勾股定理在平面幾何題型中的解題技巧例析

【摘要】勾股定理是初中數(shù)學(xué)中比較基礎(chǔ)的知識點，它猶如一把鑰匙，開啟了眾多幾何問題解答的大門，也是解答一些問題的要點所在.應(yīng)用勾股定理解題具有廣泛性，具體體現(xiàn)在不同題型上，如最短距離問題、網(wǎng)格線段問題和解三角形問題.本文以不同例題為例，深入剖析解題思路，幫助學(xué)生更快速地理解和應(yīng)用勾股定理.使學(xué)生在面對各類相關(guān)題目時能夠游刃有余，提升解題效率與能力，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】勾股定理；平面幾何題型；解題技巧

1" 最短距離問題

應(yīng)用勾股定理求解最短距離問題主要是求解幾何體的任意兩點之間的最短距離，在實際解題中，需要結(jié)合問題特點構(gòu)造出不同的直角三角形.由于幾何體的復(fù)雜性，解答過程中可能會出現(xiàn)不同距離的情況，這就需要嚴謹?shù)赝ㄟ^比較分析，去偽存真，從而精準地得到最終答案，確保解題的準確性與完整性.同時還需深入理解勾股定理的本質(zhì)內(nèi)涵，靈活運用其公式變形，充分考慮各種可能的幾何關(guān)系，以提升解決此類問題的能力.

例1" 圖1是放在地上的一個長方體盒子，其中AB=9，BC=6，BF=5，點M在棱AB上，且AM=3，點N是FG的中點，一只螞蟻沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為.

圖1

解如圖2所示，

圖3

因為AB=9，BC=6，BF=5，AM=3，

所以BM=6，BN=8，

所以MN=62+82=10.

如圖3所示，

因為AB=9，BC=GF=6，BF=5，

所以PM=9，NP=5，

所以MN=92+52=106.

因為10＜106，

所以它需要爬行的最短路程為10.

2" 網(wǎng)格線段問題

網(wǎng)格線段問題是靈活應(yīng)用勾股定理的充分體現(xiàn)，它為學(xué)生提供了一個直觀且富有變化的解題環(huán)境.結(jié)合網(wǎng)格可以任意構(gòu)造直角三角形并應(yīng)用勾股定理求解，這也需要學(xué)生熟悉并掌握圖形特點和性質(zhì).在網(wǎng)格線段中應(yīng)用勾股定理求解，主要是要找出與頂點有關(guān)的直角三角形，也需要結(jié)合一些常見三角形邊長來解答問題，進而提升解題效率與技巧.

例2" 如圖4所示，在6×6的網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，在圖中找一個格點D，使以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形.

解" 畫出如圖5所示的圖形，由勾股定理可得，

CD=AB=CD′=5，BD=AC=BD″=13，AD′=BC=AD″=10，

故四邊形ABDC、四邊形ABCD′、四邊形ACBD″是平行四邊形.

圖5

3" 解三角形問題

解三角形問題是初中數(shù)學(xué)平面幾何知識中的綜合問題，構(gòu)造直角三角形并求解邊長往往是解題的關(guān)鍵.求解過程中，需要結(jié)合其他平面圖形性質(zhì)進行分析，如圓的相關(guān)定理等，再進一步對問題作出解答.此外，還需留意三角形內(nèi)角和、等腰三角形兩腰相等、相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，綜合運用這些知識，逐步推導(dǎo)計算，再進一步對問題作出全面而準確的解答，從而提升學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.

例3" 如圖6所示，圓O的半徑OD垂直弦AB于點C，連接AO并延長交圓O于點E，連接BE，若AB=8，BE=6，則CD的長為（" ）

圖6

（A）2." （B）2.5." （C）3." （D）4.

解" 設(shè)⊙O的半徑為r，

因為OD⊥AB，AB=8，

所以AC=BC=4.

因為AE為直徑，

所以BE⊥AB.

又因為點O是AE的中點，

所以O(shè)C=12BE=3.

在Rt△AOC中，

因為OA2=OC2+AC2，

所以r2=32+42=25，

解得r=5，

所以O(shè)D=5，CD=OD－OC=2.

正確答案為選項（A）.

上述例題分別對勾股定理在不同類型問題中的具體應(yīng)用進行了分析與總結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)，最短距離問題應(yīng)用勾股定理最直接，網(wǎng)格線段問題應(yīng)用勾股定理比較靈活，解三角形問題應(yīng)用勾股定理最綜合.每類問題都各有特點，需要通過練習(xí)來掌握.學(xué)生在練習(xí)時，應(yīng)注重對不同題型的歸納整理，深入理解勾股定理在各類問題中的應(yīng)用思路與方法，學(xué)會從復(fù)雜圖形中識別關(guān)鍵信息，構(gòu)建直角三角形模型，不斷積累解題經(jīng)驗，從而提高運用勾股定理解決平面幾何問題的能力，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ).

參考文獻：

［1］卜建紅.初中數(shù)學(xué)平面幾何題型解決策略——以“勾股定理”為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（03）：74-75+79.

［2］吳霖杰.初中數(shù)學(xué)平面幾何題型的解題技巧研究——以“勾股定理”為例［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2023（33）：150-152.