淺談數學教學中學生思維能力的培養

新課程標準指出：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者；學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。數學應圍繞揭示思維過程、培養學生思維能力為目的而展開，引導學生從不同角度、不同途徑去思考問題，使得學生在學習中能舉一反三、聞一知十。下面就結合教學實踐談談數學教學中學生思維能力培養的探索。

1、 一題多解，培養學生發散思維能力

發散思維是指從已知信息中產生大量變化的獨特的新信息中，沿著不同方向，在不同范圍的思維方式。如數學教學中引導學生一題多變或一題多解是培養學生發散思維的重要途徑。

在一次數學課上，我出了這樣的一道數學題：

例1：已知 ，且 ，則 的值等于多少？

結果發現許多學生都是這樣做的。具體解法如下：

解法1：用主元法，將 視為主元，由已知可得：

分解因式得： ，即 ，由于 ，故有

學生解完后，我向學生提出有沒有其它解法？學生們討論開了，最后還得出了另外三種解法。

解法2：構造一元二次方程，由于已知

所以方程 有兩個相等的實數根，

分解因式得：

所以： ，

故： ，

由于" ，所以：

解法3：利用等比性質：

（1）當 或" 時，均有" ，從而

（2）當 ， 時，

所以： ，

由于 ，所以：

解法4：輔助未知數法，注意到已知等式關于 、 對稱，因此，可令 ， ，則 ，

由題設得：

化簡得：

即

所以：

所以：

由此看出，學生學會了發散思維，可以全方位地考慮問題，沿著不同的方向去思考、探索，尋找盡可能多的設想思路、可能性和聯系，可開發學生的智力，使學生思維流暢，能隨機應變，達到高效率學習的目標。

2、 數形結合，培養學生形象思維的能力

數形結合，是把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述結合起來，使幾何問題代數化，代數問題幾何化，從而將抽象思維和形象思維結合使用，使許多復雜問題獲得簡捷解法。數和形是整個數學發展中的兩大柱石，將代數問題轉化為相應的幾何問題，或者將幾何問題經恰當處理轉化為相應的代數問題，再根據問題的特點用相應的知識進行解決，這樣的數形轉換既可以發展學生的形象思維能力，也是優化思維品質的有效途徑。

例2：（1） 的最小值是（" ）。

A、1" " "B、2" " C、3" " "D、4

有的學生看到此題覺得無從下手，有的說選A，有的說選B。我問他們為什么選A或B，他們答不上來，說是猜的。我就引導學生思考絕對值的幾何意義，學生們馬上想到去畫數軸，從而找到了答案。

解法：作數軸，點A表示1，點B表示2，點C表示3。根據絕對值的幾何意義，本題就是在數軸上求一個點X，使它到A、B、C三點的距離之和最小。從數軸上易見，這個點X應取在點B的位置，此時最小值是2，故選B。

（2）當實數 為何值時，方程 無解、有二解、三解、四解？

分析：怎樣來確定 的值呢？這是含有絕對值符號的二次方程，如果去掉絕對值再利用根的判別式來考察，必然很繁。我啟發學生思考能否用函數知識來解呢？

有位男同學站起來說：先令 ， ，這兩個函數的圖象容易作出。而要確定方程" 的解的個數，從圖形上看，就是確定直線 與曲線 的交點的個數，由圖立即可以得到：

當 時，方程無解；

當 及 時，方程有兩個實數解；

當 時，方程有三個實數解；

當 時，方程有四個實數解；

3、突破常規，培養學生靈活思維的能力

解決數學問題時別出心裁的奇思妙想，讓人拍案叫絕！這就是數學解題的靈活性，也是數學解題的魅力之處。構思反例，尋求特例能獲得出人意料的解法，而許多奇異的設想，能成為新方法和新思想的起點。我在進行數學競賽輔導時，常啟發學生解數學競賽題時要敢于突破常規，去分析去思考，從而得出絕妙的解法。

例3：分解因式：

分析此題按常規的“一提、二套、三分組”的方法難以施行，十字相乘法也用不上，所以此題要得到正確解答必需另辟蹊徑。

解：

=

例4：甲、乙兩人相距 公里，分別以每小時 公里和每小時 公里的速度相向而行，同時，甲所帶的小狗以每小時 公里的速度奔向乙，小狗遇乙后立即回頭奔向甲，遇甲后又立即回頭奔向乙……直到甲乙相遇，小狗所走的路程是多少？

分析：如果把小狗所走的路程加起來，即小狗第一次與乙相遇所走的路程，加上返回與甲相遇所走的路程，再加上……直到兩人相遇，這樣顯得太麻煩。若從整體上看，小狗從出發到甲乙兩人相遇時所用的時間與甲、乙用的時間相同，解法則顯而易見，真是出奇制勝。

解：從出發到甲、乙兩人相遇時所用的時間為 小時，則

得

所以小狗所走的路程為 公里。

例5：學校有 名學生參加乒乓球選拔賽，采用輸一場即予淘汰的單淘汰制，為了確定第一名，共需安排多少場比賽？

分析：按常規思路，第一輪需 場，第二輪需 場，第三輪需" " "場第四輪、第五輪……這樣計算很麻煩。如果這樣考慮，只選拔一人，需要淘汰 人，而每淘汰 人，需要安排 場比賽，所以需要安排 場比賽。

在數學教學中我常采用啟發式教學來培養學生靈活思維的能力。

在數學教學活動中，教師應善于鼓勵和引導學生對數學問題所涉及的知識進行多角度的聯想，數與形，外在形式和內在聯系，從各個不同的角度研究分析問題，探索新穎的解決問題的方法，從而達到培養學生創新思維和創新精神的目的。

總之，培養學生的思維能力貫穿于數學的全過程，在數學教學的過程中，要長期堅持培養學生的思維能力，以利于全面提高學生的數學素質。