在推理中發(fā)展學生的運算能力

自21世紀初開始的基礎教育課程改革以來，各個版本的數(shù)學教材都是將“20以內進位加法和退位減法”分開編排，一般在一年級上冊教學“20以內進位加法”單元，一年級下冊教學“20以內退位減法”單元。這樣教學的好處是分散學生的學習難點，各個擊破，幫助學生逐步形成運算能力；不足之處是割裂了加法和減法之間的內在聯(lián)系，不能很好地體現(xiàn)課程內容的結構化特征。2024年秋季啟用的新版小學數(shù)學教材，有的版本做了結構性調整。比如將舊版蘇教版教材的兩個單元合并為“20以內進位加法和退位減法”，即教學進位加法的同時教學退位減法，讓學生在加減法的關聯(lián)中理解算理和形成算法。因此，教學“十幾減8、7”時，筆者嘗試緊密結合進位加法，對比學習退位減法。

一、回到直觀方能發(fā)展思維

心理學家烏申斯基說過：“一般來說，兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進行思維的。”一年級學生學習抽象的數(shù)學知識，常常離不開直觀，尤其是遇到像退位減法這樣的學習難點，更需要讓每個學生動手、動腦、動口，充分利用直觀手段理解算理和掌握算法。在教學本課例題“15-8”時，筆者主要采用了四種直觀手段。

首先是圖片觀察。筆者聯(lián)系兒童生活情境，參照教材編排例圖，讓學生看圖講述減法故事（一共有15把小號，拿走8把，還剩多少把）。筆者組織學生觀察例題呈現(xiàn)的結構化圖片（15把小號，盒子里有10把，盒子外面有5把），為接下來的算法探索做好準備。

其次是小棒操作。筆者讓每個學生借助小棒進行操作，思考“15-8”該如何計算，想辦法從15根里面拿走8根，進而獲得結果。

再次是方塊演示。在學生分別進行小棒操作的基礎上，筆者讓學生到講臺上操作教具，即讓學生思考如何從15個方塊里面拿走8個方塊。

最后是數(shù)軸圈畫。筆者讓學生在數(shù)軸上從15出發(fā)倒著數(shù)數(shù)，先跳數(shù)到10（相當于先算15-5=10），再跳數(shù)到7（相當于再算10-3=7）（如圖1）。

二、回到多樣方能優(yōu)化算法

《義務教育數(shù)學課程標準（2001年版）》明確指出：“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化”。盡管《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》和《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》沒有再特別強調“算法多樣化”，但事實上，只要充分發(fā)揮學生的主動性和獨立思考性，算法多樣化依然是教學常態(tài)。問題是教師如何針對學生出現(xiàn)的多樣化算法進行課堂引導，如何在充分尊重學生的前提下讓學生獲得基本算法，如何幫助學生優(yōu)化算法。在教學中，學生主要出現(xiàn)了四種不同算法。

第一種，數(shù)數(shù)法。學生從15開始，倒著數(shù)數(shù)（相當于每次減“1”），數(shù)了8次，得數(shù)是7。

第二種，破十法。學生先從10里面減去8得2，再把2和5合起來得7。

第三種，連減法。學生先從15里面減去5得10，再從10里面減去3得7。

第四種，想加法。根據(jù)加法和減法之間的互逆關系，結合前兩節(jié)課學習十幾減9時的想加算減的方法進行類比和遷移，因為8加7等于15，所以15減8得7。

面對多種算法，筆者采取的教學方法是：一方面，只要正確算出得數(shù)都予以肯定，只要能講出道理都予以表揚；另一方面，盡量使學生逐步掌握“想加算減”的方法，因為這是對后續(xù)學習有支撐作用的基本算法。

因此，算法多樣化體現(xiàn)的是學習過程，而算法優(yōu)化則是運算能力形成的必由之路。

三、回到本質方能提升素養(yǎng)

從發(fā)展學生核心素養(yǎng)的角度來看，本課的學習，一方面要培養(yǎng)學生的運算能力，同時還要結合計算教學培養(yǎng)學生的推理意識和模型意識。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了“設計體現(xiàn)結構化特征的課程內容”的課程理念要求，又提出了“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性”的課程內容要求，還提出了“整體把握教學內容”的課程實施要求。如何在課堂教學中落實這些新理念呢？本課屬于典型的“數(shù)與運算”學習主題，在教學中，筆者注意關注了三個“提升點”。

一是讓計算和計數(shù)相呼應。荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾說過，“好的方法都強調計數(shù)”“將加看作繼續(xù)數(shù)，將減看作往回數(shù)”。在課堂上，筆者特地補充了在數(shù)軸上往回數(shù)數(shù)這一教學環(huán)節(jié)，讓學生直觀理解減法的運算本質。

二是把減法和加法相對應。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“引導學生通過具體操作活動，利用對應的方法理解加法的意義，感悟減法是加法的逆運算。”在教學中，筆者讓學生直觀探索多種算法后，聯(lián)系進位加法計算退位減法。

三是把計算和推理相融合。中國科學院院士張景中說過：“數(shù)學活動中的畫圖和推理，歸根到底都是計算。推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型。”在課堂上，筆者引領學生觀察操作和敘說方法時，學生不僅能說出正確得數(shù)，而且能說清思考過程；不僅能夠說清算法，而且能講出道理。