構(gòu)建“四點(diǎn)共圓”模型求最值的典例精講

【摘要】在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)科目中，學(xué)習(xí)幾何圖形內(nèi)容時(shí)，常常會遇到求解最值的情況.想要解決此類難題，構(gòu)建與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，便成了解決方法之一，而“四點(diǎn)共圓”模型便是其中一種較為特別的幾何模型.本文通過不同題型的典例，詳細(xì)地講解“四點(diǎn)共圓”模型在解題過程中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生加深理解這一模型并運(yùn)行熟練運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】“四點(diǎn)共圓”模型；最值；初中數(shù)學(xué)

“四點(diǎn)共圓”模型，即在同一平面內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)位于同一圓上.這一特殊的幾何模型中，包含了與圓相關(guān)的性質(zhì)與定理、與四邊形相關(guān)的性質(zhì)等重點(diǎn)內(nèi)容.

在求解幾何圖形的最值時(shí)，經(jīng)常會面臨幾何圖形變換的情況，當(dāng)它們與“四點(diǎn)共圓”模型相互結(jié)合后，就會產(chǎn)生一系列的奇妙變化.本文將以講解例題的形式，分別探討“四點(diǎn)共圓”模型與“動點(diǎn)”“旋轉(zhuǎn)”相結(jié)合后的應(yīng)用.

1在“動點(diǎn)”的情境下，構(gòu)建“四點(diǎn)共圓”模型求最值

“動點(diǎn)”，即一點(diǎn)在平面內(nèi)按照某種規(guī)律移動，它是幾何圖形變換中最為基礎(chǔ)的部分.因“動點(diǎn)”的移動，進(jìn)而可產(chǎn)生出對最值求解的數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建出“四點(diǎn)共圓”模型，靈活運(yùn)用其判定條件，再結(jié)合“動點(diǎn)”的移動規(guī)律，可解答此類難題.

典例呈現(xiàn)

例1如圖1所示，Rt△BEF的頂點(diǎn)F，此時(shí)正在矩形ABCD的對角線AC上運(yùn)動，現(xiàn)連接AE，已知∠EBF與∠ACD的度數(shù)相等，AB的長度是6，BC的長度是8，那么AE的最小值是.

解題思路

（1）熟讀題目，作輔助線，過點(diǎn)B作BG⊥AC，并交AC于點(diǎn)G，連接EG；

（2）根據(jù)∠BEF=∠BGF=90°，得出點(diǎn)E、點(diǎn)B、點(diǎn)F、點(diǎn)G四點(diǎn)共圓；

（3）利用圓內(nèi)四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，求證∠AGE=∠ACD，推導(dǎo)出點(diǎn)E在射線GE上運(yùn)動，當(dāng)AE⊥EG時(shí)，AE有最小值；

（4）利用矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，求得AE的最小值A(chǔ)G·sin∠AGE.

解析過點(diǎn)B作BG⊥AC，并交AC于點(diǎn)G，連接EG，如圖2所示.

由圖2可知，∠BEF=∠BGF=90°，所以點(diǎn)E、點(diǎn)B、點(diǎn)F、點(diǎn)G四點(diǎn)共圓.

所以∠EGB=∠EFB.

因?yàn)椤螮BF+∠EFB=90°，∠AGE+∠EGB=90°，

所以∠AGE=∠EBF.

因?yàn)椤螮BF=∠ACD，

所以∠AGE=∠ACD，

所以點(diǎn)E在射線GE上運(yùn)動，當(dāng)AE⊥EG時(shí)，AE有最小值.

在矩形ABCD中，AB=CD=6，

AD=BC=8，∠D=∠ABC=90°，

可求得，在Rt△ACD中，

AC=CD2+AD2=62+82=10，

所以sin∠AGE=sin∠ACD=ADAC=45.

在Rt△ABC中，

S△ABC=12AB·BC=12AC·BG，

即12×6×8=12×10×BG，

可解得BG=245.

在Rt△AGB中，根據(jù)勾股定理可得

AG=AB2－BG2=62－2452=185.

所以AEmin=AG·sin∠AGE=185×45=7225.

2在“旋轉(zhuǎn)”的情境下，構(gòu)建“四點(diǎn)共圓”模型求最值

“旋轉(zhuǎn)”，作為一種最為常見的幾何圖形變換方式，在保證其形狀與大小不會改變的前提下，通過改變幾何圖形的方向與位置，進(jìn)而產(chǎn)生了一系列求解最值的數(shù)學(xué)問題.構(gòu)建“四點(diǎn)共圓”模型，可將求解題目中某些復(fù)雜的過程簡單化.

典例呈現(xiàn)

例2如圖3所示，△ABC與△DCE都是等邊三角形，△ABC的邊長是5，△DCE的邊長是3，已知直線BD與直線AE相交于點(diǎn)F.現(xiàn)將△DCE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則在這個(gè)旋轉(zhuǎn)的過程中，線段AF長度的最小值是.

解題思路

熟讀題目，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ACE與△BCD全等，從而得出∠AFB=60°，進(jìn)而得出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)F、點(diǎn)C四點(diǎn)共圓；結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，從而得出當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，CD⊥BF，∠FBC最大，那么∠ABF最小，此時(shí)線段AF才會有最小值；然后再結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)，求解出最后結(jié)果.

解析假設(shè)直線BF與直線AC相交于點(diǎn)H，如圖4所示.

由題意可知，△ABC與△DCE都是等邊三角形，

那么AC=BC，DC=EC，

∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，

所以∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，

即∠DCB=∠ECA

由以上可得，利用SAS可證明△ACE與△BCD全等，可得知AE=BD，∠EAC=∠DBC，

又因?yàn)椤螦HF=∠BHC，

可求得∠AFB=∠ACB=60°.

所以點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)F、點(diǎn)C四點(diǎn)共圓.

因?yàn)辄c(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓上，只有當(dāng)直線BF作為圓C的切線存在時(shí)，∠FBC最大，即CD⊥BF，此時(shí)∠ABF最小，線段AF才會有最小值.

在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，

則BD=BC2－CD2=52－32=4，

即AE=BD=4.

所以∠FDE=180°－∠BDC－∠CDE=180°－90°－60°=30°.

因?yàn)椤螦FB=60°，

所以∠FDE=∠FED=30°，

所以FD=FE，即△DEF為等腰三角形.

過點(diǎn)F作FG⊥DE，并交線段DE于點(diǎn)G，

所以DG=EG=12DE=12×3=32，

所以FE=FD=DGcos30°=3，

所以AF=AE－FE=4－3.

綜上所述，線段AF長度的最小值是4－3.

3結(jié)語

通過本文中對于典例的講解，分別在“動點(diǎn)”與“旋轉(zhuǎn)”這兩種幾何圖形變換的情境下，探討了如何構(gòu)建“四點(diǎn)共圓”模型，以此求解最值這類難題.在面臨相對有些難度的幾何圖形問題時(shí)，不妨嘗試著構(gòu)建一些數(shù)學(xué)模型來解答，這樣可以將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡化，可大大地省略繁瑣的計(jì)算步驟.