一道立體幾何考題的多解探究

三棱錐外接球問題是立體幾何中的難點，也是高考命題的熱點，考查學生的數(shù)形結合、函數(shù)與方程，以及轉化與化歸思想等.基于此，本文中擬結合2019年全國卷Ⅰ理科第12題，探討處理三棱錐外接球問題的常用方法，旨在幫助學生拓寬解題思維視野，提高空間想象能力、數(shù)形結合能力，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

1 考題再現(xiàn)

已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（" ）.

A.86π

B.46π

C.26π

D.6π

2 預備知識

（1）余弦定理變形式：

cos A=b2+c2－a22bc，

cos B=a2+c2－b22ac，

cos C=a2+b2－c22ab.

（2）正三棱錐的三組對棱分別互相垂直.

圖1

證明：如圖1，設P-ABC為正三棱錐，作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OC，則易知O是等邊三角形ABC的中心，所以OC⊥AB.

由PO⊥平面ABC，得PO⊥AB.

又OC∩PO=O，所以AB⊥平面POC.

又PC平面POC，所以AB⊥PC.

同理，可得AC⊥PB，BC⊥PA.

故正三棱錐的三組對棱分別互相垂直.

（3）（i）若正方體的棱長為a，則該正方體的外接球的半徑為32a.

（ii）若經(jīng)過長方體同一頂點的棱長分別為a，b，c，則該長方體的外接球的半徑為12a2+b2+c2.據(jù)此可知：若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，則該三棱錐的外接球的半徑為12PA2+PB2+PC2.

3 多解探究

解法一：設三棱錐的側棱長為2a（agt;0），則根據(jù)∠CEF=90°可得EC2=FC2－EF2=3－a2.

于是，在△EPC中，由余弦定理得

cos∠EPC=a2+（2a）2－（3－a2）2×a×2a；

在△APC中，利用余弦定理得

cos∠APC=（2a）2+（2a）2－222×2a×2a.

又∠EPC=∠APC，則

a2+（2a）2－（3－a2）2×a×2a=（2a）2+（2a）2－222×2a×2a，

解得a=22，從而側棱長為2a=2.

圖2

如圖2，作PN⊥平面ABC，垂足為N，則易知點N為△ABC的外心，且點N在CF上.

因為CN=233，PC=2，所以PN=PC2－CN2=63.

設球O的半徑為R，易知球心O在直線PN上，所以在Rt△CNO中可得NO2+CN2=CO2，

即

R－632+2332=R2.

解得R=62.

所以球O的體積V=43π×623=6π.

故選：D.

評注：（1）該解法的關鍵在于兩點.一是兩次靈活運用余弦定理，準確計算三棱錐的側棱長；二是根據(jù)勾股定理構建方程，求解三棱錐的外接球的半徑.

（2）側棱長還可以這樣求解：

設側棱長為2a（agt;0），則根據(jù)∠CEF=90°可得EC2=3－a2.于是，在△AEC中，利用余弦定理得

cos∠EAC=a2+22－（3－a2）2×a×2.

作PD⊥AC，垂足為D，則根據(jù)Rt△APD可得cos∠PAD=ADAP=12a.

又∠EAC=∠PAD，則

a2+22－（3－a2）2×a×2=12a，

解得a=22，從而側棱長為2a=2.

（3）求得側棱長為2之后，還可以這樣求解：

由PA=PB=PC=2以及△ABC是邊長為2的正三角形，可得三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，易知球O的半徑為R=12PA2+PB2+PC2=62.

故球O的體積V=43π×623=6π.

圖3

解法二：如圖3，作PN⊥平面ABC，垂足為N，則易知點N為等邊三角形ABC的外心，且點N在CF上.

建立如圖3所示的空間直角坐標系F-xyz，其中PN∥z軸.設PN=h，則點F（0，0，0），A（－1，0，0），C（0，3，0），P0，33，h.

于是可知PA的中點E－12，36，h2.

因為∠CEF=90°，所以CE⊥FE，于是CE·FE=0.又可得

CE=－12，－536，h2，

FE=－12，36，h2，

所以可得14－1536+h24=0，解得h=63.

易知球心O在直線PN上，所以可設球心O的坐標為0，33，m.

于是，根據(jù)AO=OP，以及AO=1，33，m，OP=0，0，63－m，可得

12+332+m2=63－m2.

解得m=－66，則球O的半徑為

R=12+332+－662=62.

故球O的體積V=43π×623=6π.

故選：D.

評注：該解法靈活運用空間向量法，其關鍵在于兩點.一是將∠CEF=90°轉化為CE·FE=0；二是根據(jù)|AO|2=|OP|2，巧求球心O的坐標.

解法三：因為PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，所以三棱錐P-ABC是正三棱錐，從而易知PB⊥AC.

因為E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，所以EF是△APB的中位線，所以EF∥PB.又由∠CEF=90°，得EF⊥EC，所以PB⊥EC.

又AC∩EC=C，所以PB⊥平面APC，所以PB⊥PA，PB⊥PC.

由△APC≌△APB，可知PA⊥PC.又由PB⊥PA，PA=PB，AB=2，可得PA=PB=PC=2.

圖4

于是，根據(jù)三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為2，可將之補形為棱長為2的正方體APCD-NBGM，如圖4所示.

由圖4知，三棱錐P-ABC的外接球就是正方體APCD-NBGM的外接球，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=32×2=62.

故球O的體積V=43π

×623=6π.

故選：D.

評注：該解法側重于從推理論證的角度獲得三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，并借助“補形法”巧求三棱錐P-ABC的外接球的半徑.整個解題過程，顯得比較自然、明了，故該解法值得我們?nèi)ゼ毤毱肺丁⑸钏迹?/p>

綜上，該考題設計較好，有利于考查考生對數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想的靈活運用能力，有利于考查考生對所學立體幾何、解三角形、空間向量知識的綜合運用能力，同時也有利于較好地培養(yǎng)考生在直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理方面的核心素養(yǎng).一言以蔽之，該考題解法多樣，有利于考查各類考生的內(nèi)在潛能，的確是一道難得的好題！