2024年高考數學新課標Ⅰ卷第15題多解探索及教學思考

摘要：解三角形問題作為高中數學中的重要內容，不僅考查學生的基礎知識掌握情況，還考驗其運算求解能力、邏輯推理能力和創新思維.本文中基于2024年高考新課標Ⅰ卷第15題，深入分析該題目的多種解法，探討如何在教學過程中有效提升學生的解三角形能力，并提出了相應的教學策略.

關鍵詞：高考數學；一題多解；解三角形問題

解三角形問題廣泛出現在中學數學教材中，尤其是三角函數、正弦定理和余弦定理等章節.這類問題不僅有助于學生理解三角形的基本性質，還能培養其空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力.2024年高考新課標Ⅰ卷第15題便是一個典型的解三角形問題，它考查學生對正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式等知識點的綜合應用，本題可以提供多種解法路徑，具有較高的教學價值.

1 真題呈現

（2024年高考新課標Ⅰ卷第15題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2－c2=2ab.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為3+3，求c.

2 解法分析

2.1 第（1）問的解析

解：由余弦定理，得cos C=a2+b2－c22ab=22.

因為0＜C＜π，所以C=π4.

結合sin C=2cos B，則有

cos B=12.

又0＜B＜π，所以B=π3.

2.2 第（2）問的解析

解法1：由（1）可知B=π3，C=π4，則A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.在△ABC中，由正弦定理，得b=2Rsin B，c=2Rsin C，則S△ABC=12bcsin A=12×2Rsin B×2Rsin C×sin A=3+3，解得R=2，所以c=2Rsin C=22.

評析：該解題思路的核心在于巧妙將外接圓半徑作為橋梁來求解問題.

圖1

解法2：如圖1所示，過點A作AD⊥BC于點D.

在Rt△ABD中，AB=c，B=π3，則BD=12c，AD=32c.在Rt△ACD中，c=π4，則CD=AD=32c.

故S△ABC=12AD·BC=12×32c12c+32c=3+3.

所以c2=8，解得c=22.

評析：該解題思路新穎且直觀，核心是采用平面幾何的基本原理進行求解.

解法3：由（1）可知B=π3，C=π4，則A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由面積計算公式得S△ABC=12absin C=3+3，則ab=62+26.由正弦定理得absin Asin B=c2222，解得c2=8，即c=22.

評析：該解題思路的核心在于巧妙將ab的值作為橋梁來求解問題.

解法4：由（1）可知B=π3，C=π4，則A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由面積計算公式得S△ABC=12absin C=3+3，則ab=62+26.由正弦定理，得a=csin C·sin A=3+12c.同理得b=62c.將a=3+12c，b=62c代入a2+b2－c2=2ab，可得3+12c2+62c2－c2=2（62+26），即c2=8，故c=22.

評析：該解題思路運用了正弦定理將a，b的值表示為關于c的式子，然后結合題目所給的a，b，c的關系式，構建了一個關于c的方程，并據此解出c的具體數值.

解法5：由（1）可知B=π3，C=π4，則A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由面積計算公式得S△ABC=12absin C=3+3，則ab=62+26.在△ABC中，根據正弦定理asin A=bsin B=csin C，可得a=csin Asin C=3+12c，b=csin Bsin C=62c.由ab=62+26，得3+12c×62c=62+26，解得c=22.

評析：解法5和解法4的不同點在于最后將用c表達的a，b的值代入ab=62+26中求解出c的具體數值.

解法6：由（1）可知B=π3，C=π4，則A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.而△ABC的面積S△ABC=12absin C=12acsin B=12bcsin A=3+3，則ab=26+62，bc=46，ac=43+4，解得c=22.

評析：該解題策略獨辟蹊徑，巧妙地采用了三角形面積計算公式的三種等價形式作為解題的鑰匙.

解法7：由（1）可知B=π3，C=π4，則A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由△ABC的面積S△ABC=12acsin B=3+3，得ac=43+4.由正弦定理得asin A=csin C，則a=3+12c.所以3+12c2=43+4，解得c=22.

評析：本策略與解法6呈現出高度的相似性，值得注意的是，解法7在構建方程組的策略上更精妙，解題過程也因而更簡潔與高效.

3 教學思考

3.1 深耕基礎知識體系

在解三角形的教學實踐中，對基礎知識的牢固掌握是解決問題的核心.這涵蓋了正弦定理、余弦定理、三角恒等變換及三角形面積公式等核心內容.教師應當將這些基礎知識視為教學的基石.

3.2 強化基本能力訓練

運算求解與邏輯推理，作為解三角形問題不可或缺的基本能力，其培養應貫穿于整個教學過程.

3.3 融合平面幾何思想

平面幾何不僅是數學的重要分支，也是解決解三角形問題的有力工具.教師應積極引導學生利用作圖、轉化等方法，將復雜的數學問題轉化為直觀的幾何圖形問題，以此簡化解題過程，培養學生的空間想象與直觀感知能力.

3.4 倡導解題方法多元化

解三角形問題解法的多樣性，不僅體現了數學問題的豐富性，也為學生提供了探索與創新的空間.教學中，教師應鼓勵學生勇于嘗試不同的解題思路與方法，通過對比分析，理解各種解法的優缺點及適用情境.同時，通過提問、討論等互動方式，激發學生的探究欲望，培養其獨立思考與解決問題的能力.

3.5 優化練習設計以鞏固提升

練習是檢驗教學效果、鞏固知識與提升能力的關鍵環節.在解三角形的教學中，教師應精心設計練習題目，確保題目類型多樣、難度適中、梯度合理.

解三角形問題是高中數學中的重要內容之一.在教學過程中，教師應注重抓住基礎知識、強化基本能力、善用平面幾何、注重方法多樣性、加強練習與鞏固等方面的工作，以幫助學生更好地掌握解三角形問題的知識和技能并提高其綜合素質和能力水平［1］.

參考文獻：

［1］卓曉萍，蔡海濤.多視角剖析一道2021年高考解三角形問題［J］.中學數學月刊，2021（9）：9-11.