開拓數學視角，發散數學思維

摘要：涉及函數或方程場景中的雙變量代數式的最值（或取值范圍）問題，以簡捷優美的形式設置，巧妙聯系“等”與“不等”之間的辯證關系，成為高考、競賽及強基等數學命題中比較常見的一類基本考查類型.借助一道模擬題中三角方程場景下雙變量代數式的最值確定，合理剖析與挖掘，從不同思維視角切入，發散數學思維，進行一題多解，并加以巧妙變式，對學生關鍵能力的提升與核心素養的養成都有益.

關鍵詞：方程；代數式；最值；函數；三角函數

基于函數、方程等場景下的雙變量代數式的最值（或取值范圍）問題，經常以二次函數或方程、分式函數或方程、指數函數或方程、對數函數或方程及三角函數或方程等不同形式來設置，立足“等”的問題場景，合理加以創設，進而確定涉及雙變量代數式的最值（或取值范圍），實現“不等”的巧妙轉化，合理構建等與不等之間合理過渡與巧妙轉化的一個重要場景，成為各類數學試卷命題中的一個重點與熱點問題，有效考查考生的“四基”與“四能”，一直備受各方關注.

1 問題呈現

問題" （2025屆山東省臨沂市高三11月期中考試數學試卷·14）已知關于x的方程asin x+（b+1）＼5cos x+2b+2=0有解，則a2+b2的最小值為.

此題以三角方程為問題場景，結合雙變量條件的創設，巧妙借助雙變量之間的平方和形式來設置問題，確定對應代數式的最值，巧妙實現等與不等之間的辯證關系與等價轉化，題目條件簡單明了，在命題中很好地融入了辯證思維方式.

實際解決該問題時，剖析題設條件，挖掘問題的內涵與實質，結合三角方程的變形與轉化，可以直接立足三角方程場景，結合三角函數思維來分析與處理；也可以化方程為直線場景，結合解析幾何思維來分析與處理；還可以化方程為等式場景，結合不等式思維來分析與放縮等.借助三角方程設置中的“等”，對比所要求解代數式的“不等”，利用三角函數思維、解析幾何思維、不等式思維等，實現“等”與“不等”之間的聯系與轉化，進而實現代數式的最值（或取值范圍）的突破與求解.

2 問題破解

2.1 三角函數思維

解法1：輔助角轉化法.

依題，關于x的方程asin x+（b+1）cos x=－2b－2有解.

利用輔助角公式有a2+（b+1）2sin（x+φ）=－2b－2，其中tan φ=b+1a.

根據題設條件，關于x的方程sin（x+φ）=－2b+2a2+（b+1）2有解.

所以－2b+2a2+（b+1）2≤1，整理可得a2+（b+1）2≥4（b+1）2，亦即a2≥3（b+1）2.

所以a2+b2≥3（b+1）2+b2=4b2+6b+3=4b+342+34≥34，當且僅當b=－34且a2=3（b+1）2，即b=－34，a2=316時，等號成立.

所以a2+b2的最小值為34.

點評：立足三角方程的應用場景，巧妙變換三角方程形式，結合三角函數中的輔助角公式的利用，并結合三角函數的有界性來合理構建不等式，建立參數之間的不等關系，進一步利用二次函數的圖象與性質來分析，實現代數式最值的確定.用三角函數思維來確定代數式的最值（或取值范圍）問題時，往往離不開三角函數的圖象與性質的綜合應用，以及有界性的放縮與應用等.

2.2 解析幾何思維

解法2：距離轉化法.

由asin x+（b+1）cos x+2b+2=0，得asin x+b（cos x+2）+cos x+2=0.

所以a2+b2可看作直線l：asin x+b（cos x+2）+cos x+2=0上的點P（a，b）到坐標原點O（0，0）的距離|OP|的平方.

設坐標原點O到直線l的距離為d，則有|OP|≥d.

所以a2+b2=|OP|2≥d2=（cos x+2）2sin2x+（cos x+2）2=（cos x+2）25+4cos x.

令t=5+4cos x∈［1，9］，則有cos x=t－54，于是（cos x+2）25+4cos x=t－54+22t=t2+6t+916t=116t+6+9t≥1162t×9t+6=34，當且僅當t=9t，即t=3，cos x=－12時，等號成立.

所以a2+b2的最小值為34.

點評：挖掘三角方程所符合的一次函數的本質，將問題轉化為直線方程問題，結合a2+b2的幾何意義，化所求代數式為解析幾何中的距離問題，通過幾何直觀與幾何性質來轉化與應用，實現化歸與突破.用解析幾何思維來確定代數式的最值（或取值范圍）問題時，往往離不開解析幾何場景下的幾何意義與幾何性質等的應用，要加以合理構建與解析幾何相關的數學模型，進而來分析與應用.

2.3 不等式思維

解法3：柯西不等式法.

依題意，關于x的方程asin x+（b+1）cos x=－2b－2有解.

利用柯西不等式，可得－2b－2=a＼5sin x+（b+1）＼5cos x≤a2+（b+1）2·sin2x+cos2x=a2+（b+1）2.

兩邊平方，可得a2+（b+1）2≥4（b+1）2，即a2≥3（b+1）2.

所以a2+b2≥3（b+1）2+b2=4b2+6b+3=4b+342+34≥34，當且僅當b=－34且a2=3（b+1）2，即b=－34，a2=316時，等號成立.

所以a2+b2的最小值為34.

點評：挖掘三角方程所對應的代數式的等價關系，結合不等式的代數特征加以合理放縮，巧妙轉化，可以給問題的突破與求解開拓一個全新的局面.這里借助柯西不等式來合理放縮，巧妙消去自變量，為問題的求解創造條件.用不等式思維來確定代數式的最值（或取值范圍）問題時，往往離不開一些特殊不等式的應用（如基本不等式、均值不等式、柯西不等式、切線不等式等）及不等式的基本性質，合理放縮，綜合應用.

3 變式拓展

3.1 方法類比

變式1" 〔2025屆上海師大附中高三（上）月考數學試卷（10月份）〕已知函數f（x）=ax－1+b－ln x－1，若關于x的方程f（x）=0在［e，e2］上有解，則a2+b2的最小值為.

3.2 場景類比

變式2" 已知函數f（x）=lnax+13b－x2+19（a，b∈R）有零點，則a2+b2的最小值為.

4 教學啟示

其實，基于函數、方程、不等式及創新場景等應用條件下的多變量（以雙變量為主）問題場景，涉及對應代數式的最值（或取值范圍）的求解或判定等，此類問題難度往往都比較大，能夠合理交匯函數、方程、不等式等相關知識，是這些相關知識與其他一些基礎知識之間的綜合應用的一個基本考查點，例如有時還交匯三角函數、平面向量、解析幾何、函數與導數等數學基礎知識.

此類涉及雙變量代數式的最值（或取值范圍）問題，解題方法眾多，關鍵在于立足題設條件，以及所求代數式的結構特征，以方程法、函數法、不等式法、三角函數法等比較常見的技巧方法切入與應用.有時還可以合理挖掘條件代數式的結構特征，利用平面向量思維、平面解析幾何思維等，通過平面向量、直線與曲線之間的關系等技巧方法，也可達到目標的轉化與解決的目的.

在實際教學與解題研究中，此類涉及雙變量代數式的最值（或取值范圍）問題比較典型，具有一定的代表性，值得我們好好深入探究與深度學習，其是以綜合創新的應用場景及數學知識的巧妙融合，基于數學“四基”的有效落實，很好地考查考生的“四能”情況，對于考生的合理選拔與有效區分，以及關鍵能力的提升與核心素養的養成等方面都是有益的.