著眼高考熱點(diǎn)問題 聚焦教材難點(diǎn)融合

摘要：本文中通過結(jié)合高考中的函數(shù)與數(shù)列兩類熱點(diǎn)命制了一道解答題，旨在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和綜合運(yùn)用能力.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；數(shù)列；不等式

1 展示命題

原創(chuàng)題" 已知函數(shù)f（x）=ag（x）－ln x，a∈R，其中g(shù)（x）的解析式由下面第（1）題確定.

（1）將函數(shù)y=sin 2x+π4圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向右平移1個(gè)單位長度得g（x）的圖象，求g（x）的解析式；

（2）若f（x）在（0，4］上是單調(diào)減函數(shù)，求［a］的最大值，其中［x］表示不超過x的最大整數(shù)；

（3）證明：∑ni=1cos2i+1（i+1）2gt;n－2ln（n+1）.

2 命題過程

命題初衷是通過函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)，借助參數(shù)考查學(xué)生的參變量分離思想，同時(shí)在命題過程中借助信息技術(shù)研究函數(shù)圖象的變化情況，確定具體研究的函數(shù)解析式，并利用導(dǎo)數(shù)及變量代換推導(dǎo)有關(guān)數(shù)列前n項(xiàng)和的不等式.

問題（1）的提出：通過三角函數(shù)y=sin 2x+π4的圖象變換得到余弦函數(shù)的解析式，結(jié)合伸縮變換、左右平移變換、誘導(dǎo)公式的考查，得到了函數(shù)g（x）=cos（x－1）.

問題（2）的提出：在問題（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合余弦函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，并且在余弦函數(shù)前增加了參數(shù)a，增加了題目的難度和深度，進(jìn)而明確了要研究的函數(shù)f（x）=acos（x－1）－ln x.這一函數(shù)的性質(zhì)取決于a的取值，于是想到借助函數(shù)圖象觀察a對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a在［0，4］上時(shí)，函數(shù)在（0，1］上一直是遞減的，如圖1，而當(dāng)a接近于5時(shí)，函數(shù)在（0，1］上出現(xiàn)了不單調(diào)的情況，于是想到根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解a的取值范圍.

問題（2）的難點(diǎn)及改進(jìn)：在計(jì)算a的最大值時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)函數(shù)f（x）=acos（x－1）－ln x求導(dǎo)知f′（x）=－asin（x－1）－1x，利用參變量分離運(yùn)算可得，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，需有alt;1xsin（1－x）恒成立，如想要求出a的取值范圍，需要求出函數(shù)y=1xsin（1－x）在（0，1）上的最小值，于是對(duì)y=1xsin（1－x）求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)不明確，繼續(xù)求導(dǎo)仍無法明確函數(shù)y=1xsin（1－x）的最小值及最小值點(diǎn)的情況.

只好借助幾何畫板觀察該函數(shù)的圖象情況，繪制函數(shù)y=1xsin（1－x）的圖象，如圖2所示，會(huì)發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的最小值不好具體計(jì)算得出，但其最小值在區(qū)間（4，5）內(nèi)，且最小值點(diǎn)在x=12附近，從而不好求出a的上界，為降低求實(shí)數(shù)a取值范圍的難度，最后決定求［a］的最大值.

問題（3）的提出：起初想要研究正弦sin x和余弦cos x在x∈（0，1）時(shí)的取值變化情況以及數(shù)列前n項(xiàng)和∑ni=1sin1i及∑ni=1cos1i的有界性，證明類似于∑ni=1cosi（i+2）（i+1）2gt;－14ln 2，∑ni=1cos1（i+1）2gt;2ln 2－ln 3等不等式，但顯然前者左側(cè)恒為正，不等式恒成立，而后者左側(cè)每一項(xiàng)恒為正，且當(dāng)n=1時(shí)不等式成立，沒有研究意義，為使得題目內(nèi)容更有意義，于是先借助函數(shù)圖象找尋更有價(jià)值的不等式.

問題（3）的改進(jìn)：根據(jù)圖象可知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=cos（x－1）－ln x在x∈（0，1］上單調(diào)遞減，此時(shí)仍無法直接比較cos（x－1）與ln x的大小，因而也無法得到想要的不等式.但觀察到f（1）=1，結(jié)合f（x）在（0，1］上單調(diào)遞減的性質(zhì)，于是可以得出cos（x－1）－ln xgt;1，從而可得當(dāng)x∈（0，1］時(shí)cos（x－1）gt;ln x+1.為了使得求和過程中對(duì)數(shù)的性質(zhì)得以體現(xiàn)并簡化運(yùn)算，此時(shí)希望能夠在運(yùn)算過程中使得對(duì)數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為乘積的對(duì)數(shù)，并利用分?jǐn)?shù)連乘的形式化簡得到更為簡練的結(jié)果，于是想令x取為ii+1或者ii+12的形式，此處選擇了取x=ii+12，稍微增加了一點(diǎn)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，即x-1=-2i+1（i+1）2，于是推出不等式∑ni=1cos2i+1（i+1）2gt;n－2ln（n+1），也可類似得到其他結(jié)論，在練習(xí)題中展示.

3 試題分析與思維導(dǎo)圖

（Ⅰ）問題（1）的分析

本問主要考查三角函數(shù)的圖象變換，包括圖象伸縮變換和左右平移變換，其中圖象伸縮變換是學(xué)生做題過程中的易錯(cuò)點(diǎn)，需要重視.思維導(dǎo)圖見圖3.

（Ⅱ）問題（2）的分析

本問主要考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，利用參變量分離進(jìn)行求解，但參變量分離所得新函數(shù)y=1xsin（1－x）在（0，4）上的最值很難求得，從而將給定區(qū)間分為（0，1）和［1，4］兩部分進(jìn)行分析求解.如圖4.

（Ⅲ）問題（3）的分析

本問主要考查借助已知不等式變量代換證明不等式，由問題（2）的證明過程可以得知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，有cos（x－1）gt;1+ln x，從而根據(jù)要證不等式的形式令x=ii+12∈（0，1）即可得出結(jié)論；也可利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，在證明該不等式對(duì)n=k+1成立時(shí)，需用到問題（2）的結(jié)論.兩種方法的證明思路如圖5所示.

4 試題解析

解：（1）將函數(shù)y=sin 2x+π4圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sinx+π2的圖象，即y=cos x的圖象，再向右平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)=cos（x－1），即g（x）=cos（x－1），所以f（x）=acos（x－1）－ln x.

（2）f′（x）=－asin（x－1）－1x，因?yàn)閒（x）在（0，4］上是單調(diào)減函數(shù)，所以f′（x）≤0在（0，4］上恒成立，即asin（x－1）≥－1x在（0，4］上恒成立.

當(dāng)x∈［1，4］時(shí)，x－1∈［0，3］，sin（x－1）∈［0，1］，當(dāng)agt;0時(shí)，不等式asin（x－1）≥－1x恒成立.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x－1∈（－1，0），且sin（x－1）lt;0，所以a≤－1xsin（x－1）=1xsin（1－x）在（0，1）上恒成立.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1－x∈（0，1），則0lt;sin（1－x）lt;1－x，所以xsin（1－x）lt;x（1－x）≤122=14，所以1xsin（1－x）≥4，當(dāng)x=12時(shí)，1xsin（1－x）=2sin12≈4.17lt;5.由于1xsin（1－x）≥4，則當(dāng)a≤4時(shí)一定有f（x）=acos（x－1）－ln x在（0，1）上單調(diào)遞減.

綜上所述，［a］的最大值為4.

注：雖然學(xué)生在計(jì)算過程中無法使用圖形計(jì)算器對(duì)圖形有更深一步的直觀感受，但仍有兩種方式幫助學(xué)生獲得正確答案.一是如本文解答所述，借助不等式放縮獲得結(jié)果；二是可以借助計(jì)算器（上海高考可以使用）中的列表功能進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，

圖6

這一方式在實(shí)際測試中也為較多學(xué)生所用.如圖6所示，函數(shù)y=1xsin（1－x）在（0，1）上的最小值在x=12附近取到，約為4.171 6，從而可得［a］≤4.

（3）證法一：對(duì)于f（x）=acos（x－1）－ln x，令a=1，即f（x）=cos（x－1）－ln x，由（2）知，f（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，cos（x－1）－ln xgt;f（1）=1，即cos（x－1）gt;1+ln x.令x－1=－2i+1（i+1）2，則x=ii+12∈（0，1），從而cos（x－1）=cos－2i+1（i+1）2=cos2i+1（i+1）2gt;1+lnii+12=1+2lnii+1，所以∑ni=1cos2i+1（i+1）2gt;n+∑ni=12lnii+1=n+2ln12·23·34·……·nn+1=n+2ln1n+1=n－2ln（n+1）.

證法二：數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊為cos34gt;0，不等式右邊為1－2ln 2=1－ln 4lt;0，此時(shí)不等式成立.

假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即∑ki=1cos2i+1（i+1）2gt;k－2ln（k+1）成立，則證當(dāng)n=k+1時(shí)，有∑k+1i=1cos2i+1（i+1）2gt;k+1－2ln（k+2）成立，即可證cos2k+3（k+2）2gt;1+2ln（k+1）－2ln（k+2）成立，即證cos1－（k+1）2（k+2）2gt;1+lnk+1k+22.由（2）知，f（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，cos（x－1）－ln xgt;f（1）=1，即cos（x－1）gt;1+ln x.令x=k+1k+22∈（0，1），所以cos1－（k+1）2（k+2）2=cos（k+1）2（k+2）2－1gt;1+lnk+1k+22，即證得n=k+1時(shí)，∑ni=1cos2i+1（i+1）2gt;n－2ln（n+1）也成立.

綜上所述，∑ni=1cos2i+1（i+1）2gt;n－2ln（n+1）對(duì)任意n∈N*都成立.

5 試題鏈接

（1）已知函數(shù)f（x）=ag（x）－ln x，a∈R，其中g(shù)（x）的解析式由下面第①題確定.

①將函數(shù)y=sin（2x－1）的圖象向左平移π4個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得g（x）的圖象，求g（x）的解析式；

②求證：當(dāng)a∈（0，4］時(shí)，f（x）在（0，4］上是單調(diào)減函數(shù)；

③證明：∑ni=1cos1（i+1）2gt;n－ln 2.

（2）已知函數(shù)f（x）=asin（1－x）+ln x，其中a∈R.

①若函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

②求證：∑ni=1sin1（i+2）2lt;ln 3－ln 2.

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6 檢測評(píng)價(jià)

檢測評(píng)價(jià)結(jié)果見表1.

從學(xué)生的解答情況來看，本題難度適中，適用于中上等層次的學(xué)生作為練習(xí).在檢測中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于第（2）題，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于參變量分離法比較熟練，能夠輕松對(duì)不同情況進(jìn)行分類，但對(duì)于不等式放縮的應(yīng)用不靈活，但大多可以借助計(jì)算器獲取正確結(jié)論，而部分學(xué)生對(duì)于參變量分離后的函數(shù)y=1xsin（1－x）束手無策，最終放棄進(jìn)一步解答.對(duì)于第（3）題，部分學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)題目之間的關(guān)聯(lián)，借助第（2）題結(jié)論證明不等式，也有學(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法得到結(jié)論.整體發(fā)現(xiàn)，很多第（2）題未做出的學(xué)生在第（3）題中選擇了放棄，這部分學(xué)生缺乏鉆研精神，導(dǎo)致未能進(jìn)行進(jìn)一步的嘗試.

7 命題體會(huì)

在命題過程中，筆者深刻認(rèn)識(shí)到命制一道有深度的數(shù)學(xué)題目的困難和挑戰(zhàn)，命制的題目既要基于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備，又要能夠深度挖掘?qū)W生潛在能力，每一部分內(nèi)容都要深思熟慮.這要求我們必須對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有深入的理解和全面的掌握，同時(shí)還要具備敏銳的洞察力和判斷力，能夠準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)和難度要求.在大致明確命題方向時(shí)，如何進(jìn)一步提升題目的深度需要很深厚的數(shù)學(xué)功底和發(fā)散思維，在這一過程中筆者也深刻體會(huì)到了創(chuàng)新的重要性，題目的命制必須要摒棄固有思維，跳出舒適圈，創(chuàng)造出更新穎的題目和考查方法，以激發(fā)學(xué)生思考和探索的欲望.當(dāng)然，創(chuàng)新也并不是天馬行空，而是要基于學(xué)情和題目的科學(xué)性、合理性，巧妙融合各類知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想，不斷嘗試和更新.