數單位去“數”這個整數，再次發現，一個數除以分數計算的就是這個數與分數的分數單位個數之間的關系，體現了算法與算理的一致性。學生繼續體會“整數除以分數”與“分數除以整數”算法一致性——除以一個數等于乘這個數的倒數，體會二者算理的一致性——計算時都是相同計數單位均分的過程，建立分數除法的整體結構，完善認知結構，這是本課的又一個教學難點。

四、總結算法，貫通認識，鞏固應用

師：上節課我們學習了分數除以整數，這節課我們又探究了除數是分數的除法，請你總結一下分數除法該怎樣計算？

生：不管除數、整數還是分數，計算方法是一樣的，除以一個數等于乘這個數的倒數，這個數不能是0。

（教師出示：5÷[16]，[34]÷[58]，[512]÷3）

師：算一算，并說一說進行分數除法計算時要注意什么。

（學生獨立計算，組內交流具體是如何計算的，全班匯報）

（教師出示學生的計算結果，如圖4所示）

師：生1、生5是怎么計算的？

生：除以一個不為零的數，等于乘這個數的倒數。

師：生2的計算方法在提醒我們什么？

生：轉化成乘法后能約分的先約分，可以使計算簡便。

師：生3、生4的計算方法又在提醒我們注意什么？

生：生3是把被除數變成倒數了，除數卻沒變成倒數，不符合計算法則。

生：生4是把除數變成倒數的同時，把被除數也變成倒數了，計算方法不對。

生：分數除法在轉化為分數乘法時，要注意除數變成自己的倒數，計算過程中被除數是始終不變的。

師：看來，我們在明確了計算的道理之后，想要計算正確還是很不容易的，需要大家在計算過程中時刻注意正確運用計算法則。

【思考】通過交流不同類型計算題的計算過程，辨別對錯，分析錯因，發展元認知能力，總結算法，貫通對除法運算算法的整體認識——除以一個不為零的數等于乘這個數的倒數，進一步完善了認知結構，培養了運算能力。

（作者單位：北京師范大學教育學部 北京市海淀區中關村第一小學教育集團）

本文系教育部人文社會科學重點研究基地“十四五”重大項目“中國教育經驗的國際傳播研究”（項目編號：22JJD880007）的階段性研究成果。