尋找等量關(guān)系 感悟轉(zhuǎn)化原理

【課前思考】

“曹沖稱象的故事”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》第二學(xué)段綜合與實踐領(lǐng)域的主題活動內(nèi)容之一。本課作為該主題活動內(nèi)容的開篇之課，以學(xué)生熟知的經(jīng)典歷史故事為依托，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解“等量的等量相等”和“總量等于各分量之和”這兩個基本事實，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

由于學(xué)生在二年級的語文課中已學(xué)過《曹沖稱象》，多數(shù)學(xué)生能夠大致復(fù)述、歸納曹沖稱象的基本步驟和方法。前測發(fā)現(xiàn)，雖然多數(shù)學(xué)生對曹沖稱象的故事很熟悉，但對于“曹沖稱象的依據(jù)是什么”“是把哪個物體質(zhì)量進行轉(zhuǎn)化”“為什么大象和一堆石頭的質(zhì)量和一樣”等問題仍不理解。由于比較抽象，學(xué)生需要借助具體情境問題不斷感悟知識。因此，在學(xué)生理解曹沖稱象的數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ)上，教師可以通過轉(zhuǎn)化策略解決問題，引導(dǎo)學(xué)生運用兩個基本事實進行解釋，積累說理的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維。

【活動實踐】

一、故事導(dǎo)入，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

師：同學(xué)們，今天我們要一起學(xué)習(xí)曹沖稱象。

（教師板貼“曹沖稱象”，學(xué)生齊讀）

師：讀了這個課題，你們有什么問題嗎？

生：我們在二年級語文課上已經(jīng)學(xué)過了《曹沖稱象》，為什么還要學(xué)呢？

師：真是會思考的孩子。是呀！語文課都學(xué)過了，那你們覺得數(shù)學(xué)課為什么還要學(xué)呢？

生：語文課學(xué)的是曹沖稱象的方法，數(shù)學(xué)課學(xué)的可能和秤有關(guān)。

師（小結(jié)）：同學(xué)們都認為這個故事中有語文課沒有講到的數(shù)學(xué)知識。現(xiàn)在請大家用數(shù)學(xué)的眼光來重新看曹沖稱象，看看里面還藏著哪些和數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容。

（播放故事視頻）

【設(shè)計意圖】教師從語文課的話題入手，引發(fā)學(xué)生思考為什么語文課學(xué)過的內(nèi)容數(shù)學(xué)課還要學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生初步用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

二、梳理步驟，聚焦使用工具

1.描述身邊物品的質(zhì)量

師：故事中的大象的重量數(shù)學(xué)上也稱為大象的質(zhì)量，書的重量就是什么？

生（齊）：書的質(zhì)量。

師：這個小朋友的體重呢？

生（齊）：就是這個小朋友的質(zhì)量。

2.梳理稱象方法和工具

師：故事中一共出現(xiàn)了幾種稱象的方法，分別用到了哪些工具？

學(xué)生討論得出三種方法。

師：請大家對稱象步驟進行排序。

學(xué)生討論，教師板書如下：

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)進行了兩次梳理，第一次是在故事回顧中聚焦稱重工具；第二次是梳理出稱象過程的關(guān)鍵步驟，篩選出步驟方法，為下個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

三、重溫轉(zhuǎn)化，構(gòu)建等量關(guān)系

1.討論船在稱象過程中所起的作用

師：哪幾個步驟用到了船？

生：在①、②、③、④步中用到了船。

師：船在這個過程中起到了什么作用？

生：船是用來稱大象的。

生：船就像我們學(xué)過的等量代換，它把大象換成了石頭。

2.建立“大象的質(zhì)量=船上石頭的總質(zhì)量”的等量關(guān)系

師：稱的明明是大象的質(zhì)量，為什么曹沖要把大象換成石頭？

生：因為大象太重了，無法稱，但是石頭的質(zhì)量是可以稱出來的。

師：除了石頭還可以換成什么？

生：可以換成沙子。

生：可以換成磚塊。

生：只要可以用秤稱出重量的都可以換。

師（小結(jié)）：因為大象不能直接稱，換成石頭就可以稱了。

（板書“不能稱→可以稱”）

師：在換的過程中保證質(zhì)量不變，這樣的換法就叫做轉(zhuǎn)化。

（板書“轉(zhuǎn)化”）

師：在換的過程中，曹沖是怎樣保證質(zhì)量不變的？

生：他在船舷上刻了一條線。

師（小結(jié)）：放石頭下沉到畫線處是為了保證大象的質(zhì)量和船上石頭的總質(zhì)量相等，這就是兩個相等的量。

教師板書如下：

lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼尋找等量-5.tifgt;

3.建立“船上石頭的總質(zhì)量=各次稱出的石頭質(zhì)量的和”的等量關(guān)系

師：那接下去船上的一大堆石頭怎么辦？

生：一小塊一小塊地稱，然后再把稱出來的質(zhì)量合起來。

師：你能在這里找到轉(zhuǎn)化嗎？

生：船上一大堆石頭的總質(zhì)量轉(zhuǎn)化成了一小塊一小塊石頭的質(zhì)量，把每一小塊石頭的質(zhì)量合起來就是石頭的總質(zhì)量。

師：你找到的就是第二組相等的量，船上石頭的總質(zhì)量轉(zhuǎn)化成各次稱出的石頭質(zhì)量的和。

教師板書如下：

師：你知道這里的“各次”“質(zhì)量的和”分別表示什么意思嗎？

生：各次就是每一次。

生：“質(zhì)量的和”表示把每一次稱出來的質(zhì)量加起來的和。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)是這節(jié)課的核心教學(xué)內(nèi)容，教師以兩個關(guān)鍵問題引領(lǐng)學(xué)生探討船的作用與價值，第一個關(guān)鍵問題是：船在這個過程中起到了什么作用？第二個關(guān)鍵問題是：除了石頭，還可以換成其他東西嗎？通過這兩個關(guān)鍵問題，學(xué)生慢慢意識到，不管是船還是秤，兩種工具的價值就是“換”，把不能稱的換成可以稱的，這就是轉(zhuǎn)化的本質(zhì)。

三、依托情境，理解基本事實

1.理解“等量的等量相等”的含義

師：觀察黑板上的兩個等式，你們有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)大象的質(zhì)量、各次稱出的石頭質(zhì)量的和都等于船上石頭的總質(zhì)量。

師：誰能上來修改一下，把這兩個式子變成一個式子呢？

學(xué)生調(diào)整如下：

師：在這個連續(xù)相等的式子中，你們能找到哪些相等的量？

生：大象的質(zhì)量等于船上石頭的總質(zhì)量。

生：船上石頭的總質(zhì)量等于各次稱出的石頭質(zhì)量的和。

生：大象的質(zhì)量等于各次稱出的石頭質(zhì)量的和。

師：這組相等的量沒有直接表示出來，你們又是怎么知道的呢？

生：因為大象的質(zhì)量和各次稱出的石頭質(zhì)量的和都和船上石頭的質(zhì)量相等，所以它們也是相等的。

師：大家說得很好！這是相等的量，這也是相等的量，相等的量和相等的量也是相等的，所以我們說“等量的等量相等”，這是一條重要的數(shù)學(xué)規(guī)律，同學(xué)們讀一讀。

師：在剛才整理的過程中，你們先找到了哪個等量？

生：船上石頭的總質(zhì)量。

師：那第二個等量表示什么意思？

生：大象的質(zhì)量和各次稱出的石頭質(zhì)量的和。

生：表示的是大象的質(zhì)量和各次稱出的石頭質(zhì)量的和相等。

2.理解“總量等于各分量之和”的含義

師：我們利用船和秤，將大象的質(zhì)量轉(zhuǎn)化成了每一塊小石頭的質(zhì)量和，每一塊小石頭的質(zhì)量加起來就是船上石頭的總質(zhì)量，也就是大象的總質(zhì)量。這也是一條重要的數(shù)學(xué)規(guī)律：總量等于各分量之和。

師：在曹沖稱象的故事中，各分量之和指的是什么？總量又指的是什么？

生：各分量之和就是把每一小塊石頭的質(zhì)量合起來的意思。

生：總量就表示船上石頭的總質(zhì)量。

【設(shè)計意圖】三年級的學(xué)生對兩個基本事實的理解是有難度的。因此，在教學(xué)中，教師充分利用曹沖稱象的故事，并從中引出兩條基本事實，得出規(guī)律后，又讓學(xué)生借助故事理解基本事實，進一步加深對基本事實的理解。

四、運用轉(zhuǎn)化，解決生活問題

1.稱出一個兩個月的嬰兒的質(zhì)量

師：現(xiàn)在要用體重秤稱兩個月嬰兒的質(zhì)量，你們有辦法嗎？

生：往家里的浴缸里倒入一些水，放一個澡盆在里面，先把嬰兒放到澡盆里，沿著水面畫一條線，然后把嬰兒抱出來，放一些書進去使澡盆下沉到畫線的地方，然后再稱一下書的質(zhì)量，就可以知道嬰兒的質(zhì)量了。

師：他直接模仿曹沖稱象的方法，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用！誰來找一找這個方法中的兩個等量分別是什么。

生：第一個等量是一堆書的總質(zhì)量，第二個等量是嬰兒的質(zhì)量和書的質(zhì)量的和相等。

師：還有其他的方法稱出嬰兒的質(zhì)量嗎？

生：也可以媽媽先抱著嬰兒稱出質(zhì)量，然后媽媽自己稱一下，最后兩個質(zhì)量相減就是嬰兒的質(zhì)量。

師：這種方法運用了哪一條數(shù)學(xué)規(guī)律呢？

生：用的是總量等于各分量之和這一條規(guī)律。

師：要求嬰兒的質(zhì)量，應(yīng)該怎么做？

生：只要把媽媽和嬰兒的總質(zhì)量減去媽媽的質(zhì)量，剩下的就是嬰兒的質(zhì)量。

2.稱一張A4紙的質(zhì)量

師：一張紙那么輕，怎樣才能稱出它的質(zhì)量呢？

生：可以先數(shù)出100張紙，稱出質(zhì)量，然后再除以100，就是一張紙的質(zhì)量。

師：這又是運用了哪一條規(guī)律呢？

生：運用的是總量等于各分量之和這條規(guī)律。

師：這里的分量表示什么？

生：表示的是每一張紙的質(zhì)量。

師：先算出100個相同的分量，然后再利用除法求出一個分量，這也是一個好方法。

3.出示生活中的情景，尋找相等的量

師：仔細觀察上圖，你能找到哪些相等的量？

生：兩個圓柱的質(zhì)量和六個正方體的質(zhì)量相等。

生：兩個圓柱的質(zhì)量和一個球的質(zhì)量相等。

生：六個正方體的質(zhì)量和一個球的質(zhì)量相等。

師：前面兩個相等的量都是通過天平直接得到的，那第三個等量關(guān)系又是怎么來的呢？

生：因為六個正方體的質(zhì)量和一個球的質(zhì)量都和兩個圓柱的質(zhì)量相等，所以它們也是相等的。

師：哦，原來等量的等量相等。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過計算“嬰兒質(zhì)量”“1張白紙質(zhì)量”，在天平中找等量關(guān)系，鞏固兩個基本事實，同時在比較中初步感悟不同的轉(zhuǎn)化方法適合不同的生活情境。

五、全課小結(jié)，延伸思考

師：現(xiàn)在你們來說一說，語文課和數(shù)學(xué)課的“曹沖稱象”有什么不一樣？

生：在數(shù)學(xué)課上，我知道了等量的等量相等、總量等于各分量之和這兩條規(guī)律，這在語文課上是沒有的。

生：在數(shù)學(xué)課上，我還知道了船和秤的作用都是用來轉(zhuǎn)化的。

師：本課我們從數(shù)學(xué)的角度討論了怎樣稱像大象這種特別巨大的動物的質(zhì)量，那到底大象有多重？又該用什么樣的單位來描述呢？在后面的學(xué)習(xí)中我們還將進一步研究。

【設(shè)計意圖】課尾結(jié)語與開課導(dǎo)入環(huán)節(jié)相呼應(yīng)，打破了學(xué)科邊界，既回顧本課，也引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科之間的差異，進一步感受數(shù)學(xué)視角下的事物特性。

【課后反思】

一、依托故事，在具身操作中感悟基本事實

在教學(xué)中，教師緊緊圍繞曹沖稱象的故事設(shè)計了三個階層活動來引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基本事實。第一個層次，學(xué)生通過對故事的梳理，挖掘并提煉出兩組等量關(guān)系，即大象的質(zhì)量等于船上石頭的總質(zhì)量，船上石頭的總質(zhì)量等于各次稱出的石頭質(zhì)量的和。第二個層次，學(xué)生觀察兩組等量關(guān)系，憑借已有的等量關(guān)系的經(jīng)驗以及對中間量的推理分析，將兩組等量關(guān)系改寫成連等形式。第三個層次，學(xué)生結(jié)合故事說一說兩個等量分別指的是什么，相等又表示什么。學(xué)生從具體故事入手，經(jīng)歷尋找、分析、解釋的步驟，感悟基本事實，逐步建立起對抽象數(shù)學(xué)事實的清晰認知。

二、借助生活，在問題解決中感悟數(shù)學(xué)思想

對轉(zhuǎn)化思想的理解是本課的核心。關(guān)于轉(zhuǎn)化思想的感悟，主要落實在兩個環(huán)節(jié)：一是在基本事實的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，教師借助“船”和“秤”讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的目的就是“換”，把大象的質(zhì)量換成石頭的質(zhì)量，把一大堆石頭的質(zhì)量換成一小堆石頭的質(zhì)量和；教師引導(dǎo)學(xué)生借助石頭理解“等量”，在船上畫線，保證大象的質(zhì)量和石頭的質(zhì)量相等，通過這種等量關(guān)系實現(xiàn)了轉(zhuǎn)化。二是在練習(xí)環(huán)節(jié)中，稱取嬰兒的質(zhì)量和一張白紙的質(zhì)量時，需要深入思索怎么換、怎樣保證相等，通過這樣的思考，學(xué)生能夠進一步鞏固和運用轉(zhuǎn)化思想，深刻理解轉(zhuǎn)化的本質(zhì)在于尋找合適的替換方式，同時確保等量關(guān)系的存在，從而將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，提升解決實際問題的能力。

三、突破思維定式，在學(xué)科融合中培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光

在教學(xué)中，教師著力突破學(xué)生對曹沖稱象的思維定式，將語文學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科加以融合。一方面，語文課先行學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，為學(xué)生理解整個稱象的過程奠定了良好的基礎(chǔ)，有利于教師引導(dǎo)學(xué)生對故事進行深入剖析，尋找其中蘊含的等量關(guān)系，進而促使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)基本事實的深刻內(nèi)涵。另一方面，學(xué)生通過對比，能夠清晰地發(fā)現(xiàn)，面對同一事物時，語文學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科視角所存在的差異。學(xué)科融合教學(xué)，不僅豐富了課堂的趣味性和多樣性，更激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探索欲望，在生活中更敏銳地捕捉數(shù)學(xué)的影子，運用所學(xué)知識去探索未知的數(shù)學(xué)世界。

（作者單位：浙江省慈溪市第四實驗小學(xué) 浙江省寧波市奉化區(qū)教育局教研室）