“設而不求”思想在導數中的應用

【摘要】“設而不求”是中學數學中的重要思想方法，本文聚焦數學思想方法，給出“設而不求”在多個方面問題中的應用.

【關鍵詞】設而不求；導數；函數極值

在高考數學試題中，無論是平面解析幾何，還是利用導數研究函數性質，“設而不求”都是一類常見的思想方法，它的正確運用不僅會使得問題變得直觀化，而且能夠簡化運算.

所謂的“設而不求”，是指設出相關點的坐標，但是不用去求它的具體數值，而是通過一系列的轉化［1］，從而達到求解某個問題的目的.

1" 利用“設而不求”思想設根求解

例1" 設函數f（x）=e2x－alnx.

（1）討論f（x）的導函數f′（x）零點的個數；

（2）求證：當agt;0時，f（x）≥2a+aln2a.

解析" （1）方法1

f′（x）=2e2x－ax（xgt;0）．

當a≤0時，f′（x）gt;0，f′（x）沒有零點．

當agt;0時，設u（x）=e2x，v（x）=－ax，

因為u（x）=e2x在（0，+∞）上單調遞增，v（x）=－ax在（0，+∞）上單調遞增，

所以f′（x）（0，+∞）上單調遞增．

又因為f′（a）＞0，假設存在b，

當b滿足0＜b＜a4且b＜14時，f′（b）＜0，

所以當agt;0時，f′（x）存在唯一零點．

方法2

f′（x）=2e2x－ax（xgt;0）．

令方程f′（x）=0，得a=2xe2x（xgt;0）．

因為函數g（x）=2x（xgt;0），h（x）=e2x（xgt;0）均是函數值為正值的增函數，

所以由增函數的定義可證得函數u（x）=2xe2x（xgt;0）也是增函數，其值域是（0，+∞）．

由此可得，當a≤0時，f′（x）無零點；

當agt;0時，f′（x）有唯一零點．

（2）證明" 由（1）可設f′（x）在（0，+∞）上的唯一零點為x0，

當x∈（0，x0）時，f′（x）lt;0；

當x∈（x0，+∞）時，f′（x）gt;0.

所以f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

當且僅當x=x0時，f（x）取得最小值，最小值為f（x0）．

因為2e2x0-ax0=0，

所以f（x0）=a2x0+2ax0+aln2a≥2a2x0×2ax0+aln2a=2a+aln2a（當且僅當x0=12時等號成立）．

所以當agt;0時，

f（x）≥2a+aln2a.

點評" 本題第（2）問的解題思路是求函數f（x）的最小值，因此需要求f′（x）=0的根，但是f′（x）=2e2x－ax=0的根無法求解．故設出f′（x）=0的根為x0，通過證明f（x）在（0，xo）和（xo，+∞）上的單調性知f（x）min=f（x0）=a2x0+2ax0+aln2a，進而利用基本不等式證得結論，其解法類似解析幾何中的“設而不求”．

2" 利用“設而不求”思想替換字母參數

例2" （2023安徽合肥模擬）已知f（x）=ex－mx.

（1）若曲線y=lnx在點（e2，2）處的切線也與曲線y=f（x）相切，求實數m的值；

（2）試討論函數f（x）零點的個數.

解析" （1）曲線y=lnx在點（e2，2）處的切線方程為y－2=1e2（x－e2），

即y=1e2x+1.

設該切線與曲線f（x）=ex－mx相切于點（x0，ex0－mx0），

則切線方程為y=（ex0－m）x－ex0（x0－1），

所以ex0－m=e－2，ex0－x0ex0=1，

所以m+e－21－ln（m+e－2）=1，

令m+e－2=t，則t（1－lnt）=1，

記g（t）=t（1－lnt），

g′（t）=1－（1+lnt）=－lnt，

于是，g（t）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

所以g（t）max=g（1）=1，

于是t=m+e－2=1，m=1－e－2.

（2）f′（x）=ex－m，

當mlt;0時，f′（x）gt;0恒成立，f（x）在R上單調遞增，

且f（0）=1－mgt;0，

f1m=e1m－1lt;0

所以函數f（x）在R上有且僅有一個零點；

當m=0時，f（x）=ex在R上沒有零點；

當mgt;0時，令f′（x）gt;0，

則xgt;lnm，即函數f（x）的增區間是（lnm，+∞），

同理，減區間是（－∞，lnm），

所以f（x）min=m（1－lnm）.

①若0lt;mlt;e，則f（x）min=m（1－lnm）gt;0，f（x）在R上沒有零點；

②若m=e，則f（x）=ex－ex有且僅有一個零點；

③若mgt;e，則f（x）min=m（1－lnm）lt;0.

f（2lnm）=m2－2mlnm=m（m－2lnm），

令h（m）=m－2lnm，則h′（m）=1－2m，

所以當mgt;e時，h（m）單調遞增，h（m）gt;h（e）gt;0.

所以f（2lnm）=m2－2mlnm=m（m－2lnm）gt;m（e－2）gt;0

又因為f（0）=1gt;0，

所以f（x）在R上恰有兩個零點，

綜上所述，當0≤mlt;e時，函數f（x）沒有零點；當mlt;0或m=e時，函數f（x）恰有一個零點；當mgt;e時，f（x）恰有兩個零點.

點評" 在第（1）問的求解過程中，通過變量t進行等量代換m+e－2，從而構造出新的函數g（t）=t（1－lnt），最后通過對所構造的函數求出t值，進而間接求出參數m的值.

參考文獻：

［1］蓋傳敏.例談“設而不求”在導數問題中的應用［J］.高中數學教與學，2017（05）：46-47.