巧用圖形面積求反比例函數(shù)的系數(shù)k

【摘要】反比例函數(shù)是數(shù)學中的重要內容，系數(shù)在其中起著關鍵作用．本文著重探討如何巧妙地利用圖形面積求解反比例函數(shù)的系數(shù)．通過詳細闡述反比例函數(shù)中常見的圖形面積關系，結合具體實例進行分析，展示這種方法的簡便性和有效性，同時討論在實際應用中可能遇到的問題及應對策略，旨在幫助讀者深入理解并掌握這一解題技巧，提高數(shù)學解題能力．

【關鍵詞】反比例函數(shù)；系數(shù)；解題技巧

反比例函數(shù)在數(shù)學中具有廣泛的應用，其表達式為y=kx（k為常數(shù)，k≠0，x≠0）．其中，系數(shù)k決定了函數(shù)的特征．在解決與反比例函數(shù)相關的問題時，巧妙地利用圖形面積與系數(shù)k的關系，往往能夠化繁為簡，快速準確地求得k的值．

1" 運用矩形面積求k的值

例1" 矩形ABCD的頂點A和對稱中心在反比例函數(shù)y=kxk≠0，xlt;0上，若矩形ABCD的面積為10，則k的值為"" "．

解析" 連接BD交反比例函數(shù)的圖象于點E，如圖1所示．因矩形ABCD的頂點A和對稱中心在反比例函數(shù)y=kx（k≠0，xgt;0）的圖象上，所以點E為矩形ABCD的對稱中心，即點E為BD的中點，設OB=a，AB=b，AD=c，則點A（－a，b），B（-a，0）．因四邊形ABCD為矩形，所以BC=AD=c，CD=AB=b，CD⊥x軸，點D（－a－c，b）．因點E為BD的中點，所以點E的坐標為－2a－c2，b2．因為點A，E均在反比例函數(shù)y=kx（k≠0，xgt;0）的圖象上，所以k=－ab=－2a－c2·b2，整理得2ab=bc．

因為矩形ABCD的面積為10，

所以bc=10，

所以2ab=10，

所以k=－ab=－5．

圖1

點評" 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點、矩形的性質.理解反比例函數(shù)圖象上的點滿足反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握矩形的性質是解決問題的關鍵．根據(jù)矩形的性質得點D（－a－c，b），則點E（－2a－c2，b2），進而得k=－ab=－2a－c2·b2，整理得2ab=bc，然后根據(jù)矩形ABCD的面積為10得bc=10，由此得ab=5，進而可得k的值．

2" 運用矩形面積和求k的值

例2" 如圖2，過y=kxk≠0，xgt;0的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交y=－2x的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=112，則k=""" "．

解析" 依題意，設Aa，b，則B－2b，b，Da，－2a，C－2b，－2a．因為點A在y=kx（xgt;0）的圖象上，則S1=ab=k，同理因為B，D兩點在y=－2x的圖象上，則S2=S4=2．因為S2+S3+S4=112，所以S3=112－2－2=32．又因為S3=－2b×－2a=32，故ab=83，所以k=83．

圖2

點評" 本題考查了反比例函數(shù)的性質即系數(shù)k的幾何意義，設出A點的坐標，可表示出其他三個點的坐標，根據(jù)坐標求得S1=ab=k，S2=S4=2，推得S3=－2b×－2a=32．

3" 運用三角形面積求k的值

例3" 如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，MN垂直于x軸，以MN為對稱軸作△ODE的軸對稱圖形，對稱軸MN與線段DE相交于點F，點D的對應點B恰好落在反比例函數(shù)y=kxk≠0，xlt;0的圖象上，點O，E的對應點分別是點C，A．若點A為OE的中點，且S△EAF=12，則k的值為""" ．

解析" 連接BO，設對稱軸MN與x軸交于點G，如圖3．因為△ODE與△CBA關于對稱軸MN對稱，所以AG=EG，AC=EO，EC=AO．因為點A為OE的中點，設AG=EG=a，則EC=AO=AE=2a，所以AC=EO=4a．

圖3

因為S△EAF=12，所以S△EGF=12S△EAF=14．

因為GF∥OD，所以△EFG∽△EDO，

所以S△EGFS△EOD=EGEO2，即14S△EOD=a4a2，

所以S△EOD=14×16=4，

所以S△ACB=4．

因為AC=4a，AO=2a，

所以S△OCB=S△ACB+S△AOB=4+2=6，

所以12k=6，所以k=±12．

因為klt;0，所以k=－12．

點評" 連接BO，設AG=EG=a，由對稱的性質知EC=AO=AE=2a，AC=EO=4a，利用相似三角形的判定和性質求得S△EOD=14×16=4，則S△ACB=4，根據(jù)S△OCB=S△ACB+S△AOB以及反比例函數(shù)的幾何意義求解即可．

4" 結語

巧用圖形面積求反比例函數(shù)的系數(shù)k是一種有效的解題方法，它不僅能夠簡化計算，還能加深對反比例函數(shù)性質的理解．在實際應用中，要充分認識其優(yōu)勢和局限性，結合具體問題靈活運用．通過不斷的練習和總結，能夠更好地掌握這一方法，提高解決數(shù)學問題的能力．同時，這也啟示學生在數(shù)學學習中，要善于發(fā)現(xiàn)不同知識點之間的聯(lián)系，探索多樣化的解題途徑，從而提升數(shù)學素養(yǎng)和思維能力．