有關(guān)勾股定理的常見考點(diǎn)

【摘要】勾股定理作為初中數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，常以綜合題的形式出現(xiàn)在中考的壓軸板塊中，給學(xué)生帶來一定困難.本文總結(jié)初中階段有關(guān)勾股定理的常見考點(diǎn)，并結(jié)合具體題目給出對(duì)應(yīng)的解題思路，以期給學(xué)生帶來啟示.

【關(guān)鍵詞】勾股定理；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

勾股定理是初中幾何板塊的重要考點(diǎn)，其內(nèi)容是：在一個(gè)直角三角形中兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方.轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言解釋即為：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，則有a2+b2=c2.要想解決勾股定理的相關(guān)問題，首先就得明確勾股定理的常見考點(diǎn)及出題形式.本文就以初中階段勾股定理的常見考點(diǎn)和具體習(xí)題為例，談?wù)剳?yīng)如何備考有關(guān)勾股定理的相關(guān)內(nèi)容，希望能給學(xué)生帶來啟示.

考點(diǎn)1勾股定理的直接應(yīng)用

勾股定理的直接應(yīng)用有三種出題形式：第一種，利用勾股定理的定義求解直角三角形的第三邊；第二種，判斷線段所在的三角形為直角三角形，并根據(jù)勾股定理求出對(duì)應(yīng)的兩邊長；第三種，勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.在解決此類問題時(shí)，需要把握勾股定理的數(shù)量關(guān)系，利用a2+b2=c2這一公式直接求解即可.這種題型難度不高，主要是對(duì)勾股定理的基本定義的考查.

例1如圖1，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下，大樹折斷前高度估計(jì)為18m，倒下后樹頂落在距樹根部大約12m處.這棵大樹離地面約（）m處折斷.

（A）3m.（B）4m.（C）5m.（D）6m.

解析設(shè)這棵大樹離地面約xm處折斷，則根據(jù)勾股定理列方程即可出到結(jié)論.

設(shè)這棵大樹離地面約xm處折斷，

根據(jù)題意得，x2+122=（18－x）2，

解得x=5.

答：這棵大樹離地面約5m處折斷.故本題正確答案為（C）項(xiàng).

考點(diǎn)2勾股定理與特殊三角形

通常在含30°角的直角三角形中有：由勾股定理可得30°角所在的直角三角形三邊（從小到大）的比值為：1∶3∶2.勾股定理與等腰直角三角形：由勾股定理可得，等腰直角三角形三邊（從小到大）的比值為：1∶1∶2.勾股定理與等邊三角形：若等邊三角形的邊長為a，則結(jié)合勾股定理與30°角所在的直角三角形可得，等邊三角形的面積為：S等邊=34a2.所以，在解決特殊三角形的問題時(shí)，只需牢牢把握三角形的特點(diǎn)即可.

例2如圖2，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12cm，點(diǎn)D在邊AC上，以BD為邊在BD左上方作等邊△BDE.若∠CBD=45°，則點(diǎn)E到AB邊的距離為（）

（A）5cm.（B）52cm.

（C）6cm.（D）62cm.

解析過點(diǎn)E作EF⊥AB，先求出∠EBF=45°，EB=DB，根據(jù)勾股定理求出BD的長即可解答.

過點(diǎn)E作EF⊥AB，如圖3.

因?yàn)椤鰽BC中，∠C=90°，∠A=30°，

AB=12cm，

所以BC=6cm，∠ABC=60°，

因?yàn)椤螩BD=45°，△BDE是等邊三角形，

所以BD=62cm=BE，

∠EBF=45°，

所以EF=BF=6cm，

所以點(diǎn)E到AB邊的距離為6cm.故本題的正確答案為（C）項(xiàng).

考點(diǎn)3勾股定理的逆定理

所謂勾股定理的逆定理，就是指在△ABC中，若三角形的三邊分別是a、b、c，且滿足a2+b2=c2，則△ABC為直角三角形，且∠C=90°.若題目中給出的是角的關(guān)系，則根據(jù)已知條件以及三角形的內(nèi)角和判斷是否有90°的角；若題目中給的是邊的關(guān)系則判斷三邊是否滿足勾股定理.

例3下列條件中，a、b、c分別為三角形的三邊，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）

（A）a2+b2=c2.（B）∠A+∠B=∠C.

（C）a∶b∶c=1∶2∶3. （D）a=3，b=4，c=5.

解析根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答.

（A）因?yàn)閍2+b2=c2，

所以△ABC是直角三角形，不符合題意.

（B）∠A+∠B=∠C，

∠A+∠B+∠C=180°，

所以∠C=90°，

所以△ABC是直角三角形，不符合題意.

（C）a∶b∶c=1∶2∶3.，

12+22≠32，

所以△ABC不是直角三角形，符合題意.

（D）a=3，b=4，c=5，32+42=52，

所以△ABC是直角三角形，不符合題意.

即本題正確答案為（C）項(xiàng).

考點(diǎn)4兩點(diǎn)間的距離公式

一般地，若平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)B（x2，y2），利用勾股定理可得兩點(diǎn)間的距離公式為：AB=（x1－x2）2+（y1-y2）2（注意公式中坐標(biāo)前后對(duì)應(yīng)）.

例4已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)A（3，1）和B（1，－2），那么A、B兩點(diǎn)間的距離等于.

解析直接根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.

AB=（3－1）2+（1+2）2=13，即A、B兩點(diǎn)間的距離為13.故本題的正確答案為13.

結(jié)語

總的來說，勾股定理作為初中幾何板塊中的重要知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生要引起重視.要能把握勾股定理的相關(guān)考點(diǎn)，并掌握對(duì)應(yīng)的解題方法.當(dāng)然，在日常的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生也要注意總結(jié)，保證在解題時(shí)不慌不亂，有理有據(jù).