一道抽象函數與其導數交匯問題的多解探究

高考與模考試題中，頻頻出現抽象函數與其導函數的交匯問題，因此，關注此類問題的解法尤為重要.本文中采擷一道模考真題，通過多解探究，旨在拓寬解題思維方法，提升對有關變形技巧和常見規律性結論的靈活運用能力，進一步提高分析、解決此類抽象函數問題的能力.

1 好題采擷

（2023年湖北二模第8題）已知函數f（x）及其導函數f′（x）定義域均為R，滿足f32+x－f32－x=2x，記g（x）=f′（x），其導函數為g′（x），且g′（3－x）的圖象關于原點對稱，則g′（9）+g92=（" ）.

A.0

B.3

C.4

D.1

2 試題分析

本題比較深入地側重考查抽象函數及其導函數的性質與求值運算，且具有一定的新穎性、綜合性，值得我們去關注、賞析！

3 解法探究

解法1：因為f32+x－f32－x=2x，又注意到32+x－32－x=2x，所以可變形得f32+x－32+x=f32－x－32－x，而該等式兩邊外在結構相同，從而極易想到構造函數h（x）=f（x）－x，則有h32+x=h32－x，所以函數h（x）的圖象關于直線x=32對稱，從而導函數h′（x）的圖象關于點32，0對稱.

又易知h′（x）=f′（x）－1，從而可知函數f′（x）－1的圖象關于點32，0對稱，所以f′（x）的圖象關于點32，1對稱，即g（x）的圖象關于點32，1對稱，則g32=1.

因為g′（3－x）的圖象關于原點對稱，即g′（3－x）是奇函數，所以可得g′（3－x）=－g′（3+x），即g′（3－x）+g′（3+x）=0，可知g′（x）的圖象關于點（3，0）對稱，從而g（x）的圖象關于直線x=3對稱.

于是，根據“g（x）的圖象關于點32，1對稱”和“g（x）的圖象關于直線x=3對稱”，可得g（x）是以432－3=6為周期的周期函數，所以g′（x）也是以6為周期的周期函數.又由g′（3－x）+g′（3+x）=0可得g′（3）=0，因此有g′（9）=g′（3）=0.

根據g（x）的圖象關于直線x=3對稱和g32=1，可得g92=g32=1.

所以g′（9）+g92=0+1=1.故選：D.

評注：該解法側重于靈活構造函數，并充分運用函數與其導函數的對稱性、周期性解題.需要特別提醒的是——一般地，若函數f（x）是周期函數，則其導數f′（x）也是周期函數，且二者周期相同；反之，若f′（x）是周期函數，則f（x）不一定是周期函數.

解法2：因為f32+x－f32－x=2x，所以變形得f32+x－x=f32－x－（－x）.于是，設函數h（x）=f32+x－x，則有h（x）=h（－x），所以函數h（x）是偶函數，從而h′（x）是奇函數.又由h（x）=f32+x－x，可得h′（x）=f′32+x－1，所以函數f′32+x－1是奇函數.又注意到將函數f′32+x－1的圖象先向上平移1個單位長度，再向右平移32個單位長度，可得函數f′（x）的圖象，所以f′（x）的圖象關于點32，1對稱，即g（x）的圖象關于點32，1對稱，則g32=1.

因為g′（3－x）的圖象關于原點對稱，又注意到將函數g′（3－x）的圖象向左平移3個單位長度可得函數g′（－x）的圖象，所以函數g′（－x）的圖象關于點（－3，0）對稱.而函數g′（x）與g′（－x）的圖象關于y軸對稱，則函數g′（x）的圖象關于點（3，0）對稱，所以g（x）的圖象關于直線x=3對稱.

以下解題過程，同解法1，略.

評注：解法2與解法1的區別有以下幾點.一是變形不同，導致構造的函數也不同；二是充分運用函數圖象的變換規律，靈活分析函數g（x）的圖象的對稱性.

解法3：因為f32+x－f32－x=2x，所以兩邊求導得f′32+x+f′32－x=2，所以f′（x）的圖象關于點32，1對稱，即函數g（x）的圖象關于點32，1對稱，所以g32=1.

因為g′（3－x）的圖象關于原點對稱，即g′（3－x）是奇函數，又注意到函數y=－g（3－x）+c（其中c為實常數）的導函數為g′（3－x），于是可得函數y=－g（3－x）+c是偶函數，故－g（3－x）+c=－g（3+x）+c，化簡得g（3－x）=g（3+x），所以g（x）的圖象關于直線x=3對稱.

以下解題過程，同解法1，略.

評注：解法3側重于靈活運用求導技巧以及函數與其導函數之間的奇偶性關系，其中通過求導獲得“g32=1”比較簡單，可看作是前述解法1、解法2對應解析過程的“優化”.

解法4：因為f32+x－f32－x=2x，又注意到32+x－32－x=2x，所以極易想到取一個特殊的函數f（x）=x，再考慮函數f（x）=x是否滿足其他題設條件.

對f（x）=x，求導得f′（x）=1，所以g（x）=1，則g′（x）=0，所以g′（3－x）=0，于是g′（3－x）的圖象關于原點對稱.因此，函數f（x）=x滿足其他題設條件.

于是，可得g′（9）+g92=0+1=1.故根據“排除法”可知正確答案為選項D.

評注：通過解法4可知，本題作為非解答題在設計上欠妥，理由是——在觀察分析的基礎上，可以簡簡單單地進行“秒殺”，從而輕松獲解！此外，也可取f（x）=32+x求解.

4 變式題

（多選題）已知函數f（x）及其導函數f′（x）定義域均為R，滿足f32+x－f32－x=－2x，記g（x）=f′（x），其導函數為g′（x），且g′（3+x）的圖象關于y軸對稱，則下列結論正確的有（" ）.

A.函數y=f（x）+x的圖象關于直線x=32對稱

B.g32=－1

C.函數g′（x）的圖象關于直線x=3對稱

D.g（3）=0

解析：因為f32+x－f32－x=－2x，又注意到32－x－32+x=－2x，所以可變形得f32+x+32+x=f32－x+32－x，而該等式兩邊外在結構相同，從而極易想到構造函數h（x）=f（x）+x，則有h32+x=h32－x，所以函數h（x）的圖象關于直線x=32對稱，從而導函數h′（x）的圖象關于點32，0對稱.

又易知h′（x）=f′（x）+1，從而知函數f′（x）+1的圖象關于點32，0對稱，所以f′（x）的圖象關于點32，－1對稱，即g（x）的圖象關于點32，－1對稱，故g32=－1.

因為g′（3+x）的圖象關于y軸對稱，即g′（3+x）是偶函數，可得g′（3+x）=g′（3－x），所以g′（x）的圖象關于直線x=3對稱.

由于g′（3+x）=g′（3－x），因此可知函數y=g（3+x）+g（3－x）的導函數為y′=g′（3+x）－g′（3－x）=0，所以函數y=g（3+x）+g（3－x）=c（其中c為實常數），從而可得g（x）的圖象關于點3，c2對稱，則g（3）=c2.

綜上，可知選項ABC正確.故選：ABC.

評注：一般地，若導函數f′（x）的圖象關于直線x=a對稱，則函數f（x）的圖象關于點（a，t）對稱，且f（a）=t，其中t∈R.特別地，若導函數f′（x）的圖象關于直線x=0對稱（即f′（x）是偶函數），則函數f（x）的圖象不一定關于原點對稱（即f（x）不一定是奇函數）.

總之，關注抽象函數與其導函數的交匯問題，有利于幫助我們理解、掌握常用解題思維方法，不斷積累解題經驗，避免一些常見錯誤的產生，同時有助于較好地培養數學抽象與邏輯推理核心素養.