一道數量積取值范圍題的探究

摘要：涉及平面向量數量積的取值范圍（或最值）的求解以及創新應用問題，是高考命題中比較常見的一類基本考查類型.本文中結合一道特殊場景下的數量積的取值范圍的求解，立足“數”與“形”等不同數學思維視角加以巧妙切入與應用，剖析不同的解題技巧方法，合理深入拓展變式與研究，有效提升數學思維與能力的高度與維度，有效指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：平面向量；數量積；取值范圍；坐標；幾何

平面向量的數量積，作為平面向量的一個基本概念與基本運算，是平面向量模塊的重要內容之一，涉及數量積的確定、取值范圍（或最值）的求解等，同時還可以與三角函數、平面幾何以及平面解析幾何等知識點來綜合，應用范圍非常廣泛，備受各方關注.特別地，涉及平面向量數量積的取值范圍（或最值）的求解，是應用最為廣泛的一種基本類型，熟練理解并掌握相應的求解策略，是課堂教學與復習備考中的一個基本專題.

1 問題呈現

問題" 已知e為單位向量，向量a，b滿足|a－2e|=2，|b－3e|=3，則a·b的取值范圍是.

此題以單位向量為問題基本點，結合兩不同向量與單位向量間的線性關系的模的形式來創設場景，由此來確定這兩個向量數量積的取值范圍.

具體解決問題時，要立足平面向量中的幾何圖形這一“形”的特征，回歸數量積這一“數”的屬性，進而選取行之有效的方法加以合理切入與巧妙應用，實現問題的突破與求解.

2 問題破解

圖1

方法1：坐標法.

如圖1，建立平面直角坐標系，令e=（1，0），OA=a，OB=b.

設A（x，y），B（m，n），則由|a－2e|=2，|b－3e|=3可得（x－2）2+y2=4，（m－3）2+n2=9，即點A的軌跡是以O1（2，0）為圓心，半徑為2的圓，點B的軌跡是以O2（3，0）為圓心，半徑為3的圓.

設A（2+2cos α，2sin α），B（3+3cos β，3sin β），其中α，β∈［0，2π），則

a·b=（2+2cos α，2sin α）·（3+3cos β，3sin β）=（2+2cos α）（3+3cos β）+6sin αsin β

=6+6cos α+6cos β+6cos αcos β+6sin αsin β=6+6cos β+6sin βsin α+6（1+cos β）cos α

=6+6cos β+6sin 2β+（1+cos β）2sin（α+φ）=6+6cos β+62+2cos βsin（α+φ），其中φ為輔助角.

令2+2cos β=λ∈［0，2］，則2+2cos β=λ2，即2cos β=λ2－2.

所以a·b=6+6cos β+62+2cos βsin（α+φ）=6+3λ2－6+6λsin（α+φ）=3λ2+6λsin（α+φ）.而由于sin（α+φ）∈［－1，1］，則有3λ2－6λ≤a·b≤3λ2+6λ，結合λ∈［0，2］，可知3λ2－6λ=3（λ－1）2－3∈［－3，0］，3λ2+6λ=3（λ+1）2－3∈［0，24］，有a·b∈［－3，24］，

當且僅當sin（α+φ）=－1且λ=1，即α=2π3，β=4π3，或者α=4π3，β=2π3時，取得最小值－3；當sin（α+φ）=1且λ=2，即α=0，β=0時取得最大值24.

所以a·b的取值范圍是［－3，24］.

點評：解決此類平面向量數量積及其綜合應用問題時，回歸平面向量“數”的代數屬性，借助坐標系的構建，合理引入角參，利用三角函數及其有界性，以及函數（二次函數）的基本性質來分析與處理，給對應關系式的取值范圍的求解創造條件.這里平面向量的數量積問題，就是依托三角函數的應用，并結合二次函數的圖象與性質加以應用，實現問題的突破與求解.

方法2：幾何法.

圖2

依題，由于|e|=1，|a－2e|=2，|b－3e|=3，則12a－e=1，13b－e=1.令OC=e，OA=12a，OB=13b，如圖2，

則知點A在以點C為圓心的單位圓上，點B也在以點C為圓心的單位圓上.設弦AB的中點為H，結合圓的幾何性質可知AB⊥CH.

設CH=d.

利用極化恒等式，可得OA·OB=14［（OA+OB）2－（OA－OB）2］=|OH|2－|AH|2≥（OC－CH）2－（CA2－CH2）=2d2－2d=2d－122－12≥－12，即OA·OB=12a·13b≥－12，則a·b≥－3，當且僅當d=12時，等號成立.

而顯然12a·13b=OA·OB≤2×2=4，解得a·b≤24，當且僅當兩向量同向時等號成立.

所以a·b的取值范圍是［－3，24］.

點評：解決此類平面向量數量積及其綜合應用問題時，回歸平面向量“形”的幾何特征，結合平面幾何圖形的幾何性質，以及數量積的幾何意義，綜合相關公式加以合理應用.這里巧妙利用平面向量的極化恒等式加以變形，為數量積的放縮創造條件，而數形結合思維是利用幾何法解決平面向量問題中最為重要的一種基本思維方法.

方法3：坐標+幾何法.

圖3

建立平面直角坐標系，如圖3，令e=（1，0），OA=a，OB=b.

結合|a－2e|=2，|b－3e|=3，可知向量a，b的終點A，B分別在圓C：（x－2）2+y2=4，圓（x－3）2+y2=9上，其中C（2，0），D（4，0）.

結合平面幾何圖形的幾何性質可知OB=32OB1.

所以a·b=OA·OB=32OA·OB1=32（CA－CO）·（CB1－CO）=32（CA·CB1－CA·CO－CB1·CO+4）=32×

12［（CA+CB1－CO）2－12］+6=34×（CA+CB1－CO）2－3，則當CA+CB1=CO時取得最小值－3，當CA+CB1=－2CO時取得最大值34×（－3CO）2－3=24.

所以a·b的取值范圍是［－3，24］.

點評：解決此類平面向量數量積及其綜合應用問題時，回歸平面向量“數”的代數屬性與“形”的幾何特征，依托坐標系的構建，數形結合，經常是解決平面向量問題中最為基本的技巧方法.這里坐標法與幾何法相互滲透，相互轉化，巧妙實現問題的突破與求解.

3 變式拓展

3.1 一般性推廣

變式1" 已知e為單位向量，向量a，b滿足|a－λe|=λ，|b－μe|=μ，λgt;0，μgt;0，則a·b的取值范圍是.

具體的解析過程，可以參考以上問題的方法2或其他相關與推廣方法，這里不多加以展開與敘述.

3.2 類比性應用

變式2 "已知e為單位向量，向量a，b滿足|a+2e|=2，|b－3e|=3，則a·b的取值范圍是.

解析：依題，不妨設e=（1，0），a=（x，y），b=（m，n），則由|a+2e|=2，|b－3e|=3可得（x+2）2+y2=4，（m－3）2+n2=9.

根據柯西不等式，可以得到a·b=mx+ny=（m－3）x+ny+3x≤（m－3）2+n2·x2+y2+3x=3x2+y2+3x=3x2+4－（x+2）2+3x=3－4x+3x=6－x+3x=－3（－x－1）2+3≤3，當且僅當－x=1，即x=－1，亦即a=（－1，3），b=32，332，或a=（－1，－3），b=32，－332時，等號成立.

而顯然當a與b反向時，a·b取得最小值，即當a=（－4，0），b=（6，0）時，a·b=－24.

所以a·b的取值范圍是［－24，3］.

同樣，在變式2的基礎上，結合變式1的推廣，進一步深入探究與挖掘，在此類問題下，也可以得到一般性推廣：

變式3" 已知e為單位向量，向量a，b滿足|a+λe|=λ，|b－μe|=μ，λgt;0，μgt;0，則a·b的取值范圍是.

4 教學啟示

其實，在解決涉及平面向量數量積取值范圍（或最值）的求解，以及相應的綜合應用問題時，抓住數量積自身或“數”的屬性，或“形”的特征，參照不同的應用場景，選擇行之有效的技巧方法與解題策略來分析與處理，實現問題的突破與求解.

在實際解題與應用過程中，理解并掌握一些常規的數學思維方式與解題技巧方法，來巧妙處理對應的平面向量數量積問題，或定義優先，或投影直觀，或基底轉換，或坐標運算，或極化恒等式變形等，使得數量積的取值范圍（或最值）問題的解決更加合理、有效、可行、正確、快捷，達到“數”與“形”的緊密結合，從而實現知識與能力的有效融合與全面提升.