初中數學幾何中線問題巧解

【摘要】初中階段，學生的學業負擔加重，知識點逐漸增多，面對中考各科的壓力，學會使用恰當的方法解題成為學生需要提升的關鍵素養.本文旨在探究三角形中線問題的解決，為學生提供解決問題思路的同時，給一線教師提供教學參考.

【關鍵詞】初中數學；三角形中線；解題技巧

1前提：核心模型講解

例1如圖1，三角形ABC中，AF，BE，CD分別為邊BC，AC，AB的中線且交于點O.請證明S△AOD=S△BOD=S△BOF=S△AOE=S△COE=S△COF.

證明因為AF為BC邊上的中線，

所以S△ABF=12S△ABC

同理：S△ABE=12S△ABC，

所以S△ABF=S△ABE，

所以S△ABF－S△ABO=S△ABE－S△ABO，

所以S△BOF=S△AOE，

同理，S△AOB=S四邊形CEOF，

又因為點E，F都是中點，

所以S△BOF=S△AOE=S△COF=S△COE，

同理可得S△AOD=S△BOD=S△BOF=S△AOE=S△COE=S△COF.

2題目實訓

題目1（中位線+8字相似或面積法）

例2如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，中線AD、CE相交于點F，則EF是多少？

解法1DE=12AC.

如圖3，連接DE，

因為D，E為中點，

所以，易證，△DFE∽△AFC，

所以EF=12CF=13CE，

又因為CE=12AB，

所以EF=16AB=52.

解法2（面積法）

易得，S△ACF=2S△AEF

所以EF=12CF=13CE，

又因為CE=12AB，

所以EF=16AB=52.

題目2（中位線+8字全等）

例3如圖4，在△ABC中，AC=4，AD為BC邊上的中線，E是AD中點，連接BE并延長AC于點F，求AF的長.

解過點D作DG∥AC交BF于點G.

因為DG∥AC，

所以∠GDE=∠FAE，

又因為E是AD中點，

所以AE=DE，

又因為∠GED=∠FEA，

所以△GED≌△FEA（ASA），

所以AF=DG，

又因為點D為BC中點，且DG∥AC，

所以DG=AF=12FC，

所以AF=13AC=43.

題目3（斜中線定理+相似）

例4如圖5，已知點E是正方形ABCD內部一點，且∠BEC=90°.連接DE并延長交BC于點F，當點F是BC的中點時，求CEBE的值.

解過點E作EG⊥BC交BC于點G，設BC為x，FG為y.

易得△BGE∽△EGC，

所以CGCE=EGBE①.

因為△EFG∽△DFC，

所以FGFC=EGCD，

所以y12x=EGx，

所以EG=2y②.

EF=5y，CG=CF-FG=x2-y）

將②代入①中得，CEBE=12x－y2y，

因為EF=FC=12x=5y，

所以CEBE=5－12.

3結語

在初中數學的學習中，各種知識點錯綜復雜又相互聯系，尤其是到了初三的復習階段.本文提供了一些中線問題的典型例題及解題思路，可以幫助學生建立模型意識，快速解題，便于學生復習并鞏固知識點.本文提供了面積法解中線問題的核心模型，可以幫助學生快速掌握該種解題思路，從而達到理解掌握并應用的目的.