運用基本圖形，巧證線段相等

【摘要】線段相等問題是初中數學平面幾何中的一類經典問題，考查學生對于平面幾何基礎知識的掌握程度和對相關定理的應用能力.但是部分學生對相應的條件運用理解尚淺，無法提高解題效率.本文探究一道典型例題的多種解法，運用基本圖形巧證線段相等，以供讀者參考.

【關鍵詞】初中數學；線段問題；解題技巧

平面幾何問題中的特殊三角形是非常重要的一個板塊，熟練運用一些特殊三角形的性質，并適當添加輔助線，再結合基本圖形即可解決一些常見的線段相等的證明問題.

例題呈現如圖1所示，在等腰直角三角形ABC，已知∠BAC=90°，AB=AC，AM=CN，AP⊥MN，求證：AP=MN.

視角1證明三角形全等，間接轉化得相等

分析題目條件，等腰直角三角形的兩個底角的大小均為45°，過頂點作對邊的垂線，可以構造出兩個等腰直角三角形，實現邊的等量轉化，而利用同角的余角相等則可以實現角的等量轉化，從而證明三角形全等.

解法1利用全等三角形+平行四邊形

證明如圖2所示，作NQ⊥AC，且NQ=NC，

則∠QCN=45°，連接AQ，CQ.

因為∠BAC=90°，AB=AC，

所以∠B=∠ACB=45°=∠QCN.

因為NQ⊥AC，∠BAC=90°，

所以NQ∥AM.

因為NQ=NC，AC=MN，

所以NQ=AM.

所以四邊形AMNQ是平行四邊形，

所以AQ∥MN，AQ=MN.

因為AP⊥MN，

所以∠PAQ=90°.

因為∠BAC=90°，

所以∠BAP=∠CAQ，△BAP≌△CAQ.

所以AP=AQ，AP=MN.

解法2利用全等三角形+等腰三角形

證明如圖3所示，作NQ⊥AC，交BC于點Q，連接AQ.

因為∠C=45°，

所以NQ=NC.

因為NC=AM，

所以AM=NQ.

因為AN=AN，∠MAN=∠QNA，

所以△MAN≌△QNA.

所以MN=AQ，∠MNA=∠QAN.

因為AP⊥MN，

所以∠BAP+∠NMA=90°.

因為∠MNA+∠NMA=90°，

所以∠BAP=∠MNA，∠BAP=∠CAQ.

因為∠B=∠C，

所以∠APQ=∠B+∠BAP=∠C+∠CAQ=∠AQP，

所以AP=AQ=MN.

評析解法1和解法2都是通過作垂線的方式得到△CNQ是等腰直角三角形，按照這樣的思路，過其他頂點構造等腰直角三角形，從而分別得到平行四邊形和等腰三角形兩個基本圖形，從而利用其性質解題.

視角2證明三角形相似，間接轉化得相等

分析垂直的條件，以Rt△MAN為參照圖形，過點B作平行線，延長AP或者是過點P作AB邊的高線，均可以得到和Rt△MAN相似的三角形，間接轉化即可證明所求的線段相等.

解法3添加平行線，利用“三垂直”兩次證明三角形相似

證明如圖4所示，過點B作BH∥AC，交AP的延長線于點H.

因為AB=AC，AM=CN，

所以AB－AM=AC－AN，BM=AN.

因為∠ABH=∠MAN=90°，∠BAH=∠ANM，

所以△ABH≌△NAM.

設AM=CN=a，BA=AN=b，

所以AHMN=BHAM=ABAN=a+ba，

BH=a（a+b）b.

因為△PBH≌△PCA，

所以PHAP=BHAC=ab.

因為AHAP=PH+APAP=1+PHAP=1+ab=a+bb，

所以AHAP=AHMN.

所以AP=MN.

解法4添加垂線來證明相似

證明如圖5所示，作NQ⊥AC，交BC于點Q，連接AQ，作PD⊥AB，交AB于點D.

因為∠BAC=90°，AP⊥MN，

所以∠BAP=∠ANM.

因為△ABC是等腰直角三角形，

所以∠B=45°.

所以△DBP是等腰直角三角形，BD=DP.

設BD=DP=a，AM=CN=b，AB=AC=x，

因為△ADP≌△NAM，

所以ax－a=bx－b，a=b.

所以BD=DP=AM=CN，AMDP=MNAP=1，AP=MN.

評析解法3和解法4都是借助相似三角形證明線段相等，基本的設想是由相似得到四條線段成比例的性質，再據此證明分子或者分母相等.本題依據題目的已知條件可以添加垂線、平行線或者是利用延長線構造出新的直角或者是等腰三角形，產生相似三角形，從而實現邊的轉化，間接證明線段相等.

結語

通過對這道例題的分析可以看出，解答線段相等問題的方法眾多，關鍵是要能夠從復雜的圖形中抽象出基本圖形，再利用其性質解題.例如，利用直角三角形、等腰三角形或者是平行四邊形的性質可以得到相等關系或者是平行關系，有助于簡化解題.而對難度較大的問題，則可以建立適當的平面直角坐標系，將幾何問題代數化處理.