追根溯源回歸，教學建議引領

摘要：平面解析幾何中軌跡方程的求解問題，是平面解析幾何模塊中的一個基礎知識點，也是新高考中的一個基本考點.結合一道高考真題中有關軌跡方程的確定，合理挖掘問題場景與追根溯源，進而從不同數學思維視角切入，探究軌跡方程求解的技巧與方法，合理總結與歸納，指導數學教學與學習.

關鍵詞：曲線；動點；軌跡；特殊值；數形結合

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進一步落實“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》要求.平面解析幾何中，有關軌跡問題的求解及其綜合應用問題，成為該知識模塊中落實“四基”的常見方式，探究數學基礎，挖掘問題本質，合理嘗試創新，著力關鍵能力，進而堅持開放創新與數學核心素養導向，更加注重數學創新意識與創新應用等方面的落實與培養.

1 真題呈現

（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：x2+y2=16（ygt;0），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為（" ）.

A.x216+y24=1（ygt;0）

B.x216+y28=1（ygt;0）

C.y216+x24=1（ygt;0）

D.y216+x28=1（ygt;0）

此題借助曲線C上任意一點P的運動變化，結合動點到坐標軸的垂線段與中點的確定，借助動點P所滿足的條件來確定相應點M的坐標所滿足的軌跡方程，實現問題的突破與求解.

2 追根溯源

教材例題" 〔人教A版2019年教材《數學》（選擇性必修第一冊）第三章“圓錐曲線的方程”第108頁例2〕

如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

（注：當點P經過圓與x軸的交點時，規定點M與點P重合.）

該例題的分析與解析部分，可以直接參考教材中的對應部分，這里不多加以展開與敘述.

依托高中數學教材中的例（習）題，挖掘問題場景與應用，巧妙設置高考命題，是新高考數學試卷命題的一個重要來源.借助新教材例題與新高考真題這二者之間的比較與分析，回歸高中數學教材本質，巧妙追根溯源，更加關注高中數學教材中典型的例（習）題的教學與學習，以及在其基礎上的深入探究與變式應用.

巧妙依托高中數學教材這一基本媒介，立足問題根本，對相應知識點、考點加以深度學習、深入研究，從而真正實現高中數學教材的有效應用.

3 真題破解

3.1 解析幾何思維

解法1：設點法1.

設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），則點P′的坐標為（x0，0）.

由M是線段PP′的中點，得x=x0，y=y02.

因為P（x0，y0）在曲線C：x2+y2=16（ygt;0）上，所以x02+y02=16（y0gt;0）.

把x0=x，y0=2y代入上式，可得x2+4y2=16（ygt;0），即x216+y24=1（ygt;0）.故選擇答案：A.

解法2：設點法2.

設點M（x，y），由于PP′⊥x軸，P′為垂足，且M是線段PP′的中點，則有P′（x，0），P（x，2y）.

而點P（x，2y）在曲線C：x2+y2=16（ygt;0）上，則有x2+（2y）2=16（ygt;0），整理可得x216+y24=1（ygt;0）.

所以線段PP′的中點M的軌跡方程為x216+y24=1（ygt;0）.故選擇答案：A.

點評：探求平面解析幾何中點的軌跡方程問題，常見的基本方法就是通過設點法，構建所求點與已知點之間的關系，進而利用代入消參法來分析并求解對應的軌跡方程.設點法思維中，可以借助不同點之間的關系，以不同視角來合理設置與應用，視角與方向有差異，但目標一致，殊途同歸.

3.2 特殊思維

解法3：特殊值驗證法.

根據單項選擇題的特征，可借助特殊值的選取與巧妙應用來解決問題.如取特殊點P（0，4），結合題意可得點M（0，2）.再

將點M（0，2）的坐標代入題目各選項相應的軌跡方程中去加以驗證，可知只有選項A中的軌跡方程滿足條件，其他選項中的軌跡方程不滿足條件.

故選擇答案：A.

點評：在解決一些相關的單項選擇題或確定數值的填空題時，可以巧妙以特殊代替一般，借助特殊值思維來分析與處理，使得解題更加簡捷，大大節約直接解題中由于邏輯推理或數學運算所需的精力與時間，成為解決相關問題時比較常見的一種基本思維方式.而特殊值思維的依據在于題目的結構特征與形式，解題的關鍵在于特殊值的選取與巧妙應用，有時由于問題的需要，可能需要多次（兩次或三次）進行特殊值的選取與驗證.

3.3 數形結合思維

解法4：數形結合法.

依題，點P的軌跡是一個半徑為4的圓，結合題中的操作過程可知，點M的軌跡是由點P的軌跡在寬度方向（x軸上）上不變，高度方向（y軸上）上縮小為原來的一半，進而得到對應的點M的軌跡.

通過數形結合，可知點M的軌跡就是一個橢圓，結合如圖2所以的圖形，即可求得點M的軌跡方程為x216+y24=1（ygt;0）.

故選擇答案：A.

點評：根據變化前后對應點所滿足的軌跡進行直觀分析，挖掘變化前后點的變化規律來確定整體曲線的變形情況，得以直觀想象與數形結合.有時利用數形結合思維也可很好地處理平面解析幾何中的軌跡及其相關的應用問題.在實際處理此類問題時，大體作出對應曲線的草圖，為合理的直觀想象與數形結合創造條件，也給問題的直觀處理打下基礎.

4 變式拓展

變式" 已知曲線C：x2+y2=16（ygt;0），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，若點M滿足PM=12PP′，則動點M的軌跡方程為（" ）.

A.x216+y24=1（ygt;0）

B.x216+y28=1（ygt;0）

C.y216+x24=1（ygt;0）

D.y216+x28=1（ygt;0）

答案：A.

該變式問題中的條件“PM=12PP′”，與高考真題中的條件“M是線段PP′的中點”是一致的.因而該變式的解析過程可以直接參考以上高考真題的解析即可.

5 教學啟示

5.1 技巧與方法，歸納與總結

平面解析幾何中，軌跡方程的求解與綜合應用是該知識模塊中一個最基本的問題.而熟悉掌握一些基本的技巧與方法，也是基本要求.

（1）代入法（或相關點法）.以上問題中的解法1與解法2用的就是該方法.其是利用動點P（x，y）依賴于另一動點Q（a，b）（該動點在某已知曲線上）的變化而變化，合理構建對應參數之間的關系，通過將參數代入已知曲線方程來達到求解相應動點軌跡方程的目的.

（2）直譯法.這也是探求軌跡方程中最為常用的一種技巧方法，從題設條件進行直譯，抓住軌跡求解的基本策略——“五步驟”，即建系、設點、列式、代換、證明，通過這五個步驟來構建關系與確定軌跡.

（3）定義法.回歸曲線的本質與內涵，聯系相應曲線（如圓、橢圓、雙曲線或拋物線等）的定義，合理加以聯系，確定動點滿足某種曲線的相關定義，進而利用對應曲線的定義來分析與求解相應動點的軌跡方程.

（4）交軌法、數形結合法等.

5.2 教學與學習，引導與建議

高中數學教學與學習的根本是必須依托高中數學教材，通過教材來全面學習相關的知識與基本應用.從教材中的典型的例（習）題出發，以問題的學習、深度應用等入手，可以更加契合“三新”背景下的高考改革理念.回歸教材也成為新高考背景下做好教學與學習的關鍵環節之一.

（1）吃透高中數學教材中基本知識點，特別是一些相關的典型例題與練習題.立足問題的根本，合理拓展與變式，舉一反三，才是根本所在，而不是大量的題海戰術.

（2）基于高中數學教材的相關欄目與資料信息，全面拓展數學基礎知識的寬度、深度與廣度，借助閱讀理解、信息反饋、綜合應用等，構建更加完善的知識體系與應用體系，也是高中數學教材的一個重要應用與體現.