多線段和差最值問題的常見模型

【摘要】最值問題是一類綜合性較強的問題.多線段和差問題是線段最值問題中的常見出題形式，在中考壓軸題中出現的概率較大.本文總結兩種多線段和差最值問題的常見模型，希望能給相關人員帶來啟示.

【關鍵詞】多線段和差；高中數學；解題技巧

在解決多線段和差最值問題時，需要把握有關幾何知識點及原理.如，兩點之間線段最短；對稱的性質：關于一條直線對稱的兩個圖形全等，對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線；垂直線段最短等.再根據模型的不同綜合求解.在初中階段，多線段和差最值問題有兩個最重要的模型，一個是求多線段和最值的將軍飲馬模型，另一個是求多線段差最值模型.基于此，本文就結合這兩個具體的模型談應如何求解初中階段多線段和差的最值問題.

1將軍飲馬模型

將軍飲馬模型最早起源于古羅馬時代.傳說在亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者叫海倫，有一天一位羅馬將軍專程去拜訪他，并想向他請教一個問題：將軍所在的軍營為A點，家在B點，軍營和家之間有一條小河，將軍每天要先到河邊飲馬再回家，問應該怎樣走才能使路程最近？轉化為數學語言即：如圖1，點P在直線l上，點A、B是直線l同側的兩個定點，試確定動點P的位置，使得PA+PB最小.

在求解將軍飲馬模型時，要將直線l同側的兩個點轉化到直線l異側，再根據兩點之間線段最短的性質求解即可.所以，作點A關于直線l的對稱點A′（作B的對稱點也一樣），則將同側的兩點A、B轉化到了異側兩點A′、B.此時，連接點A′、B與直線l交于點P，即為所求.

綜上可知，不管將軍飲馬模型如何變形，只需把握兩點之間線段最短的性質求解即可.比如，在下面這道例題中：

例1求x2+9+（16－x）2+81的最小值.

分析本題看似為一道代數題目，但如果從代數的角度切入會發現計算量比較大.因此，可以利用數形結合的方法，結合將軍飲馬模型和勾股定理的相關知識，利用構圖法解決此題.做法如下：①如圖2，作一條長為16的線段CD.②過點C在線段CD上方作線段CD的垂線AC，使AC=3；過點D在線段CD下方作線段CD的垂線BD，使得BD=9.③在線段CD上任取一點O，設CO=x.④根據勾股定理計算可得，AO=x2+9，BO=（16－x）2+81.則原題中要想求出x2+9+（16－x）2+81的最小值，只需求得AO+BO的最小值即可.

解析如圖2，過B作AC的垂線交AC的延長線于點E.

因為AC2+OC2=OA2，BD2+OD2=OB2，

AO=x2+9，

BO=（16－x）2+81，

當A、B、O三點共線時，AO+BO取得最小值，此時，線段AB的長即為原式的最小值.

則在△ABE中，AE=3+9=12，BE=16，

AB2=AE2+BE2=144+256=400，

即AB=20，

所以AO+BO的最小值為20，

故x2+9+（16－x）2+81的最小值為20.

2多線段差的最值模型

線段差最值問題解題的基本原理是同側共線差最大.常見的出題形式為：①如圖3，點P在直線l上，點A、B是直線l同側的兩個定點，試確定動點P的位置，使得PA－PB最大；②如圖4，點P在直線l上，點A、B是直線l異側的兩個定點，試確定動點P的位置，使得PA－PB最大.解決線段差的最值問題的思路和解決線段和的最值問題的思路相似，均可以通過構造對稱、全等三角形或平行四邊形求解.

例2如圖5，拋物線y=－49x2+83x+2與y軸交于點A，頂點為B，點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標.

據拋物線的解析式求得點A的坐標，頂點B的坐標，設P的坐標為（x，0），當PA=PB時線段PA與PB的差最小，即可求得最小值和對應的點P的坐標；當點P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差最大，根據PB=PA+AB即可求得最大值和對應的點P的坐標.

解析因為拋物線y=－49x2+83x+2與y軸交于點A，

所以A（0，2），

因為y=－49x2+83x+2=－49（x－3）2+6，

所以頂點B的坐標為（3，6）

設P的坐標為（x，0），

當PA=PB時，線段PA與PB的差最小，PA－PB=0，

因為A（0，2），B（3，6），

所以PA2=x2+22=x2+4，

PB2=（x－3）2+62，

所以x2+4=（x－3）2+62，

解得x=416，

所以P（416，0），

當點P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差最大.

因為A（0，2），B（3，6），

所以PA=x2+22，

PB=（x－3）2+62，

AB=32+（6－2）2=5，

所以PB=PA+AB，

即（x－3）2+62=5+x2+22，

解得x=－32，

即點P的坐標為（－32，0），

PA=52，PB=152，

此時，PB－PA=5.

所以線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值是0，此時點P的坐標為（416，0）.線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最大值為5，此時點P的坐標為（－32，0）.

3結語

總的來說，雖然多線段和差的最值問題具備一定的難度，但只要學生加強對模型的認識，掌握解決最值問題的基本知識點和思路，就一定能在考場中精準突破.當然，教師也要在日常的學習和訓練過程中，幫助學生做好對模型的總結，提高學生的解題能力.