巧借積化和差公式，妙破解三角形問題

摘要：三角函數中的積化和差公式，是兩角和與差公式的一個深入應用與變式拓展，也是解決三角函數問題時常用的一組特殊公式.在處理解三角形的綜合應用問題時，涉及三角形內角的三角函數值，經常借助積化和差及相關公式加以轉化與應用，巧妙破解相應的的解三角形問題.結合典型實例剖析，總結歸納解題技巧與規律方法，引領并指導數學教學與解題應用.

關鍵詞：積化和差；解三角形；求值；內角；最值

三角函數中的積化和差公式，是簡單的三角恒等變換中的一組特殊公式，涉及兩角正弦、余弦乘積之間的一種對稱關系與應用.而在解三角形問題中，也經常會有相關三角形內角的正弦、余弦乘積之間的關系式，合理借助積化和差公式，轉化解三角形中的相關問題.

1 三角求值問題

對于解三角形場景下的三角求值問題，抓住題設條件背景或轉化變形，基于相關三角形內角的正弦、余弦乘積之間的關系式，巧妙利用積化和差公式來轉化與變形.

例1" （2022年北京大學強基計劃數學試卷）在△ABC中，S△ABC=c2（a－b），其外接圓半徑R=2，且4（sin2A－sin2B）=（3a－b）sin B，則sinA－B2+sinC2=.

解析：依題，由4（sin2A－sin2B）=（3a－b）sin B及正弦定理，可得4a24R2－b24R2=（3a－b）·b2R.又R=2，所以a2－b2=（3a－b）b，可得a=3b.

因為S△ABC=c2（a－b），所以bcsin A=c（a－b），則sin A=a－bb=3b－bb=3－1.

由a=3b及正弦定理，可得sin A=3sin B，則sin B=sin A3=1－33.

由二倍角公式、積化和差與和差化積公式，可得sinA－B2+sinC22=sinA－B2+cosA+B22=sin2A－B2+cos2A+B2+2sinA－B2cosA+B2=1－12cos（A－B）+12cos（A+B）+sin A+sin（－B）=1+12［cos（A+B）－cos（A－B）］+sin A－sin B=1－sin Asin B+sin A－sin B=1－（3－1）×1－33+（3－1）－1－33=1.

又因為0＜A－B＜π，0＜C＜π，所以sinA－B2+sinC2=1.

點評：對于解三角形場景下的三角求值問題，往往通過正弦定理或余弦定理化邊為角，并結合積化和差公式以及其他相應的三角恒等變換公式來轉化與應用.特別是在三角求值時，要充分挖掘題設三角關系式的結構特征.

2 內角確定問題

對于解三角形場景下的內角確定問題，往往巧妙利用積化和差公式等及三角函數值的求解，結合三角形的條件來確定對應內角的大小.

例2" 〔2024年廣東省汕頭市高三（上）質檢數學試卷（12月份）〕設銳角三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=bcos A－acos B，求證：B=2A.

證明：依題，由a=bcos A－acos B及正弦定理，得sin A=sin Bcos A－sin Acos B.

結合積化和差公式，可得sin A=12sin（B+A）+12sin（B－A）－12sin（A+B）－12sin（A－B）=12sin（B－A）－12sin（A－B）=sin（B－A）.

又△ABC為銳角三角形，可知A，B∈0，π2，所以B－A∈－π2，π2.

故A=B－A，即B=2A.

點評：對于解三角形場景下的內角確定問題，借助積化和差公式等，或結合三角函數值的求解來確定三角形對應內角的值；或結合三角方程之間的關系確定三角形對應內角之間的關系.

3 三角最值問題

對于解三角形場景下的最值確定問題，在積化和差公式等三角恒等變換公式的變形與應用的基礎上，進一步綜合基本不等式、三角函數的有界性等合理放縮.

例3" 在△ABC中，若sin A=3cos Bcos C，求cos2B+cos2C的最大值.

解析：依題意，因為sin A=3cos Bcos C，所以結合積化和差公式，可得23sin A=2cos Bcos C=cos（B+C）+cos（B－C），所以23sin A+cos A=cos（B－C）.

于是結合二倍角公式、和差化積公式，可得cos2B+cos2C=1+cos 2B+1+cos 2C2=1+12×（cos 2B+cos 2C）=1+cos（B+C）cos（B－C）=1－cos A·cos（B－C）=1－cos A23sin A+cos A=1－13sin 2A－1+cos 2A2=12－13sin 2A+12cos 2A=12－19+14sin（2A+φ）tan φ=32.

因為－136≤19+14sin（2A+φ）≤136，所以12－19+14sin（2A+φ）≤12+136=3+136，當且僅當sin（2A+φ）=－1時，等號成立.

所以cos2B+cos2C的最大值為3+136.

點評：對于解三角形場景下的三角最值問題，可在巧妙利用積化和差公式等相關三角恒等變換公式的基礎上，結合三角關系式的結構特征與性質，合理借助基本不等式來放縮處理，或借助三角函數的有界性來確定最值等，而在這之前對三角關系式的恒等變形與轉化，才是問題突破的關鍵與重點.

4 三角證明問題

對于解三角形場景下的三角證明問題，可利用積化和差公式等三角恒等變換公式的轉化，確定三角形中與之對應的邊之間的關系，或內角的大小與關系等，為進一步三角證明與判斷奠定基礎.

例4" 在△ABC中，若tanA+B2=62，tan A＼5tan B=137，證明：cos（A－B）=23.

證明：依題意，因為tan Atan B=137，所以結合積化和差公式可以得到tan Atan B=sin Asin Bcos Acos B=－12［cos（A+B）－cos（A－B）］12［cos（A+B）+cos（A－B）］=137，于是整理可得cos（A－B）=－103cos（A+B）.

由tanA+B2=62，易得

cos（A+B）=1－tan 2A+B21+tan 2A+B2=1－6221+622=－15.

所以cos（A－B）=－103cos（A+B）=－103×－15=23.

點評：對于解三角形場景下的三角證明問題，往往巧妙利用題設條件中的解三角形條件及對應的三角函數關系式，借助積化和差公式等三角恒等變換公式的轉化與應用，合理變形與求解，得以確定對應內角的三角函數值，或對應內角的線性運算的三角函數值，或其他相關的三角方程或關系式等的成立問題，實現三角問題的證明與應用.

在新教材中，積化和差公式散見于課本例題、練習和習題等，因此，在三角恒等變換的教學中要十分重視角的變換，從而認識這些公式之間的內在聯系，把這些三角恒等公式編織成網絡，有助于我們更加深刻認識和理解知識的內涵.積化和差公式，不僅僅只用于三角函數的綜合問題中，對于解三角形、函數與方程等相關問題也有非常重要的作用，關鍵在于熟練掌握，靈活應用，巧妙拓展.