恒等變形巧同構，不等性質妙放縮

摘要：同構思維是解決數學綜合問題中一種比較特殊的解題思維與技巧方法.本文中結合一道含參函數的最值問題，借助不等式恒成立的構建，以及關系式的恒等變形，依托同構思維與不等性質的應用，立足同構思維與不等性質求參數的值，歸納總結同構思維與切線不等式思維的解題技巧與規則，合理變式拓展，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：函數；最值；同構；切線不等式；恒成立

近幾年新高考數學試題中的主觀題與客觀題，經常出現一些以導數為工具，借助參數或代數式的取值、最值（或取值范圍）等的探求來設置與應用.此類問題通常基于含參方程、函數、不等式等形式來設置，通過方程、函數與不等式三者之間的等價轉化與恒等變形，或尋找同型來巧妙同構函數轉化，或借助特征去利用不等性質變形，進而利用不等式的構建或方程的設置來求解參數或代數式的取值、最值（或取值范圍）等，實現問題的突破與應用.這類試題創新新穎，結構獨特，解題技巧性高，知識綜合性強，是基于同構思維或不等性質巧妙應用的一種重要場景，成為高考命題中的一類熱點題型，倍受各方關注.

1 問題呈現

問題" 〔2025屆廣東省五校（清中、河中、惠中、陽中、深圳翠園中學）高三12月份聯合考試數學試卷·14〕已知函數f（x）=ex－ln x+（1－m）x－ln m的最小值為0，則m=.

此題以含參函數為問題場景來創設，利用函數最小值的確定，借助函數與方程、函數與不等式等關系的變形與轉化，進而確定對應參數的取值，全面考查函數與不等式、函數與導數等方面知識的綜合應用.

合理觀察對應的含參函數，結合函數最小值等條件來等價構建含參不等式恒成立問題，從同構思維以及切線不等式思維等視角切入與應用，合理轉化相應的不等式，結合新函數的同構處理或不等式的合理放縮，化簡對應的不等式，結合取得等號的條件來確定參數的取值與應用.

2 問題破解

2.1 同構思維

解：

由題意知，ex－ln x+（1－m）x－ln m≥0對于xgt;0恒成立，且能取得等號，即ex+x≥ln（mx）+mx=ln（mx）+eln（mx）恒成立.

同構函數g（x）=ex+x，xgt;0，易知函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，則g（x）≥g［ln（mx）］，所以x≥ln（mx），即ex≥mx，則m≤exx在（0，+∞）上恒成立，且能取得等號.

設函數h（x）=exx，xgt;0，求導可得h′（x）=（x－1）exx2.由h′（x）=0，得x=1.所以當x∈（0，1）時，h′（x）lt;0，函數h（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，h′（x）gt;0，函數h（x）單調遞增.

所以h（x）min=h（1）=e，又知m≤e

能取得等號，所以m=e.

故填答案：e.

點評：依托題設條件中函數對應的不等式恒成立，合理加以恒等變形與轉化，巧妙同構函數，利用函數的單調性進行合理變形與轉化，在此基礎上得到簡化的不等式恒成立，再分離參數，結合函數的構建，并利用函數的單調性與最值，進而確定對應參數的取值.不同視角的不等式恒等變形以及分離參數的切入點不同，構建不同的函數來分析與處理.

2.2 切線不等式思維

解：

由題意知，ex－ln x+（1－m）x－ln m≥0對于xgt;0恒成立，且能取得等號，即ex+x≥ln（mx）+mx=ln（mx）+eln（mx）恒成立.

同構函數g（x）=ex+x，xgt;0，易知函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，則g（x）≥g［ln（mx）］，則x≥ln（mx），即x≥ln m+ln x，可得ln m≤x－ln x恒成立，且能取得等號.

結合切線不等式，得ln x≤x－1，當且僅當x=1時等號成立，則有x－ln x≥1.

所以ln m≤1，要使得等號成立，則ln m=1，求得m=e.

故填答案：e.

點評：依托不等式的恒等變形與轉化，通過同構函數進行化簡，合理通過不等式的恒等變形，結合切線不等式進行放縮來確定相應關系式的最值情況，利用不等式恒成立來建立對應的關系式，進而利用條件加以合理轉化與求解，實現參數值的確定.同構思維的應用給問題提供了切入的條件，而切線不等式的放縮應用，可以更好地優化解題過程，減少推理過程與數學運算.

3 變式拓展

3.1 類比變式

基于原問題的設問方式，合理加以改變與創新，從不等式恒成立視角進行設置與類比，進而求解參數的最值或取值范圍問題.

變式1" （2025屆山東省菏澤市高三上期中數學試卷·14）若ex－ln x≥ln m+（m－1）x，則實數m的最大值為.

解析：依題，由ex－ln x≥ln m+（m－1）x，可得ex+x≥ln x+ln m+mx=ln（mx）+mx=eln（mx）+ln（mx）.

同構函數f（x）=ex+x，xgt;0，易知函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，則f（x）≥f［ln（mx）］，所以x≥ln（mx），即x≥ln m+ln x，可得ln m≤x－ln x恒成立.

結合切線不等式，可得ln x≤x－1，當且僅當x=1時等號成立，則有x－ln x≥1.

所以ln m≤1，解得0lt;m≤e，即實數m的最大值為e.

故填答案：e.

3.2 深入變式

結合原問題進行深入探究與綜合應用，拓展思維，深度學習，實現深入變式與應用.

變式2" 已知函數f（x）=exxm－x+mln x－1的最小值為0，則m的取值范圍為.

解析：依題，函數f（x）的定義域為（0，+∞）.令t=exxmgt;0，則ln t=x－mln x.

由f（x）換元可得g（t）=t－ln t－1，tgt;0，求導得g′（t）=1－1t=t－1t.令g′（t）=0，得t=1.所以當t∈（0，1）時，g′（t）lt;0，函數g（t）單調遞減；當t∈（1，+∞）時，g′（t）gt;0，函數g（t）單調遞增.

所以g（t）min=g（1）=0.

因為函數f（x）=exxm－x+mln x－1的最小值為0，所以t=exxm=1有解.

當m=0時，x=0不符合題意.

所以當m≠0時，由exxm=1可得mln x=x，即1m=ln xx有解.

構建函數h（x）=ln xx，xgt;0，求導可得h′（x）=1－ln xx2.由h′（x）=0，得x=e.所以當x∈（0，e）時，h′（x）gt;0，函數h（x）單調遞增；當x∈（e，+∞）時，h′（x）lt;0，函數h（x）單調遞減.

所以h（x）max=h（e）=1e，則1m≤1e，解得mlt;0或m≥e，即m的取值范圍為（－∞，0）∪［e，+∞）.

故填答案：（－∞，0）∪［e，+∞）.

4 教學啟示

4.1 同構思維，巧妙探尋

在破解一些涉及函數或方程、代數式、不等式等綜合應用問題時，合理挖掘問題的內涵與實質，創新數學意識，開拓數學思維，結合題設條件中的關系式、方程或不等式的結構特征與基本性質，借助慧眼識別、尋找、挖掘其中的同型或共性，合理同構函數，利用函數共性來巧妙解決.

利用同構法處理此類涉及函數或方程、代數式、不等式等綜合應用問題，關鍵在于合理同構后，進一步借助函數的基本性質（單調性、周期性、奇偶性以及最值等）等來轉化與解決，將一些比較復雜的相關問題轉化為基本的函數問題來處理，不斷增強創新意識、同構意識與創新應用，融合知識交匯，形成數學能力，培養數學核心素養.

4.2 不等性質，創新放縮

切線不等式是基于函數與導數的綜合應用的產物，也是對知識與應用的提升與升華.常見的切線不等式有指數切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），ex≥ex（當且僅當x=1時等號成立），或對數切線不等式ln x≤x－1（當且僅當x=1時等號成立），ln x≤1ex（當且僅當x=e時等號成立）等.

此類涉及切線不等式的這一不等性質，是在數學知識的學習與數學解題過程中，不斷總結出的一些基本知識點，可以作為相應的“二級結論”加以巧妙應用，對于快捷巧妙解題有一定的促進與提升作用，可以在一定程度上促進對數學基礎知識的理解與掌握，發散數學思維，優化數學習慣，培養良好的數學品質與數學核心素養等.